數(shù)理經(jīng)濟學微觀部分第五章風險選擇

第五章風險選擇5.1期望效用5.2風險厭惡5.3隨機優(yōu)勢第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇5.1

期望效用個體在作出選擇或決策時，常常不能確定其結局或后果，其中包含風險的選擇，叫做風險選擇.例：選擇某人代購車票，不能保證臥鋪還是坐票；選購證券，不能確切預知一年后的收益.

選擇理論中，研究風險選擇，首要解決其選擇集.數(shù)學上，風險選擇對應隨機變量，因而其選擇集是由某些隨機變量構成的集合L

.個體在L

選擇某個L,如同購得一張具有不確定性的彩票，因而就稱L中的元素為彩票.假定L對于凸組合封閉，即若L,≥0(1≤≤K,則有意義且L.滿足以上條件的隨機變量之集L

稱為一個彩票空間.

5.1.1彩票與偏好第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇設L

是取值n=1,2,…,N的離散隨機變量之全體，每個LL完全決定于其分布列(,

,…,

).n=1,2,…,N可解釋為N個可能的狀態(tài)，而則是狀態(tài)n朝鮮的概率.幾何上，每個LL

可看做N-1維標準單純形上一點，因而稱LL

為單純彩票.L作為一個凸集，自然對凸組合封閉.L的N個頂點e1，

e2，…

表示N個不包含風險的退化彩票.

1.單純彩票3第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇2.貨幣彩票

設L

是取值于R上的隨機變量之全體，每個LL

完全決定于其分布函數(shù)通常就以F(.)表示L,并稱之為貨幣彩票.若個體選擇FL

,則其“貨幣”收益將在均值上下隨機擺動，除非隨機變量退化為確定地取值X的量，這意味著單純彩票適于作為解釋理論的具體模型；貨幣彩票對于金融證券理論等應用經(jīng)濟課題有重要的價值.

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇定義5.1若對任給,

,L

,集

與

均為閉集，則說滿足連續(xù)性公理，或簡單地說是連續(xù)的.若對任給,

,L

，（0,1），有

，（5-1）

則說滿足獨立性公理，或簡單說是獨立的.

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇

獨立性是更值得注意的假設,它在整個風險選擇理論中處于中心地位.在幾何上,獨立性意味著:等價于,對某個(所有）L,三角形中某條(所有)平行于的線段之兩端有關系(如圖).當.

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇命題5.1設滿足獨立性公理,,則有：

1.

2.

設，.

則

若，至少對一個有，>0，

則.

3.關于的上圍道集、下圍道集與無差別集皆為凸集，因而是凸性的.

4.

是序保持的.

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇定義5.2

若的一個效用表示

（5-2）

其中,,

L,則稱為的期望效用函數(shù)（N-M效用）.

推廣恒等式（5-3）

設L是單純彩票之空間，每個L可唯一表示成

{}是L的頂點集.若為一個效用函數(shù)，令

（5-4）

5.1.2期望效用第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇設L是貨幣彩票之空間，的連續(xù)期望效用函數(shù)，

U(F)是成為偏好的效用函數(shù).定理5.1設是L

上的理性偏好.則有期望效用表示當且僅當滿足連續(xù)性公理與獨立性公理；

的任何兩個期望效用表示可通過一個線性增函數(shù)互相交換.

（5-5）第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇證明：1.定義函數(shù)約定.定義

，

L（5-6）

因恒有=

可得到

（5-7）

結合式（5-7）與的序保持性易得出，

可見是的效用表示

2.設

，

由（5-7）與命題5.1有

,得到

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇3.若是的另一個期望效用表示，則有

=

表明可通過線性增函數(shù)從變換出來

采取期望效用的理由：分析上有優(yōu)勢；符合人們的直覺.

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇悖論設獎金1，2，3分別為250，50,0，

,

，

，

明顯(寧愿保險的拿到50元，而不愿僅以0.1的概率去獲得250元)，（以0.1的概率獲得250元自然勝過以0.11的概率拿到50元）.如果這樣的偏好有期望效用表示

；

.

以上兩式明顯互相矛盾.

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇若,則式（5-11）簡化成

定理5.2（廣義期望效用定理）若L上的理性偏好滿足連續(xù)性與獨立性公理，則存在效用函數(shù)

（5-11）第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇5.2.1風險厭惡的刻畫

定義5.3任給L

,約定，.

若L

,有

，則說（或選擇者）是風險厭惡的；

若L,有，除非

，則說是嚴格風險厭惡的；

若L,有，則說是風險中性的.

5.2風險厭惡14第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇任給L,,,令

；（5-14）

（5-15）

式（5-14）等價于

（5-16）

式（5-16）又相當于,即確定地得到收益與選擇彩票無差別，因而稱為的確定性等價.可解釋為圖中線段CD與線段AB之比，稱為概率溢價.

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇命題5.2以下條件互相等價

1.

是風險厭惡的

2.

是凹函數(shù)

3.

,

4.

0（

）

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇5.2.2風險厭惡的測定

定義5.4對任給，令，

（5-19）

兩者分別稱為絕對風險厭惡系數(shù)與相對風險厭惡系數(shù)，前者也稱為

說明：1.

實際上完全決定于而與其期望效用表示的選擇無關;2.

完全確定了偏好，從而完全刻畫了選擇者的選擇行為.

（5-20）

利用風險厭惡系數(shù)，可比較兩個不同個體的風險厭惡程度.

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇命題5.3(定理)設風險厭惡者以為效用函數(shù)，

,

.則以下條件互相等價：

1.

2.

；

3.

4.

，是某個凹函數(shù)

當以上條件滿足時說2的風險厭惡大于1.

第五章風險選擇5.2.3

應用舉例第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇

仍設

是貨幣彩票之空間，但限定每個F

滿足

F(0)=0，F(xiàn)()=1，（5-21）

5.3.1一階隨機優(yōu)勢

定義5.5設,.若對任何增函數(shù)有

(5-22)

則說對于有一階隨機優(yōu)勢或一階隨機占優(yōu).

若以為效用函數(shù)，則選擇的效用不低于選擇的效用.因此，當對于有一階隨機優(yōu)勢時，任何選擇者都會認為不比差，因而對于的優(yōu)勢是其本身所固有的，而與選擇者無關.在式中取得.不過，均值的優(yōu)勢對于一階隨機優(yōu)勢并不是充分的.

5.3

隨機優(yōu)勢第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇命題5.4設,

.則對于有一階隨機優(yōu)勢

（即）.

證：若，0充分大，則對任何增函數(shù)有

第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇第五章風險選擇5.3.2二階隨機優(yōu)勢

定義5.6設,

.若，且對任何單調增的凹函數(shù)：

不等式（5-22）成立，則說F對于G有二階隨機優(yōu)勢或二階隨機占優(yōu).

直觀上，F(xiàn)對于G有二階隨機優(yōu)勢意味著盡管均值相等，但任何風險厭惡者傾向于選擇F，因而可以認為F有較小的風險.當在式（5-22）中取得出

可見F有較小的方差.在統(tǒng)計平均的意義上，選擇F將更