第一章極限與連續(xù)

第一章極限與連續(xù)1-1初等函數(shù)1-2函數(shù)的極限1-3無窮小與無窮大1-4函數(shù)極限的運算1-5函數(shù)的連續(xù)性

1-1初等函數(shù)設(shè)x和y

是兩個變量，D是一個給定的數(shù)集。如果對于每一個數(shù)x，變量y按照一定的法則總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱y

是x

的函數(shù)記作y=f(x)，其中x為自變量，y為因變量，數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域。1、函數(shù)的概念2、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)為以下五類函數(shù)：冪函數(shù)，是常數(shù)指數(shù)函數(shù)(a是常數(shù)且)對數(shù)函數(shù)(a是常數(shù)且)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)，，，，，，，，，，反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)反三角函數(shù)得到一個以x為自變量，y為因變量的函數(shù)，這定義：若y是u的函數(shù)y=f(u)，u是x的函數(shù)

，當x在的定義域或其一部分取時，的值均在的定義域內(nèi)，從而復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，記作函數(shù)稱為由函數(shù)復(fù)合而成的和并不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個函數(shù)。例如與分析一個復(fù)合過程時，每個層次都應(yīng)該是基本初等函數(shù)或常數(shù)與基本初等函數(shù)的四則運算；當分解到常數(shù)與基本初等函數(shù)的四則運算時，就不再分解了。函數(shù)復(fù)合過程中的兩點注意事項由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成并且可以用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).如等都是初等函數(shù)，，實際問題的函數(shù)關(guān)系，就是該實際問題的一個數(shù)學(xué)模型，建立實際問題的函數(shù)關(guān)系，就是為了用函數(shù)方法解決實際問題。一般的，用數(shù)學(xué)方法解決實際問題，首先要對問題的實際背景進行深入了解，摸清問題的規(guī)律，并用數(shù)字、圖表、公式等表示出來。下面我們舉一個例子說明如何建立實際問題的函數(shù)關(guān)系。例3某罐頭廠要生產(chǎn)容積為V的圓柱形罐頭盒，將它的表面積表示成底半徑的函數(shù)，并確定它的定義域。

1-2函數(shù)的極限

考察下列幾個數(shù)列，當n無限增大時，數(shù)列xn的變化趨勢：四個數(shù)列反映出的數(shù)列變化趨勢大體分為兩類：當n無限增大的時，數(shù)列xn的值無限接近某一個常數(shù)，數(shù)列1）、2）屬于這一類。當n無限增大的時，數(shù)列xn的值不能無限接近某一個常數(shù)，數(shù)列3）、4）屬于這一類。數(shù)列1）、2）給了我們極限的一個直觀的印象，下面我們來看數(shù)列極限的定義。或XnXn注意：這里x趨向無窮是有兩個方向的！或或定理一或或或左右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限定理二1-3無窮小與無窮大說一個函數(shù)是無窮小的時候，必須指明自變量的變化趨勢！比如例3，當x趨近1/3時函數(shù)是一個無窮小。無窮小的性質(zhì)

定理一這個定理在下一章里將會被應(yīng)用到一些問題的證明中。這里并不表明函數(shù)的極限存在，只是為了方便表示函數(shù)的這一變化趨勢定理二無窮小都是趨于零的變量，但不同的無窮小趨于零的速度卻不一樣.通過比較兩個無窮小趨于零的速度，而引進無窮小量階的概念.

x10.50.10.010.001………02x210.20.020.002………0x210.250.010.00010.000001………01-4函數(shù)極限的運算這種方法稱為無窮小分出法根據(jù)有界乘無窮小仍是無窮小的性質(zhì),得求極限過程中的兩點注意事項1234510100100010000…….22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718……定理一這個定理是等價無窮小的一個重要性質(zhì)，它是用等價無窮小代換求極限的重要理論根據(jù)。1-5函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．

求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間．關(guān)于分段