晶格振動(dòng)和熱學(xué)性質(zhì)第一節(jié)課件

固體物理

SolidStatePhysics周劍平物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院zhoujp@2013.9.~2014.1文津樓506星期二14:30-17:20第3講晶格振動(dòng)和熱學(xué)性質(zhì)

3CrystalVibrationsandThermalProperites

一維單原子鏈一維雙原子鏈簡正坐標(biāo)三維晶格振動(dòng)晶格比熱SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU本章研究內(nèi)容晶格振動(dòng)的研究

——晶體的熱學(xué)性質(zhì)，熱運(yùn)動(dòng)是晶體宏觀性質(zhì)的表現(xiàn)

。研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過程的重要基礎(chǔ)，強(qiáng)烈地影響著物質(zhì)的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變等物理性質(zhì)。杜?。晏娼?jīng)驗(yàn)規(guī)律一摩爾固體有N個(gè)原子，有3N個(gè)振動(dòng)自由度，按能量均分定律，每個(gè)自由度平均熱能為kBT/2，摩爾比熱量3N0kB，為一常數(shù)。但實(shí)際上，低溫下比熱隨溫度的降低而降低。熱膨脹、傳導(dǎo)和晶格振動(dòng)的非諧效應(yīng)密切相關(guān)。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU絕熱近似討論晶體結(jié)構(gòu)時(shí)，我們把晶體內(nèi)的原子看作是處于自己的平衡位置上固定不動(dòng)的，但實(shí)際上，物質(zhì)是在不斷運(yùn)動(dòng)的，量子力學(xué)告訴我們，即使達(dá)到絕對零度，仍具有零點(diǎn)能的振動(dòng)。它強(qiáng)烈地影響著物質(zhì)的比熱、熱導(dǎo)、熱膨脹、光反射等物理性質(zhì)。絕熱近似用一個(gè)均勻分布的負(fù)電荷產(chǎn)生的常量勢場來描述電子對離子運(yùn)動(dòng)的影響?！獙㈦娮拥倪\(yùn)動(dòng)和離子的運(yùn)動(dòng)分開晶格具有周期性，晶格的振動(dòng)具有波的形式——格波格波的研究——先計(jì)算原子之間的相互作用力——根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動(dòng)方程，最后求解方程SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一維單原子鏈運(yùn)動(dòng)一維單原子鏈晶格周期為a，原子質(zhì)量m，相對各自平衡位置的位移分別為ui平衡位置時(shí)，兩個(gè)原子間的互作用勢能V(a)發(fā)生相對位移

=ui–ui+1后，相互作用勢能V(a+)考慮到平衡條件勢能展式中保留到二階——簡諧近似

相鄰原子間的作用力：力常數(shù)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一維單原子鏈運(yùn)動(dòng)只考慮最近鄰原子間的相互作用，總的勢能為第n個(gè)原子受力第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程——每一個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程類似——方程的數(shù)目和原子數(shù)相同：力常數(shù)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU運(yùn)動(dòng)方程的解試解（格波方程）naq

—第n個(gè)原子振動(dòng)位相因子帶入運(yùn)動(dòng)方程化簡得到解得色散關(guān)系——波的頻率-波矢關(guān)系真空中光波

=cq，空氣中聲波

=vq而格波的色散關(guān)系是非線性的。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU格波物理意義格波簡諧近似下，格波是簡諧平面波格波意義：對于確定的n：第n個(gè)原子的位移隨時(shí)間作簡諧振動(dòng)對于確定時(shí)刻t：不同的原子有不同的振動(dòng)位相格波的波形圖（格波意義2）正方向的原子沿X軸向右振動(dòng)負(fù)方向的原子沿X軸向左振動(dòng)q的物理意義：波的傳播方向（即沿q的方向）上，naq表示相位差表示SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU格波物理意義格波——格波解晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同、振幅相等的振動(dòng)，不同原子間存在固定位相差einaq，每一確定q的解代表波長為2p/|q|的集體運(yùn)動(dòng)，這種振動(dòng)以波的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。格波波長：格波波矢：波矢表示波數(shù)，方向表示波的傳播方向，q取不同的值，相鄰兩原子間的振動(dòng)位相差不同，則晶格振動(dòng)狀態(tài)不同不同原子間位相差：相鄰原子的位相差：SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU不同波長的格波如果l為整數(shù)，則q

和q'描述同一晶格振動(dòng)狀態(tài)格波得到色散關(guān)系所以所以，q

和q'描述同一晶格振動(dòng)狀態(tài)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU不同波長的格波例如波長格波1(Red)相鄰原子位相差格波2(Green)相鄰原子位相差兩條曲線描寫的格點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同.唯一不同的就是兩格點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).而這些中間狀態(tài)的差異并不影響物理實(shí)質(zhì).——兩種波矢的格波中，原子的振動(dòng)完全相同。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU第一Brillouin區(qū)——兩種波矢的格波中，原子的振動(dòng)完全相同。所以相鄰原子的位相差取波矢取——第一Brillouin區(qū)——只研究第一Brillouin晶格振動(dòng)問題——其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容色散關(guān)系：頻率極大值和極小值只有頻率在之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減（低頻濾波），截止頻率。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU長波極限格波：長波極限情況當(dāng)q→0時(shí)此時(shí)，一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的色散關(guān)系一致彈性波速（相速）為其中K，

