數(shù)值變量的統(tǒng)計(jì)描述

數(shù)值變量的統(tǒng)計(jì)描述第一節(jié)頻數(shù)與頻數(shù)分布

(frequencydistribution)

頻數(shù)分布表，又稱頻數(shù)表，是對(duì)樣本量較大的資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述的常用方法。通過頻數(shù)表可以顯示數(shù)據(jù)分布的范圍與形態(tài)。例1：某地用隨機(jī)抽樣方法檢查140名成年男子的紅細(xì)胞數(shù)5.953.82一、連續(xù)型數(shù)值變量的頻數(shù)分布頻數(shù)表(frequencytable)的編制：求極差(range)：R＝Max-Min=5.95-3.82=2.13確定組段數(shù)、組距和組段1.確定組段數(shù)(k)：通常10-15個(gè)。2.確定組距(i)：相鄰兩組段的最小值（下限）之差，一般用等距。i=R/k，一般取整取偶數(shù)。3.確定組限：界限分明，每個(gè)組段的起點(diǎn)稱下限，終點(diǎn)稱上限。最末一行應(yīng)同時(shí)寫出下限和上限。

4.列表劃記：得到各組段的觀察單位數(shù)。紅細(xì)胞數(shù)（×1012/L）組中值頻數(shù)頻率（％）

3.80～3.902

1.44.00～4.106

4.34.20～4.3011

7.94.40～4.502517.94.60～4.703222.94.80～4.902719.35.00～5.101712.15.20～5.3013

9.35.40～5.504

2.95.60～5.702

1.45.80～6.005.901

0.7表2-2某地140名正常男子紅細(xì)胞數(shù)頻數(shù)表直方圖頻數(shù)分布表的用途可以替代繁瑣的原始資料，便于進(jìn)一步分析；便于觀察數(shù)據(jù)的分布類型；便于發(fā)現(xiàn)資料中某些遠(yuǎn)離群體的特大或特小的可疑值；樣本含量較大時(shí)，可用各組段的頻率作為概率的估計(jì)值。頻數(shù)分布的類型對(duì)稱分布偏態(tài)分布正偏態(tài)：負(fù)偏態(tài)：二、離散型數(shù)值變量的頻數(shù)分布例2：1998年某山區(qū)96名孕婦產(chǎn)前檢查次數(shù)資料如下：0，3，2，0，1，5，6，3，2，4，1，0，6，5，1，3，3，……….，4，7。表2－1是96名婦女產(chǎn)前檢查次數(shù)分布的頻數(shù)表表2-11998年某地96名婦女產(chǎn)前檢查次數(shù)分布檢查次數(shù)頻數(shù)頻率（％）累計(jì)人數(shù)累計(jì)頻率

044.244.2177.31111.521111.52222.931313.53536.542627.16163.552324.08487.5

＞51212.596100.0

合計(jì)96100.0--第二節(jié)集中趨勢(shì)指標(biāo)集中趨勢(shì)指標(biāo)用于描述一組同質(zhì)計(jì)量資料的集中趨勢(shì)或反映一組觀察值的平均水平。常用的平均數(shù)有算術(shù)均數(shù)、幾何均數(shù)及中位數(shù)三種。一、算術(shù)均數(shù)（mean）算術(shù)均數(shù)簡稱均數(shù)。X表示變量X的樣本均數(shù)，(希臘字母)表示總體均數(shù)。均數(shù)適用于對(duì)稱分布資料，正態(tài)或近似正態(tài)分布資料。計(jì)算方法直接法：當(dāng)樣本含量n較小時(shí)，可選用此法。設(shè)有n個(gè)觀察值，分別為X1，X2……，Xn，均數(shù)的計(jì)算公式為：例1.10名12歲男孩身高(cm)分別為125.5，126.0，127.0，128.5，147.0，131.0，132.0，141.5.122.5，140.0。求平均數(shù)。加權(quán)法：當(dāng)樣本含量n較大時(shí)，一般將觀察值分組，列出頻數(shù)表，再用加權(quán)法計(jì)算均數(shù)。其計(jì)算公式為：式中f為各組的頻數(shù)，x為各組的組中值。1.編制頻數(shù)表（1）求全距：R＝183.5－162.9＝20.6（cm）（2）求組段和組距：20.6÷10＝2.06，取整數(shù)2.0cm為組距；第一組段的下限為162（3）列出頻數(shù)表：表7-1中第3列為組中值X，計(jì)算方法是將本組下限和下組下限相加除以2，如第一組X1=(162+164)/2=163cm，余此類推。第4列fX是頻數(shù)f和組中值X的乘積。2.根據(jù)公式計(jì)算110名20歲健康男大學(xué)生的身高均數(shù)為172.73cm。二、幾何均數(shù)

