流體流動3-守恒定律1

1.3

流體流動中的守恒定律討論了流體靜止時(shí)內(nèi)部壓強(qiáng)的變化規(guī)律流體在流動過程中常遇到的問題對于流動著的流體內(nèi)部壓強(qiáng)變化的規(guī)律液體由低能位向高能位輸送時(shí)所需能量由高位槽向設(shè)備輸送一定量的流體時(shí)高位槽應(yīng)安裝的高度等而反映流體流動規(guī)律:有質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程）和柏努利方程1.體積流量

單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)管道任意截面的流體體積。

qV——m3/s或m3/h2.質(zhì)量流量單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)管道任意截面的流體質(zhì)量。

qm——kg/s或kg/h。

二者關(guān)系：（一）流量一、流量與流速（二）流速2.質(zhì)量流速

單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)管道單位截面積的流體質(zhì)量。流速（平均流速）單位時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)在流動方向上所流經(jīng)的距離。

kg/（m2·s）流量與流速的關(guān)系：

m/sG=qvρ/A=uρ對于圓形管道：流量qV一般由生產(chǎn)任務(wù)決定。流速選擇：3.管徑的估算

↑→d↓→設(shè)備費(fèi)用↓流動阻力↑→動力消耗↑

→操作費(fèi)↑均衡考慮uu適宜費(fèi)用總費(fèi)用設(shè)備費(fèi)操作費(fèi)一般液體：0.5~3m/s氣體流速：10~30m/s注意：管徑的計(jì)算：工程上管徑的表示方法：Φ89×3.5意味著：管外徑為89mm，壁厚為3.5mm在計(jì)算管內(nèi)流速時(shí)使用的管徑為內(nèi)徑：d=89-3.5×2=82mm未注明內(nèi)徑或外徑，均按內(nèi)徑計(jì)算注意圓整二、質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程）ContinuityEquation此方程的推導(dǎo)方法很多最簡單的即利用物料衡算即質(zhì)量守恒的原理進(jìn)行推導(dǎo)1、推導(dǎo)：一變徑管流體充滿整個(gè)管道連續(xù)地從1-1截面流向2-2截面u1ρ1A1=u2ρ2A2（累積量）＝0

推廣至1-1和2-2截面之間的任何一個(gè)截面均有：uρA=常數(shù)當(dāng)流體為不可壓縮流體時(shí)，密度為常數(shù)，則uA=常數(shù)對1-1和2-2截面有：u1A1=u2A2均稱做定態(tài)流動時(shí)的質(zhì)量守恒定律，或連續(xù)性方程continuityequation2、討論（使用注意事項(xiàng)）（1）物理意義：反映了在定態(tài)流動系統(tǒng)中，管路各截面上流速的變化規(guī)律2）不可壓縮流體的平均流速，其數(shù)值只隨管截面變化而變化即：截面增大，流速減小在均勻管中定態(tài)流動時(shí)平均流速隨管長保持定值，并不因阻力損失而減速（3）質(zhì)量守恒定律的成立，與管路的安排、以及管路上是否有管件、閥門和輸送機(jī)械無關(guān)[思考]

如附圖所示，管路由一段φ89×4mm的管1、一段φ108×4mm的管2和兩段φ57×3.5mm的分支管3a及3b連接而成。若水以9×10－3m3/s的體積流量流動，且在兩段分支管內(nèi)的流量相等，試求水在各段管內(nèi)的速度。

3a123b二、機(jī)械能守恒

—柏努利方程二、伯努利方程式（一）伯努利方程式dxpA(p+dp)Agdmdz在x方向上對微元段受力分析：（1）兩端面所受壓力分別為及（2）重力的分量故合力為動量變化率動量原理——伯努利方程式

不可壓縮性流體，（1）

流體因處于重力場內(nèi)而具有的能量。

①位能：質(zhì)量為m流體的位能

單位質(zhì)量流體的位能

②動能：流體以一定的流速流動而具有的能量。

質(zhì)量為m，流速為u的流體所具有的動能

單位質(zhì)量流體所具有的動能

③壓力能（流動功）

通過某截面的流體具有的用于克服壓力功的能量。流體在截面處所具有的壓力

流體通過截面所走的距離為則單位質(zhì)量流體所具有的壓力能為：

單位質(zhì)量流體本身所具有的總能量為：其中

稱為比容v=1/ρ（二）伯努利方程式的物理意義——單位質(zhì)量流體所具有的位能，J/kg；——單位質(zhì)量流體所具有的靜壓能，J/kg；——單位質(zhì)量流體所具有的動能，J/kg。各項(xiàng)意義：將(1)式各項(xiàng)同除重力加速度g:（2）式中各項(xiàng)單位為z——位壓頭——動壓頭——靜壓頭總壓頭式（1）為以單位質(zhì)量流體為基準(zhǔn)的機(jī)械能衡算式，式（2）為以重量流體為基準(zhǔn)的機(jī)械能衡算式，表明理想流體在流動過程中任意截面上總機(jī)械能、總壓頭為常數(shù)，三種能量形式可以相互轉(zhuǎn)換。Hz2210世居瑞士的柏努利家族

