方向?qū)?shù)與梯度

第八章第七節(jié)一、方向?qū)?shù)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、梯度三、物理意義方向?qū)?shù)與梯度實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比．在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行,沿不同方向金屬板溫度變化的快慢怎么衡量？一、問(wèn)題的提出1.方向?qū)?shù)的定義

設(shè)有二元函數(shù)沿任何方向的變化率．

考慮函數(shù)在某點(diǎn)射線是指有方向的半直線,即二、方向?qū)?shù)概念與計(jì)算公式定義如果極限存在,則將這個(gè)極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)記為即注方向?qū)?shù)是函數(shù)沿半直線方向的變化率.2.方向?qū)?shù)的幾何意義的幾何意義為曲面,當(dāng)限制自變量沿方向變化時(shí),對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)形成過(guò)的鉛垂平面與曲面的交線,這條交線在點(diǎn)M有一條記此半切線與方向的夾角為則由方向?qū)?shù)的半切線,定義得ρ一定為正!是函數(shù)在某點(diǎn)沿任何方向的變化率.方向?qū)?shù)偏導(dǎo)數(shù)

分別是函數(shù)在某點(diǎn)沿平行于坐標(biāo)軸的直線Δx、Δy可正可負(fù)！的變化率.注事實(shí)上,的方向?qū)?shù)存在,事實(shí)上,同理,的方向?qū)?shù)存在,存在時(shí),????問(wèn):反之,存在時(shí),是否一定存在?例如,函數(shù)沿方向的方向?qū)?shù)但不存在.即z在(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在.證由于函數(shù)可微,得到3.關(guān)于方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式

充分條件定理可微,則函數(shù)且則增量可表示為兩邊同除以故有方向?qū)?shù)注即為(1)(2)計(jì)算方向?qū)?shù)只需知道l的方向及函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).在定點(diǎn)的方向?qū)?shù)為(3)(4)關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在可微解解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知故推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義解令故方向余弦為故三、梯度的概念結(jié)論在幾何上表示一個(gè)曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量等高線概念等高線的畫法播放梯度與等高線的關(guān)系：類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)解由梯度計(jì)算公式得故1、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個(gè)向量）四、小結(jié)思考題思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案