數(shù)字信號處理課件

第二章z變換2.1引言2.2z變換的定義及收斂域2.3z反變換2.4z變換的基本性質(zhì)和定理2.5z變換與拉普拉斯變換、傅立葉變換的關(guān)系2.6序列的傅里葉變換2.7傅里葉變換的一些對稱性質(zhì)2.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)2/3/20231回顧：2.7傅里葉變換的一些對稱性質(zhì)1、序列實(shí)部和虛部的傅里葉變換序列實(shí)部的傅里葉變換等于序列傅立葉變換的共軛對稱分量；序列j倍虛部傅里葉變換等于傅立葉變換的共軛反對稱分量。2、實(shí)序列的傅里葉變換的對稱性

實(shí)部是ω的偶函數(shù)，虛部是ω的奇函數(shù)；幅度是ω的偶函數(shù)，相位是ω的奇函數(shù)。3、實(shí)序列偶對稱分量和奇對稱分量的傅里葉變換

序列偶對稱分量的傅里葉變換=傅里葉變換的實(shí)部；序列奇對稱分量的傅里葉變換=j*傅里葉變換的虛部。2/3/202322.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)一、系統(tǒng)函數(shù)二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)（從z變換的收斂域中判斷）三、系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系(從差分方程中可求H(z))四、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義五、頻率響應(yīng)的幾何確定六、IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)2/3/20233一、系統(tǒng)函數(shù)在線性移不變系統(tǒng)中，h(n)表示系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)的特性。

H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。2/3/20234從上面兩式可以看出：

H(z)可以通過輸入輸出序列的z變換求出，對H(z)作反變換后即可求出h(n)。

令，得h(n)的傅立葉變換（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)）。

在單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。2/3/20235二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)（從z變換的收斂域中判斷）

回顧因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)的充要條件是？單位抽樣響應(yīng)是因果序列且絕對可和，即：序列絕對可和，其z變換收斂域則必須包括。單位圓2/3/20236

所以：一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域必須在從單位圓到∞的整個(gè)z域內(nèi)收斂。

或：系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)都必須在單位圓內(nèi)。判斷系統(tǒng)因果穩(wěn)定的方法有幾種？2/3/20237三、系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系(從差分方程中可求H(z))

線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表示：取z變換得：可直接從差分方程寫出2/3/20238分析：在已知收斂域的條件下系統(tǒng)的特性由系數(shù)bm、ak決定。在已知收斂域的條件下系統(tǒng)的特性由系數(shù)cm、dk決定。注：僅有差分方程，不能唯一確定系統(tǒng)2/3/20239四、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅立葉變換稱作系統(tǒng)頻率響應(yīng)。

對于線性移不變系統(tǒng)：2/3/202310對分析：也就是說，其輸出序列的傅立葉變換(頻譜)等于輸入序列的傅立葉變換(頻譜)與頻率響應(yīng)的乘積。寫成極坐標(biāo)的形式：2/3/202311若輸入為正弦信號，輸出也為正弦信號。2/3/202312五、頻率響應(yīng)的幾何確定1、頻率響應(yīng)的零極點(diǎn)表達(dá)式2/3/2023132/3/2023142、幾點(diǎn)說明

(1)表示原點(diǎn)處零極點(diǎn)，它到單位圓的距離恒為1，故對幅度響應(yīng)不起作用只是給出線性相移分量ω(N-M)。

(2)單位圓附近的零點(diǎn)對幅度響應(yīng)的谷點(diǎn)的位置與深度有明顯影響，當(dāng)零點(diǎn)位于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零。零點(diǎn)可在單位圓外。

(3)單位圓附近的極點(diǎn)對幅度響應(yīng)的峰點(diǎn)位置和高度有明顯影響。極點(diǎn)在圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2/3/202315零點(diǎn)在單位圓上0和pi處；極點(diǎn)在處。2/3/202316[例2-14]：設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為:

，a為實(shí)數(shù),

求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。[解]:

對差分方程兩邊取z變換:2/3/202317

是因果穩(wěn)定的系統(tǒng)嗎？單位抽樣響應(yīng)？這是一因果系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為這個(gè)單位抽樣響應(yīng)的非零值的個(gè)數(shù)是有限的嗎？如果一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)延伸到無窮長,這樣的系統(tǒng)稱作IIR系統(tǒng)。2/3/202318而頻率響應(yīng)為:幅度響應(yīng)為:相位響應(yīng)為:2/3/2023192/3/2023202/3/202321

現(xiàn)在分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的對應(yīng)關(guān)系根據(jù)采樣定理：信號最高頻率及模擬、數(shù)字頻率之間的關(guān)系：可知：上例中，0<a<1時(shí)，系統(tǒng)呈低通特性，當(dāng)-1<a<0,系統(tǒng)呈高通特性。2/3/202322[例2-15]：設(shè)系統(tǒng)的差分方程為(橫向?yàn)V波器):

求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。[解]:

對差分方程兩邊取z變換:2/3/202323

這個(gè)z變換既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)：從收斂域來看：是不是因果穩(wěn)定的系統(tǒng)？2/3/202324作z變換，可求h(n).這個(gè)單位抽樣響應(yīng)的非零值的個(gè)數(shù)是有限的嗎？如果一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)是有限長,這樣的系統(tǒng)稱作FIR系統(tǒng)。2/3/202325

（圖形見下頁）2/3/2023262/3/202327六、IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)1、無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)

如果一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)延伸到無窮長,即n→∞時(shí),h(n)仍有值,這樣的系統(tǒng)稱作IIR系統(tǒng)。能否從H(z)或差分方程中直接判斷出來？2/3/202328

有反饋的運(yùn)算結(jié)構(gòu)稱為“遞歸型”結(jié)構(gòu)；IIR系統(tǒng)只能用“遞歸型”結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。2/3/202329IIR系統(tǒng)的分類：（1）全極點(diǎn)系統(tǒng)（自回歸系統(tǒng)、AR系統(tǒng)）系統(tǒng)函數(shù)的分子只有系數(shù)b0（沒有零點(diǎn)）。（2）零極點(diǎn)系統(tǒng)（自回歸滑動(dòng)平均系統(tǒng)、ARMA系統(tǒng)）系統(tǒng)函數(shù)的分子有零點(diǎn)的IIR系統(tǒng)。2/3/2023302、有限長單位沖激響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)

h(n)為有限長序列的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)沒有輸出到輸入的反饋，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。2/3/202331FIR系統(tǒng)又稱全零點(diǎn)系統(tǒng)（滑動(dòng)平均系統(tǒng)、MA系統(tǒng)）。為什么稱為滑動(dòng)平均？

FIR系統(tǒng)可以用“非遞歸型”結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，若采用零極點(diǎn)相消的方法，也可以用“遞歸型”結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。2/3/202332回顧：2.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)一、系統(tǒng)函數(shù)

H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。在單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)（從z變換的收斂域中判斷）或：系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)都必須在單位圓內(nèi)。判斷系統(tǒng)因果穩(wěn)定的方法有三種。2/3/202333三、系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系(從差分方程中可求H(z))四、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義2/3/202334五、頻率響應(yīng)的幾何確定

單位圓附近的零點(diǎn)對幅度響應(yīng)的谷點(diǎn)的位置與深度有明顯影響，當(dāng)零點(diǎn)位于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零。零