矢量場(chǎng),標(biāo)量場(chǎng),散度,梯度,旋度的理解

1?梯度gradient時(shí)間：2021.03.09創(chuàng)作：歐陽(yáng)法設(shè)體系中某處的物理參數(shù)（如溫度、速度、濃度等）為w,在與其垂直距離的dv處該參數(shù)為w+dw,則稱(chēng)為該物理參數(shù)的梯度，也即該物理參數(shù)的變化率。如果參數(shù)為速度、濃度或溫度，則分別稱(chēng)為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度。在向量微積分中，標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)向量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)中某一點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場(chǎng)增長(zhǎng)最快的方向，梯度的長(zhǎng)度是這個(gè)最大的變化率。更嚴(yán)格的說(shuō)，從歐氏空間Rn到R的函數(shù)的梯度是在Rn某一點(diǎn)最佳的線(xiàn)性近似。在這個(gè)意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個(gè)特殊情況。在單變量的實(shí)值函數(shù)的情況，梯度只是導(dǎo)數(shù)，或者，對(duì)于一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)，也就是線(xiàn)的斜率。梯度一詞有時(shí)用于斜度，也就是一個(gè)曲面沿著給定方向的傾斜程度?？梢酝ㄟ^(guò)取向量梯度和所研究的方向的點(diǎn)積來(lái)得到斜度。梯度的數(shù)值有時(shí)也被成為梯度。在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z二F(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)P(x,y)€D,都可以定出一個(gè)向量(8f/x)*i+(8f/y)*j這向量稱(chēng)為函數(shù)z二F(x,y)在點(diǎn)、P(x,y)的梯度，記作gradf(x,y)類(lèi)似的對(duì)三元函數(shù)也可以定義一個(gè)：(8f/x)*i+(8f/y)*j+(8f/z)*k記為grad[f(x,y,z)]2?散度氣象學(xué)中指：散度指流體運(yùn)動(dòng)時(shí)單位體積的改變率。簡(jiǎn)單地說(shuō)，流體在運(yùn)動(dòng)中集中的區(qū)域?yàn)檩椇?，運(yùn)動(dòng)中發(fā)散的區(qū)域?yàn)檩椛ⅰＳ靡员硎镜牧糠Q(chēng)為散度，值為負(fù)時(shí)為輻合，此時(shí)有利于天氣系統(tǒng)的的發(fā)展和增強(qiáng)，為正時(shí)表示輻散，有利于天氣系統(tǒng)的消散。表示輻合、輻散的物理量為散度。微積分學(xué)一多元微積分―多元函數(shù)積分中：設(shè)某量場(chǎng)由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x.y,z)j+R(x,y,z)k給出，其中P、Q、R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，刀是場(chǎng)內(nèi)一有向曲面，n是刀在點(diǎn)、(x,y,z)處的單位法向量，則f/A-ndS叫做向量場(chǎng)A通過(guò)曲面E向著指定側(cè)的通量，而8P/8x+8Q/8y+6R/82叫做向量場(chǎng)A的散度，記作divA,即divA二8P/8x+8Q/8v+8R/82?上述式子中的§為偏微分(partialderivative)符號(hào)。3旋度表示曲線(xiàn)、流體等旋轉(zhuǎn)程度的量4.矢量和標(biāo)量場(chǎng)假設(shè)有一個(gè)三維空間，顯然空間的每一個(gè)點(diǎn)都能用坐標(biāo)(X,V,2)唯一地標(biāo)識(shí)出來(lái)。假如給空間的每一個(gè)點(diǎn)都賦予一個(gè)數(shù)字，那么整個(gè)空間就充滿(mǎn)了數(shù)字。此時(shí)，這個(gè)充滿(mǎn)數(shù)字的三維空間在數(shù)學(xué)上就叫做“場(chǎng)”。上述的場(chǎng)叫做標(biāo)量場(chǎng)，因?yàn)閱渭兊囊粋€(gè)數(shù)字叫做“標(biāo)量(scalar)"。如果我們給空間的每一個(gè)點(diǎn)、都賦予一個(gè)矢量(vector),即一個(gè)既有大小，又有方向的東西，那么整個(gè)空間就變成充滿(mǎn)了矢量，這個(gè)空間就叫做矢量場(chǎng)。矢量場(chǎng)中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)矢量，而矢量能夠根據(jù)規(guī)則進(jìn)行各種運(yùn)算，例如加、減和乘等(數(shù)學(xué)上沒(méi)有矢量的除法）。顯然，我們可以對(duì)整個(gè)矢量場(chǎng)中的每一個(gè)矢量同時(shí)進(jìn)行某種運(yùn)算，例如同時(shí)將它們乘以一個(gè)數(shù)，或加上一個(gè)數(shù)等。但是我們可以對(duì)整個(gè)矢量場(chǎng)進(jìn)行一些更復(fù)雜的運(yùn)算，其中散度就咼其中一種。三維空間中的一個(gè)矢量可以沿x、y和z方向分解，現(xiàn)假設(shè)空間的某一點(diǎn)被賦予的矢量能夠沿著這3個(gè)方向分解為大小為P、Q和R的三個(gè)分量，表示為（P,Q,R）o注意，由于空間中每個(gè)點(diǎn)被賦予的矢量一般來(lái)說(shuō)是不同的，所以P、Q和R的大小在空間的不同的點(diǎn)一般有不同的值，也就是說(shuō)P、Q和R中每一個(gè)都是x、y和z的函數(shù)。對(duì)三維矢量場(chǎng)來(lái)說(shuō)，我們可以對(duì)其中一個(gè)點(diǎn)的矢量，假設(shè)為（P,Q,R）進(jìn)行以下操作：1、 求出dP/dx+dQ/dy+dR/dz的值,其中dP/dx表示求P對(duì)x的一階偏導(dǎo)數(shù)，其余雷同；2、 將這個(gè)值賦予這個(gè)點(diǎn)對(duì)整個(gè)矢量場(chǎng)的每個(gè)點(diǎn)均進(jìn)行以上運(yùn)算，就等于給整個(gè)三維空間的每個(gè)點(diǎn)都賦予了一個(gè)值，于是我們就得出了一個(gè)新的標(biāo)量場(chǎng)，這個(gè)標(biāo)量場(chǎng)就叫做原來(lái)的矢量場(chǎng)的散度(divergence),這種運(yùn)算就叫做“對(duì)矢量場(chǎng)取散度”o除了散度運(yùn)算以外，我們還可以對(duì)矢量場(chǎng)進(jìn)行其它的運(yùn)算，例如旋度