Ch5非線性振動分析

第五講非線性振動分析非線性系統(tǒng)的定性分析方法的局限性包括相平面法在內(nèi)的一類非線性系統(tǒng)的分析方法是定性分析方法；定性分析方法一般只能針對自治系統(tǒng)進行分析；定性分析方法不能揭示動態(tài)特性參數(shù)(頻率、振幅)與系統(tǒng)運動之間的關(guān)系。非線性系統(tǒng)的定量解析分析方法平均法多尺度法漸近法諧波平衡法攝動法林滋泰德—龐卡萊法定量解析分析方法的局限性研究對象通常為弱非線性系統(tǒng)；非線性項為小量，可視為線性系統(tǒng)的某種攝動，從而基于線性系統(tǒng)解尋求非線性系統(tǒng)的近似解；通常只能針對單自由度系統(tǒng)進行分析求解。平均法常數(shù)變易法；參數(shù)變易法；慢變振幅法

參考書：J.ASanders，Averagingmethodsinnonlineardynamicalsystems,Springer-Verlag,New-York,1986.1.攝動問題的標(biāo)準(zhǔn)型

(perturbationprobleminthestandardform)攝動問題：無攝動問題：假設(shè)該無攝動問題有解析解，且該解與初值有關(guān)。因此有定義變換（參數(shù)變易法、常數(shù)變易法）進行微分得到：對解假設(shè)矩陣是滿秩的，則有該式被稱為“攝動問題的標(biāo)準(zhǔn)型”。由于該式針對的問題過于一般，在應(yīng)用上并不方便。因此基于這種參數(shù)變易法的思想研究一些特殊問題，更具有工程價值。2.偽線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型

(Thestandardforminquasi-linearcase)考慮偽線性系統(tǒng)，其中。其無攝動系統(tǒng)可寫為且有滿維獨立解構(gòu)成的基礎(chǔ)矩陣(fundamentalmatrix)為簡便起見，選擇基礎(chǔ)矩陣?yán)脴?biāo)準(zhǔn)的常數(shù)變易過程，設(shè)我們能得到若矩陣為定常矩陣，則我們有基礎(chǔ)矩陣則標(biāo)準(zhǔn)型變?yōu)槔?.1（慢變振幅法）考慮非線性振動系統(tǒng)其無攝動系統(tǒng)為該無攝動系統(tǒng)的解為則常數(shù)變易變換為則該系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)攝動方程為例5.2相-幅變換法例5.3（vander

Pol）方程利用相幅變換：，該系統(tǒng)的攝動方程變?yōu)槠淦骄噶繄鰹椋簞t其近似系統(tǒng)為可見通過平均方法，把原來的時變系統(tǒng)分析問題轉(zhuǎn)化為了定常系統(tǒng)的分析問題。例5.4具體研究系統(tǒng)：其平均近似系統(tǒng)為顯然，，是兩個穩(wěn)態(tài)解。初值為時，系統(tǒng)的解為系統(tǒng)原點；初值為時，為周期解，一般地，該系統(tǒng)的解為系統(tǒng)的解例5.5例5.6反例5.2自激振動徐銘陶，肖明葵，《工程動力學(xué)——振動與控制》，機械工業(yè)出版社，2004.（4.7節(jié)非線性自主振動系統(tǒng)）

海盜船水車蒸汽機車機械表擒縱機構(gòu)自激振動：

自主地從定常能源汲取能量，以系統(tǒng)狀態(tài)為調(diào)節(jié)器，控制能量的交變輸入，當(dāng)輸入的能量與耗散的能量達(dá)到平衡時，系統(tǒng)維持等副振動，稱為自激振動。自激振動的三特征：耗散的振動系統(tǒng)；外部定常能源；狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器。自激振動系統(tǒng)的定性與定量分析其平均近似系統(tǒng)為一般地，該系統(tǒng)的解為傳輸帶干摩擦自激振動系統(tǒng)斜波上的被動步行腿式機器人5.3參數(shù)振動徐銘陶，肖明葵，《工程動力學(xué)——振動與控制》，機械工業(yè)出版社，2004.（4.8節(jié)線性參數(shù)振動系統(tǒng)）參數(shù)振動：存在外激勵的條件下，由于系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的周期變化而引起的系統(tǒng)振動。參變系統(tǒng)的一般方程其中，為周期函數(shù)?！猈.Hill方程，1877年Hill在研究月球運動時建立的.進一步，很多系統(tǒng)可表示為——E.Mathieu方程，1868年研究橢圓薄膜振動時建立的。在某些實際情況下，該方程可簡化為參數(shù)振動系統(tǒng)的特征：參數(shù)振動系統(tǒng)中存在能量的輸入與耗散，是非保守系統(tǒng)；參數(shù)振動系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)(時變系統(tǒng))；參數(shù)振動的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互作用關(guān)系。例：基座振動的倒置單擺

設(shè)單擺的長度為，支撐的振動規(guī)律