廣東省珠海市香洲區(qū)2023-2023學(xué)年八年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷【解析版】

2023-2023學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．剪紙藝術(shù)是我國(guó)文化寶庫(kù)中的優(yōu)秀遺產(chǎn)，在民間廣泛流傳．下面四幅剪紙作品中，屬于軸對(duì)稱圖形的是()A． B． C． D．2．下列計(jì)算正確的是()A．x6÷x3=x8 B．x3+x2=x6 C．（x2）3=x5 D．x2?x3=x53．下列各組長(zhǎng)度線段能組成三角形的是()A．1cm，3cm，5cm B．1cm，1cm，2cm C．1cm，2cm，3cm D．1cm，2cm，2cm4．已知等腰三角形中一個(gè)角等于100°，則這個(gè)等腰三角形的底角等于()A．100° B．40° C．50° D．100°或40°5．以下是四位同學(xué)在鈍角三角形ABC中畫BC邊上的高，其中畫法正確的是()A． B． C． D．6．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()A．4 B．5 C．6 D．77．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠A′CB′=70°，則∠ACA′的度數(shù)是()A．20° B．30° C．35° D．40°8．若分式中的x、y的值都變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，則此分式的值()A．不變 B．是原來(lái)的3倍 C．是原來(lái)的 D．是原來(lái)的一半9．在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證等式()A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a(chǎn)2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣ab﹣2b210．如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=20°，則∠2的度數(shù)等于()A．50° B．30° C．20° D．15°二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．12．當(dāng)x__________時(shí)，分式有意義．13．分解因式：x3﹣xy2=__________．14．計(jì)算：2﹣2×46=__________．15．正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)恰好等于它的外角的度數(shù)的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_________．16．如圖，在△ABC中（AB＜BC），在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)P，連接PC，若△ABC的面積為3，則△BPC的面積為_(kāi)_________．三、解答題（共9小題，滿分66分）17．計(jì)算：（x+1）（x﹣1）+2x（x+1）﹣3x2．18．解方程：+=1．19．已知：如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，且BF=CE．求證：∠B=∠C．20．先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣）÷，其中x=3．21．如圖，△ABC中，∠CAB=60°，∠B=30°．（1）作∠CAB的平分線與CB交于點(diǎn)D（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若CD=1，求DB的長(zhǎng)．22．某超市購(gòu)進(jìn)草莓，第一次購(gòu)進(jìn)了1000元的草莓，很快售完，第二次又購(gòu)進(jìn)了800元的草莓，因?yàn)榈诙钨?gòu)進(jìn)的草莓個(gè)頭小，所以單價(jià)只有第一次購(gòu)進(jìn)草莓的一半，但是質(zhì)量比第一次多了30公斤，問(wèn)這兩次購(gòu)進(jìn)草莓的單價(jià)分別是多少？23．如圖△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且DE∥BC，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn)．（1）若點(diǎn)A落在BC邊上（如圖1），求證：△BDF是等邊三角形；（2）若點(diǎn)A落在三角形外（如圖2），且CF∥AB，求△CEF各內(nèi)角的度數(shù)．24．先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=（A+1）2再將“A”還原，得：原式=（x+y+1）2．上述解題候總用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=__________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）證明：若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方．25．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．（1）求證：AE=AF．（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME，判斷△DEM的形狀，并說(shuō)明理由．2023-2023學(xué)年廣東省珠海市香洲區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．剪紙藝術(shù)是我國(guó)文化寶庫(kù)中的優(yōu)秀遺產(chǎn)，在民間廣泛流傳．下面四幅剪紙作品中，屬于軸對(duì)稱圖形的是()A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．【分析】依據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，即一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折，對(duì)折后的兩部分能完全重合，則這條直線即為圖形的對(duì)稱軸，從而可以解答題目．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，符合題意．D、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．下列計(jì)算正確的是()A．x6÷x3=x8 B．x3+x2=x6 C．（x2）3=x5 D．x2?x3=x5【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；合并同類項(xiàng)，系數(shù)相加字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對(duì)各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解．【解答】解：A、x6÷x3=x6﹣3=x3，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是同類項(xiàng)，不能合并，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（x2）3=x6，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、x2?x3=x5，故選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準(zhǔn)法則才能做題．3．下列各組長(zhǎng)度線段能組成三角形的是()A．1cm，3cm，5cm B．1cm，1cm，2cm C．1cm，2cm，3cm D．1cm，2cm，2cm【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．【分析】根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得A、1+3＜5，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、1+1=2，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、1+2=3，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、1+2＞2，能夠組成三角形，故此選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法是看較小的兩個(gè)數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)．4．已知等腰三角形中一個(gè)角等于100°，則這個(gè)等腰三角形的底角等于()A．100° B．40° C．50° D．100°或40°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】先確定100°的內(nèi)角是頂角，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．