為連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度——長波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波——晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)，其中波動(dòng)方程和解為：SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU長波極限格波長波極限情況——聲學(xué)波（accousticwave）相鄰兩個(gè)原子之間的位相差此時(shí)，一個(gè)波長內(nèi)包含許多原子，晶格可看作連續(xù)介質(zhì)波長格波的群速SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU短波極限格波短波極限情況當(dāng)q→/a

時(shí)波長相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)的位相相反，恢復(fù)力和頻率都達(dá)到最大值格波的群速在Brillouin區(qū)邊界處，相當(dāng)于受到Bragg反射，能量不能向外傳播——駐波用到的兩個(gè)定義：波速（相速），群速SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUBorn-Karman邊界條件周期性邊界條件（Born-Karman邊界條件）一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價(jià)的，每個(gè)原子的振動(dòng)形式都一樣實(shí)際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運(yùn)動(dòng)方程來描述為了解決這一矛盾，采用周期邊界條件——Born-Karman邊界條件（1）N個(gè)原子頭尾相接形成一個(gè)環(huán)鏈，保持了所有原子等價(jià)的特點(diǎn)（2）N很大，原子運(yùn)動(dòng)近似為直線運(yùn)動(dòng)（3）處理問題時(shí)要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU波矢的分立性設(shè)第n個(gè)原子的位移為un再增加N個(gè)原子之后，第N+n個(gè)原子的位移uN+n，則——h為整數(shù)波矢的取值范圍h的取值范圍h—N個(gè)整數(shù)值波矢q——取N個(gè)不同的分立值——第一布里淵區(qū)包含N個(gè)狀態(tài)SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU狀態(tài)密度相鄰兩個(gè)波矢間隔（每一個(gè)q的取值所占的空間）q的分布密度均勻分布L＝Na——晶體鏈的長度密度分布SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUq取值第一Brillouin區(qū)的尺度第一Brillouin區(qū)的狀態(tài)數(shù)得到結(jié)論求解格波步驟：（1）列運(yùn)動(dòng)方程；（2）取試探解；（3）代入原方程，得到久期方程；（4）由久期方程求色散關(guān)系（5）加周期邊界條件；（6）求狀態(tài)密度晶格振動(dòng)格波數(shù)目（第一布里淵區(qū)內(nèi)分立波矢量的數(shù)目）=晶格原胞數(shù)目=自由度數(shù)目SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一維雙原子鏈運(yùn)動(dòng)一維復(fù)式格子的情形——一維無限長鏈——兩種原子m

和M(M>m)構(gòu)成一維復(fù)式格子——M原子位于……，2n-1，2n+1，2n+3……

——m原子位于……，2n，2n+2，2n+4……——同種原子間的距離2a（晶格常數(shù)）——系統(tǒng)有N個(gè)原胞（2N個(gè)原子）簡諧近似，只考慮最近鄰原子間的相互作用，力常數(shù)為，總的勢能為SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一維雙原子鏈運(yùn)動(dòng)第2n原子m受力第2n+1原子M受力運(yùn)動(dòng)方程方程解的形式

兩種原子振動(dòng)的振幅A和B是不同的SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU運(yùn)動(dòng)方程方程的解——A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零解方程SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU得到久期方程：方程的兩個(gè)解得到一維復(fù)式晶格中兩種獨(dú)立的格波，與q之間存在著兩種不同的色散關(guān)系——-聲學(xué)波——+光學(xué)波兩種原子的振幅色散關(guān)系SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU長波極限：利用得到色散關(guān)系聲學(xué)波——聲學(xué)波的色散關(guān)系與一維單原子形式相同——可以看作是彈性波，晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)長波極限SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU長波極限：波長振幅比——原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致——代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)事實(shí)上，對于聲學(xué)波，總有兩種原子具有相同的運(yùn)動(dòng)方向長波極限SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU光學(xué)波振幅比——長光學(xué)波同種原子振動(dòng)位相一致，相鄰原子振動(dòng)相反——原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原子之間相對運(yùn)動(dòng)事實(shí)上，對于光學(xué)波，總有長波極限SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU短波極限：波長兩種格波的頻率聲學(xué)波振幅比聲學(xué)波：原胞中輕原子不動(dòng)，只有重原子振動(dòng)，相鄰重原子運(yùn)動(dòng)方向相反光學(xué)波振幅比光學(xué)波：原胞中重原子不動(dòng)，只有輕原子振動(dòng)，相鄰輕原子運(yùn)動(dòng)方向相反短波極限andSchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU振動(dòng)圖像一般情況下兩支格波振動(dòng)示意圖SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU雙原子鏈小結(jié)AcousticalwaveOpticalwave振動(dòng)頻率之間的關(guān)系在第一Brillouin區(qū)邊界處，有一個(gè)頻率間隙（禁區(qū)）一維雙原子晶格叫做帶通濾波器SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUM和m原子振動(dòng)方程相鄰原胞之間位相差相鄰晶胞之間的位相差限制為（參考單原子鏈取值）波矢q的值——仍然在第一Brillouin區(qū)內(nèi)第一Brillouin區(qū)大小q取