桿件變形分析

第4章桿件變形分析4.1桿件軸向拉壓變形4.3積分法求梁彎曲變形4.4疊加法求梁彎曲變形4.5提高梁彎曲剛度的一些措施目錄14.2圓桿扭轉(zhuǎn)變形·剛度條件§1桿件軸向拉壓變形1.縱向變形

22.橫向變形泊松比橫向應(yīng)變上述比例關(guān)系成立的應(yīng)力條件：?jiǎn)蜗驊?yīng)力狀態(tài)，線彈性范圍內(nèi).

當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)33.正應(yīng)變與正應(yīng)力的關(guān)系——虎克定律前面已知:當(dāng)EA---抗拉(壓)剛度應(yīng)用：（1）當(dāng)FN、EA在分段內(nèi)不變化時(shí)（2）當(dāng)FN(x),A(x)取dx段后再積分。（3）利用桿件的變形可計(jì)算節(jié)點(diǎn)的位移。E---彈性模量同一材料制成的拉壓桿，正應(yīng)變隨截面位置的變化——由正應(yīng)力確定當(dāng)

時(shí)解:內(nèi)力計(jì)算FN(x)=F+gAxFxF應(yīng)力計(jì)算變形計(jì)算※注意內(nèi)力為x的函數(shù)已知:F,l,A,E,g，求：例題1.14例題1.2

AB長(zhǎng)2m,面積為200mm2。AC面積為250mm2。E=200GPa。F=10kN。試求節(jié)點(diǎn)A的位移。解：1)計(jì)算軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象2)根據(jù)胡克定律計(jì)算桿的變形。AF300斜桿伸長(zhǎng)水平桿縮短53)節(jié)點(diǎn)A的位移（以切代?。〢F30067§2圓桿扭轉(zhuǎn)變形

·剛度條件1.扭轉(zhuǎn)變形②若兩截面間值變化，則應(yīng)分段應(yīng)用上式任意相距

dx

兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相距

l兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角①若兩截面間值均不變(常數(shù)):l代數(shù)求和（離散變化）或積分（連續(xù)變化）x8階梯形圓軸,求解：T（N·m）[例2.1]（思考：代數(shù)和＋－？）1400620ACB1400N·m620N·m780N·m9ACBLM已知m[例2.2]xxT(x)解：T圖前已解出：dx(微段dx

的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）(A-B相對(duì)扭轉(zhuǎn)角=無(wú)數(shù)微段相對(duì)扭轉(zhuǎn)角集合）求A、B間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角鉆桿，（已知L

、G、IP

）設(shè)工件阻力矩m沿桿長(zhǎng)度均勻分布.（思考:如何求A-C之間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角?）mdφ10單位扭轉(zhuǎn)角：2.剛度條件GIp反映截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱(chēng)為截面抗扭剛度（許用單位扭轉(zhuǎn)角）剛度條件

軸類(lèi)零件除滿足強(qiáng)度條件外，還不應(yīng)有過(guò)大的扭轉(zhuǎn)變形，如：工程中扭轉(zhuǎn)變形可通過(guò)單位扭轉(zhuǎn)角控制

車(chē)床絲杠、磨、鏜床傳動(dòng)軸若扭角過(guò)大，則易影響進(jìn)刀或引起扭振，影響加工精度、光潔度11500400P1P3P2

ACB

[例2.3]某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率P1=368KW，輸出功率分別P2=147KW,P3=221KW，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m

，試確定：①AB

段直徑d1和BC段直徑d2

？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？解：①扭矩圖Tx–7.024–4.21(kNm)7.0244.212.814③主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？12

.由剛度條件：綜上：②全軸選同一直徑時(shí).由強(qiáng)度條件：–7.024–4.21G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m(kNm)T13Tx–4.21(kNm)2.814T–7.024–4.21(kNm)500400

ACB

500400

ACB

③軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)

該換位.7.0244.212.8147.0244.212.814換位后,扭矩圖所示,軸此時(shí)最大直徑為75mmx14（連續(xù)光滑)①轉(zhuǎn)角②撓度撓曲線撓度－轉(zhuǎn)角關(guān)系：截面形心x方向位移極微小,忽略不計(jì)(小變形)彎曲前后，橫截面始終垂直于軸線——

（導(dǎo)數(shù)之幾何意義）截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度.截面形心的豎向位移,截面間夾角＝軸線間夾角逆時(shí)為正向上為正.1.梁的撓度和轉(zhuǎn)角§3積分法求梁彎曲變形

15

曲率-曲線

微分關(guān)系：略去高階小量2.撓曲線近似微分方程(考慮全梁各個(gè)截面)xo

中性層曲率半徑M(x)>0＋－號(hào)—與坐標(biāo)取向、有關(guān)彎矩符號(hào)規(guī)定——二階撓曲近似微分方程

16撓曲線近似微分方程：再積分一次撓度方程：二階線性非齊次——逐次積分，降階積分一次轉(zhuǎn)角方程：3.用積分法求彎曲變形

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積分常數(shù)由梁支承條件和連續(xù)條件確定：（-彈簧變形）裂斷1)支承條件2)連續(xù)條件AAAAA分界點(diǎn)A