【解答】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，100°的內(nèi)角是頂角，所以，兩個(gè)底角為：（180°﹣100°）=40°，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，判斷出100°的內(nèi)角是頂角是解題的關(guān)鍵．5．以下是四位同學(xué)在鈍角三角形ABC中畫BC邊上的高，其中畫法正確的是()A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．【分析】找到經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A且與BC垂直的AD所在的圖形即可．【解答】解：A、沒(méi)有經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A，不符合題意；B、高AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D處，符合題意；C、垂足沒(méi)有在BC上，不符合題意；D、AD不垂直于BC，不符合題意．故選B．【點(diǎn)評(píng)】過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做高．6．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理180°?（n﹣2）即可求得．【解答】解：∵多邊形的內(nèi)角和公式為（n﹣2）?180°，∴（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理即180°?（n﹣2），難度適中．7．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠A′CB′=70°，則∠ACA′的度數(shù)是()A．20° B．30° C．35° D．40°【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等求出∠ACB的度數(shù)，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′=70°，∴∠ACA′=∠ACB﹣∠A′CB=40°故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵》8．若分式中的x、y的值都變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，則此分式的值()A．不變 B．是原來(lái)的3倍 C．是原來(lái)的 D．是原來(lái)的一半【考點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)．【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)（或整式），結(jié)果不變，可得答案．【解答】解：分式中的x、y的值都變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，則此分式的值原來(lái)的，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)（或整式），結(jié)果不變．9．在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證等式()A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a(chǎn)2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣ab﹣2b2【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景．【分析】第一個(gè)圖形中陰影部分的面積計(jì)算方法是邊長(zhǎng)是a的正方形的面積減去邊長(zhǎng)是b的小正方形的面積，等于a2﹣b2；第二個(gè)圖形陰影部分是一個(gè)長(zhǎng)是（a+b），寬是（a﹣b）的長(zhǎng)方形，面積是（a+b）（a﹣b）；這兩個(gè)圖形的陰影部分的面積相等．【解答】解：∵圖甲中陰影部分的面積=a2﹣b2，圖乙中陰影部分的面積=（a+b）（a﹣b），而兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，∴陰影部分的面積=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了乘法的平方差公式．即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，這個(gè)公式就叫做平方差公式．10．如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=20°，則∠2的度數(shù)等于()A．50° B．30° C．20° D．15°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【分析】如圖，由平行可知∠2=∠3，又可求得∠A=30°，結(jié)合外角的性質(zhì)可求得∠2．【解答】解：如圖所示，∵a∥b，∴∠3=∠2，∵∠B=60°，∴∠A=30°，∴∠3=∠1+∠A=20°+30°=50°，∴∠2=50°，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)及外角的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2）．【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：點(diǎn)M（1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），故答案為：（﹣1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于y軸的對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．12．當(dāng)x≠﹣2時(shí)，分式有意義．【考點(diǎn)】分式有意義的條件．【分析】根據(jù)分式的意義的條件：分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根據(jù)題意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2，故答案是：≠﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式有意義的條件是分母不等于0．13．分解因式：x3﹣xy2=x（x+y）（x﹣y）．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【分析】首先提取公因式x，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y）．故答案為：x（x+y）（x﹣y）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵．14．計(jì)算：2﹣2×46=1024．【考點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．【專題】計(jì)算題；推理填空題．【分析】首先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算方法，求出2﹣2的值是多少；然后根據(jù)有理數(shù)的乘方的運(yùn)算方法，求出算式2﹣2×46的值是多少即可．【解答】解：2﹣2×46=×46=1024．故答案為：1024．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①a﹣p=（a≠0，p為正整數(shù)）；②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算；③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．15．正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)恰好等于它的外角的度數(shù)的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【分析】首先設(shè)正多邊形的一個(gè)外角等于x°，由在正多邊形中，一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)恰好等于它的外角的度數(shù)的3倍，即可得方程：x+3x=180，解此方程即可求得答案．【解答】解：設(shè)正多邊形的一個(gè)外角等于x°，∵一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)恰好等于它的外角的度數(shù)的3倍，∴這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為：3x°，∴x+3x=180，解得：x=45，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是：360°÷45°=8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí)．此題難度不大，注意掌握方程思想的應(yīng)用．16．如圖，在△ABC中（AB＜BC），在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)P，連接PC，若△ABC的面積為3，則△BPC的面積為．