(Bernoullifamily)數(shù)學(xué)史和科學(xué)史上最杰出的家族之一從十七、十八兩世紀(jì)以來，三代中出現(xiàn)了八位非常了不起的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家柏努利家族在十七、十八世紀(jì)的微積分的發(fā)展應(yīng)用上扮演著領(lǐng)導(dǎo)的角色三、實(shí)際流體的機(jī)械能衡算式（一）實(shí)際流體機(jī)械能衡算式（2）外加功（外加壓頭）1kg流體從流體輸送機(jī)械所獲得的能量為W

(J/kg)。（1）能量損失（壓頭損失）設(shè)1kg流體損失的能量為Σhf（J/kg）。（3）（4）或——伯努利方程式

其中H——外加壓頭或有效壓頭，m;Σhf——壓頭損失，m。（二）伯努利方程的討論

（1）若流體處于靜止，u=0，Σhf=0，W=0，則柏努利方程變?yōu)檎f明柏努利方程即表示流體的運(yùn)動規(guī)律，也表示流體靜止?fàn)顟B(tài)的規(guī)律。

W、Σhf

——在兩截面間單位質(zhì)量流體獲得或消耗的能量。（2）zg、、——某截面上單位質(zhì)量流體所具有的位能、動能和靜壓能；（3）伯努利方程式適用于不可壓縮性流體。對于可壓縮性流體，當(dāng)時(shí)，仍可用該方程計(jì)算，但式中的密度ρ應(yīng)以兩截面的平均密度ρm代替。

序號

適用條件

方程形式以單位質(zhì)量流體為基準(zhǔn)以單位重量流體為基準(zhǔn)

1①穩(wěn)定流動②有外功輸入③不可壓縮、實(shí)際流體

2①穩(wěn)定流動②無外功輸入③不可壓縮理想流體

3①不可壓縮流體②流體處于靜止?fàn)顟B(tài)

柏努利方程的常用形式及其適用條件1）作圖并確定衡算范圍根據(jù)題意畫出流動系統(tǒng)的示意圖，并指明流體的流動方向，定出上下截面，以明確流動系統(tǒng)的衡標(biāo)范圍。2）截面的截取兩截面都應(yīng)與流動方向垂直，并且兩截面的流體必須是連續(xù)的，所求得未知量應(yīng)在兩截面上或兩截面之間，截面的有關(guān)物理量z、u、p等除了所求的物理量之外，都必須是已知的或者可以通過其它關(guān)系式計(jì)算出來。（三）應(yīng)用柏努利方程的注意事項(xiàng)

3）基準(zhǔn)水平面的選取

所以基準(zhǔn)水平面的位置可以任意選取，但必須與地面平行，為了計(jì)算方便，通常取基準(zhǔn)水平面通過衡算范圍的兩個(gè)截面中的任意一個(gè)截面。如衡算范圍為水平管道，則基準(zhǔn)水平面通過管道中心線，Δz=0。4）單位必須一致

在應(yīng)用柏努利方程之前，應(yīng)把有關(guān)的物理量換算成一致的單位，然后進(jìn)行計(jì)算。兩截面的壓強(qiáng)除要求單位一致外，還要求表示方法(表壓或真空度)一致。5）柏努利方程式適用于不可壓縮性流體。對于可壓縮性流體，當(dāng)時(shí)，仍可用該方程計(jì)算，但式中的密度ρ應(yīng)以兩截面的平均密度ρm代替。（四）伯努利方程的應(yīng)用

管內(nèi)流體的流量；輸送設(shè)備的功率；管路中流體的壓力；容器間的相對位置等。利用伯努利方程與連續(xù)性方程，可以確定：柏努利方程的應(yīng)用（1）計(jì)算輸送機(jī)械的有效功率[例1]