（geometricmean,G）幾何均數(shù)用G表示。適用于對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料或等比資料，例如抗體的平均滴度和平均效價(jià)。計(jì)算方法：直接法：樣本含量n較小時(shí)，選用此法。有n個(gè)觀察值X1，X2，……Xn，幾何均數(shù)的計(jì)算公式為：上式計(jì)算時(shí)需作連乘，還要開n次方，比較麻煩，一般采用對(duì)數(shù)形式計(jì)算。例.6份血清抗體滴度為：1:2，1:4，1:8，1:8，1:16，1:32，求平均數(shù)。幾何平均滴度為1:8

102名健康人的鉤端螺旋體血清抗體平均滴度抗體滴度（1）人數(shù)f（2）滴度倒數(shù)X

（3）

lgX（4）

flgX(5)＝(2)(4)

1︰100

7

100

2.000

14.000

1︰200

19

200

2.301

43.719

1︰400

34

400

2.602

88.468

1︰800

29

800

2.903

84.187

1︰1600

13

1600

3.204

41.652合計(jì)

102

272.026三、中位數(shù)（median,M）將一組觀察值從小到大按順序排列，位次居中的觀察值就稱中位數(shù)。用M表示。中位數(shù)適用于任何一種分布的計(jì)量數(shù)據(jù)，一般多用于描述偏態(tài)分布或數(shù)據(jù)一端無界資料的集中趨勢(shì)。計(jì)算方法直接法：樣本含量n較小時(shí)，可根據(jù)下式計(jì)算：n為奇數(shù)時(shí)n為偶數(shù)時(shí)某病患者5人潛伏期分別為2，4，6，7，20，求中位數(shù)。本例n=5，為奇數(shù)天若上例在第25天又發(fā)現(xiàn)一例患者，患者數(shù)增加為6名頻數(shù)表法：樣本含量n較大時(shí)計(jì)算中位數(shù)可用頻數(shù)表法。將觀察資料歸納成頻數(shù)表，計(jì)算累計(jì)頻數(shù)，按下式計(jì)算。L為本組(中位數(shù)所在組)下限，i為本組組距，f為本組頻數(shù)，ΣfL為上一組的累計(jì)頻數(shù)。本組位置可根據(jù)累計(jì)頻數(shù)的數(shù)值來判斷。當(dāng)某一組的累計(jì)頻數(shù)首先超過n/2時(shí)或累計(jì)頻率首先超過50%時(shí)，即定為本組。107名正常人尿鉛含量分布尿鉛(mg/l)例數(shù)f累計(jì)頻數(shù)ΣfL累計(jì)頻率(%)