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AP=PD，然后根據(jù)等底等高的三角形面積相等求出△BPC的面積等于△ABC面積的一半，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【解答】解：∵BD=BA，BP是∠ABC的平分線，∴AP=PD，∴S△BPD=S△ABD，S△CPD=S△ACD，∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=S△ABD+S△ACD=S△ABC，∵△ABC的面積為3，∴S△BPC=×3=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的面積，利用等底等高的三角形的面積相等求出△BPC的面積與△ABC的面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共9小題，滿分66分）17．計(jì)算：（x+1）（x﹣1）+2x（x+1）﹣3x2．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；整式．【分析】原式第一項(xiàng)利用平方差公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=x2﹣1+2x2+2x﹣3x2=2x﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．18．解方程：+=1．【考點(diǎn)】解分式方程．【專題】計(jì)算題．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x2﹣4，解得：x=﹣3，經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣3是分式方程的解．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．19．已知：如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，且BF=CE．求證：∠B=∠C．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】由中點(diǎn)的定義得出BD=CD，由HL證明Rt△BDF≌Rt△CDE，得出對(duì)應(yīng)角相等即可．【解答】證明：∵點(diǎn)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B=∠C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段中點(diǎn)的定義；由HL證明Rt△BDF≌Rt△CDE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣）÷，其中x=3．【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值．【專題】計(jì)算題；分式．【分析】原式第一項(xiàng)括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式=?（x﹣1）2+3x﹣4=（x﹣2）（x﹣1）+3x﹣4=x2﹣3x+2+3x﹣4=x2﹣2，當(dāng)x=3時(shí)，原式=9﹣2=7．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．21．如圖，△ABC中，∠CAB=60°，∠B=30°．（1）作∠CAB的平分線與CB交于點(diǎn)D（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若CD=1，求DB的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖．【分析】（1）首先以A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC、AB與于M、N，再分別以M、N長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，再作射線AE，交BC于D；（2）利用三角形內(nèi)角和定理可得∠C=90°，然后再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AD=2CD，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖所示：（2）∵∠CAB=60°，∠B=30°，∴∠C=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB=30°，∴AD=2CD=2，∠B=∠DAB，∴DB=2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的作法，以及30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．22．某超市購(gòu)進(jìn)草莓，第一次購(gòu)進(jìn)了1000元的草莓，很快售完，第二次又購(gòu)進(jìn)了800元的草莓，因?yàn)榈诙钨?gòu)進(jìn)的草莓個(gè)頭小，所以單價(jià)只有第一次購(gòu)進(jìn)草莓的一半，但是質(zhì)量比第一次多了30公斤，問(wèn)這兩次購(gòu)進(jìn)草莓的單價(jià)分別是多少？【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．【分析】設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)的藍(lán)莓的單價(jià)是x元，則第二次購(gòu)進(jìn)藍(lán)莓的單價(jià)為0.5x元，根據(jù)第二次購(gòu)買數(shù)量比第一次多了30公斤，可得出方程，解出即可．【解答】解：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)的藍(lán)莓的單價(jià)是x元，則第二次購(gòu)進(jìn)藍(lán)莓的單價(jià)為0.5x，由題意得+30=，解得：x=200經(jīng)檢驗(yàn)x=200是原分式方程的解．0.5x=100答：第一次購(gòu)進(jìn)的藍(lán)莓的單價(jià)是200元，第二次購(gòu)進(jìn)藍(lán)莓的單價(jià)為100元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，注意分式方程要檢驗(yàn)．23．如圖△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且DE∥BC，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn)．（1）若點(diǎn)A落在BC邊上（如圖1），求證：△BDF是等邊三角形；（2）若點(diǎn)A落在三角形外（如圖2），且CF∥AB，求△CEF各內(nèi)角的度數(shù)．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得出∠ADE=60°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出∠ADE=∠EDF=60°，進(jìn)而得出∠BDF=60°即可得出答案；（2）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合（1）中所求得出∠2，∠5+∠6的度數(shù)即可得出答案．【解答】（1）證明：如圖1，∵∠B=60°，DE∥BC，∴∠ADE=60°，∵△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn)，∴∠ADE=∠EDF=60°，∴∠BDF=60°，∴△BDF是等邊三角形；（2）解：如圖2，由（1）得：∠1=60°，∵CF∥AB，∴∠2+∠3=60°，∠B=∠6=60°，∵∠B=60°，∠C=78°，∴∠A=∠3=42°，∴∠2=60°﹣42°=18°，∴∠5+∠6=60°+78°=138°，∴∠4=∠180°﹣18°﹣138°=24°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)和等邊三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確利用翻折變換的性質(zhì)得出∠ADE=∠EDF是解題關(guān)鍵．24．先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=（A+1）2再將“A”還原，得：原式=（x+y+1）2．上述解題候總用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=（x﹣y+1）2．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）證明：若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【分析】（1）把（x﹣y）看作一個(gè)整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）令A(yù)=a+b，代入后因式分解后代入即可將原式因式分解；（3）將原式轉(zhuǎn)化為（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，進(jìn)一步整理為（n2+3n+1）2，根據(jù)n為正整數(shù)得到n2+3n+1也為正整數(shù)，從而說(shuō)明原式是整數(shù)的平方．【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=（x﹣y+1）2；（2）令A(yù)=a+b，則原式變?yōu)锳（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1=（n2+3n）