用泵將貯槽中密度為1200kg/m3的溶液送到蒸發(fā)器內(nèi)，貯槽內(nèi)液面維持恒定，其上方壓強(qiáng)為101.330kPa，蒸發(fā)器上部的蒸發(fā)室內(nèi)操作壓強(qiáng)為26670Pa（真空度），蒸發(fā)器進(jìn)料口高于貯槽內(nèi)液面15m，進(jìn)料量為20m3/h，溶液流經(jīng)全部管路的能量損失為120J/kg，求泵的有效功率。管路直徑為60mm。解：取貯槽液面為1―1截面，管路出口內(nèi)側(cè)為2―2截面，并以1―1截面為基準(zhǔn)水平面，在兩截面間列柏努利方程。式中z1=0z2=15mp1=0（表壓）

p2=－26670Pa（表壓）u1=0（1）計(jì)算輸送機(jī)械的有效功率續(xù)例1將上述各項(xiàng)數(shù)值代入，則泵的有效功率Pe為：

Pe=We·qm式中

Pe=246.9×6.67=1647W=1.65kW

實(shí)際上泵所作的功并不是全部有效的，故要考慮泵的效率η，實(shí)際上泵所消耗的功率（稱軸功率）為設(shè)本題泵的效率為0.65，則泵的軸功率為：續(xù)例1例1解答完畢

[例2]水在本題附圖所示的虹吸管內(nèi)作定態(tài)流動，管路直徑?jīng)]有變化，水流經(jīng)管路的能量損失可以忽略不計(jì)，計(jì)算管內(nèi)截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’處的壓強(qiáng)，大氣壓強(qiáng)為760mmHg，圖中所標(biāo)注的尺寸均以mm計(jì)。求各截面P分析：求P求u柏努利方程某截面的總機(jī)械能理想流體（2）計(jì)算管路某截面處的壓力22’

解：在水槽水面1－1’及管出口內(nèi)側(cè)截面6－6’間列柏努利方程式，并以6－6’截面為基準(zhǔn)水平面式中：

P1=P6=0（表壓）

u1≈0代入柏努利方程式例2解答u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基準(zhǔn)水平面,z1=3m，P1=760mmHg=101330Pa對于各截面壓強(qiáng)的計(jì)算，仍以2-2’為基準(zhǔn)水平面，z2=0，z3=3m，z4=3.5m，z5=3m續(xù)例2（1）截面2-2’壓強(qiáng)

（2）截面3-3’壓強(qiáng)續(xù)例2（3）截面4-4’壓強(qiáng)（4）截面5-5’壓強(qiáng)

從計(jì)算結(jié)果可見：P2>P3>P4

，而P4<P5<P6，這是由于流體在管內(nèi)流動時(shí)，位能和靜壓能相互轉(zhuǎn)換的結(jié)果。

續(xù)例2例2解答完畢[例3]20℃的空氣在直徑為800mm的水平管流過，現(xiàn)于管路中接一文丘里管，如本題附圖所示，文丘里管的上游接一水銀U管壓差計(jì)，在直徑為20mm的喉徑處接一細(xì)管，其下部插入水槽中?？諝饬魅胛那鹄锕艿哪芰繐p失可忽略不計(jì)，當(dāng)U管壓差計(jì)讀數(shù)R=25mm，h=0.5m時(shí)，試求此時(shí)空氣的流量為多少m3/h?

當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為101.33×103Pa。（3）確定流體的輸送量分析：求流量qv已知d求u直管任取一截面柏努利方程氣體判斷能否應(yīng)用？解：取測壓處及喉頸分別為截面1-1’和截面2-2’

截面1-1’處壓強(qiáng)：

截面2-2’處壓強(qiáng)為：例3解答

在截面1-1’和2-2’之間列柏努利方程式。以管道中心線作基準(zhǔn)水平面。由于兩截面無外功加入，We=0。

能量損失可忽略不計(jì)Σhf=0。柏努利方程式可寫為：式中：z1=z2=0

P1=3335Pa（表壓），P2=-4905Pa（表壓）

續(xù)例3化簡得：

由連續(xù)性方程有：

續(xù)例3聯(lián)立(a)、(b)兩式續(xù)例3例3解答完畢[例4]如本題附圖所示，密度為850kg/m3的料液從高位槽送入塔中，高位槽中的液面維持恒定，塔內(nèi)表壓強(qiáng)為9.81×103Pa，進(jìn)料量為5m3/h，連接管直徑為φ38×2.5mm，料液在連接管內(nèi)流動時(shí)的能量損失為30J/kg(不包括出口的能量損失)，試求高位槽內(nèi)液面應(yīng)為比塔內(nèi)的進(jìn)料口高出多少？

(4)確定容器間的相對位置分析：解：

取高位槽液面為截