0～

14

14

13.1

4～

22

36

33.6

8～

29

65

60.7

12～

18

83

77.6

16～

15

98

91.6

20～

6

104

97.1

24～

1

105

98.1

28～

2

107

100.0附：百分位數(shù)（PX）百分位數(shù)是一種位置指標(biāo)，用PX表示。對(duì)總體來說，它表示總體中數(shù)值小于PX的個(gè)體恰有X％；對(duì)樣本來說，它表示按照升序排列的數(shù)列里小于PX的個(gè)體恰占X％百分位數(shù)是一個(gè)有序數(shù)列百等分的分割值。第50百分位數(shù)(P50)也就是中位數(shù)，中位數(shù)是一個(gè)特定的百分位數(shù)。計(jì)算公式：對(duì)上例的資料計(jì)算P25，P75。求P25，由第4欄可見，第2組的累計(jì)頻率超25％，該組即P25所在組。求P75，同理P75在第4組段內(nèi)第三節(jié)離散趨勢(shì)指標(biāo)兩組計(jì)量數(shù)據(jù)如下，分析其分布特征。甲組：98，99，100，101，102乙組：80，90，100，110，120兩組數(shù)據(jù)的均數(shù)都是100，說明集中趨勢(shì)相同。但兩組數(shù)據(jù)的分布特征不盡相同，5個(gè)數(shù)據(jù)間的參差不齊的程度不一樣。甲組數(shù)據(jù)的變化范圍較小，而乙組數(shù)據(jù)的變化范圍較大，即兩組的離散度不同，離散度是一個(gè)非常重要的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。一、全距（range,R）亦稱極差，用R表示，是一組觀察值中最大值與最小值之差，反映個(gè)體差異的范圍。全距大，說明變異度大；反之，說明變異度小。如上例中甲組全距為4，乙組全距為40，表明乙組變異度大。但全距除了最大值和最小值之外，不能反映組內(nèi)其它數(shù)據(jù)的變異度；易受個(gè)別數(shù)據(jù)的影響，穩(wěn)定性較差，抽樣誤差較大，而且還受n大小的影響，平均起來，n越大，全距越大。二、四分位數(shù)間距

（quartilerange,Q）四分位數(shù)間距是兩個(gè)特定的百分位數(shù)之差，用Q表示Q＝QU－QL＝P75－P25適用于任何分布的計(jì)量資料，尤其適用于偏態(tài)分布的資料(不宜用標(biāo)準(zhǔn)差表示離散度)四分位數(shù)間距比全距穩(wěn)定，但仍然未考慮到每個(gè)觀察值的變異。三、方差與標(biāo)準(zhǔn)差為克服全距的缺點(diǎn)，應(yīng)全面考慮組內(nèi)每個(gè)觀察值的離散情況?？煽紤]以總體中每個(gè)變量值X與總體平均數(shù)之差，稱為離均差X-。由于離均差有正有負(fù)，其和為0，這樣仍不能反映變異度的大小。故將離均差平方后再相加，稱離均差平方和為了消除觀察值的總個(gè)數(shù)N的影響，將離均差平方和除以N，這就是總體方差，用σ2表示。方差的單位是原度量單位(如kg)的平方，把總體方差開平方，這就是總體標(biāo)準(zhǔn)差，度量單位與原始觀察值一致，即方差（variance）標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）實(shí)際工作中經(jīng)常得到的是樣本資料，總體均數(shù)是未知的，只能用樣本均數(shù)X代替。這樣用代替，用樣本含量n代替N，所得的結(jié)果比σ偏小。英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.S.Gosset提出用n-1代替n，求得樣本標(biāo)準(zhǔn)差更接近總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差用S表示，公式為：上式n-1稱為自由度（ν）。樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算也可用直接法或加權(quán)法。n較小時(shí)，選擇直接法，n較大，選擇加權(quán)法直接法：由于標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式可改寫為：計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差甲組：n=5，ΣX＝98+99+100+101+102=500ΣX2＝982+992+1002+1012+1022＝50010乙組：n=5，ΣX＝500，ΣX2

＝51000甲組：98，99，100，101，102

乙組：80，90，100，110，120加權(quán)法例：求表P7－1中110名20歲男大學(xué)生身高的標(biāo)準(zhǔn)差。已知Σf＝110，ΣfX＝19000，需要在該表中增加fx2欄，由第(3)、(4)欄相乘，再將該欄數(shù)據(jù)相加，將ΣfX2＝3283646代入公式四、變異系數(shù)

（coefficientofvariation,CV）適用:（1）比較度量單位不同的多組資料的變異度（2）比較均數(shù)相差懸殊的多組資料變異度計(jì)算公式為：例：某地20歲男子100人，其身高均數(shù)為166.06cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.95cm，其體重均數(shù)為53.72kg，標(biāo)準(zhǔn)差為4.96kg。請(qǐng)比較何者變異度較大。由于兩者度量單位不同，不能直接比較標(biāo)