18ABqC

[例3.1]求轉(zhuǎn)角和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和撓度（θ）dxdwEI=（梁EI已知）1）列撓曲微分方程解3）定積分常數(shù)支承條件連續(xù)條件2）積分代入ABqC4）轉(zhuǎn)角方程和撓度方程5）最大轉(zhuǎn)角和最大撓度∴1）各段M(x)按同一側(cè)算；若遵循：各積分常數(shù)將兩兩相等2）積分時(shí)均不打開(kāi)括號(hào)（

x－a）19

20b*[例3.2]求梁轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和撓度（EI已知，l=a+b，a>b

）解1）求反力,分段：2）彎矩、微分方程并積分3）定積分常數(shù)連續(xù)條件支承條件02=)(lwlFb(1)（2）(1)（2）(1)（2）

214）轉(zhuǎn)角方程和撓度方程代入解出1）各段M(x)按同一側(cè)算；若遵循二規(guī)律：可得各積分常數(shù)兩兩相等2）積分時(shí)均不打開(kāi)括號(hào)（

x－a）B

225）最大轉(zhuǎn)角和撓度分析

wmax

位置：……結(jié)論:對(duì)簡(jiǎn)支梁，荷載作用點(diǎn)對(duì)wmax

位置影響不大.b=0,b=l/2,其余當(dāng)在二者之間；且wmax與跨中w相比誤差不超過(guò)3％bx=0.5l.x=0.577l;(令)不論荷載作用在何處（只要同向），均可認(rèn)為wmax

發(fā)生在跨中。§4疊加法求梁彎曲變形設(shè)某梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為q

，撓度為w，則有：若梁上只有第i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：7-423

載荷較多時(shí)，積分法計(jì)算繁雜——疊加法較簡(jiǎn)便待定積分常數(shù)較多（n段2n個(gè)常數(shù)）若干個(gè)載荷（包括外力偶、分布力）作用時(shí)，小變形，材料線彈性——M與F成正比（w、θ

）是荷載（

F、M、q）的一次（線性）函數(shù)各載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的位移彼此獨(dú)立，互不影響由于梁的邊界條件不變，因此24由彎矩的疊加原理知：所以，重要結(jié)論：若干個(gè)載荷共同作用產(chǎn)生的位移（撓度或轉(zhuǎn)角），（變形疊加原理）線性函數(shù)的疊加原理（各簡(jiǎn)單荷載下梁的w、θ——P83表）等于各載荷分別單獨(dú)作用位移的代數(shù)和

25梁受力如圖，q、l、EI均已知,求C

截面撓度wC

；B截面轉(zhuǎn)角B1）載荷分解2）查表得三情形下wC

、B解qlql/2ABCl/2ql2qqll/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC2l/2ABCl/2wC3wx[例1]ql2

263）疊加，將各載荷作用結(jié)果求和

qlql/2ABCl/2ql2qqlql2l/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC2l/2ABCl/2wC3wx[例2]求圖示懸臂梁的yc組合方法一：增減載荷法CABCBAC（1）CB（2）27先假設(shè)BC段剛性，只有AB段變形再考慮BC段的變形(AB段剛性)ABCBACCAB=+牽帶位移組合法二：逐段剛化法28F1)B2)ABqC解F=qa懸臂梁受力如圖示,q、l、EI均已知.求B截面轉(zhuǎn)角、撓度,梁上載荷分成1）2）AC變形不受BC影響（自由且無(wú)外力）查表1）[例3]BC本身無(wú)變形2）分兩段分析：但有剛體位移（隨C剛體轉(zhuǎn)動(dòng)）3）疊加

qaaABC（無(wú)M/零曲率）,29[例4]F=qaaDaaBAq解疊加法求,先將載荷分成情形1、2DBAF1)qDBA2)挑臂對(duì)內(nèi)跨變形無(wú)影響1）2）3）疊加

BD位移由兩部分組成：+自身變形（形似懸臂）挑臂隨內(nèi)跨作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)30

31DBAq2）討論:疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？qaaaa

321.剛度條件建筑鋼梁的許可撓度：機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角：精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角：§5梁剛度條件·提高剛度措施

331）由撓度表中查B處轉(zhuǎn)角：解2）由剛度條件定軸徑：alCBAdF[例5.1]已知鋼制圓軸左端受力

F＝20kN，a＝1m，l＝2m，E=206GPa。軸承B處許可轉(zhuǎn)角θ

=0.5°

根據(jù)剛度要求確定軸直d.根據(jù)要求軸須有足夠