計算方法-第5章-3、解線性方程組的直接方法(56范數(shù)及誤差)_第1頁
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計算方法§5.6范數(shù)及誤差分析2/3/20231定義1.

5.6向量和矩陣的范數(shù)2/3/20232--------(1)--------(2)--------(3)2/3/20233顯然并且由于--------(4)2/3/202342/3/20235例1.求下列向量的各種常用范數(shù)解:2/3/20236定義2.2/3/20237不難驗證其滿足定義2的4個條件稱為Frobenius范數(shù),簡稱F-范數(shù)--------(5)類似向量的2-范數(shù)2/3/20238根據(jù)向量的常用范數(shù)可以得到常用的矩陣算子范數(shù)--------(6)--------(7)--------(8)2/3/20239例3.求矩陣A的各種常用范數(shù)解:由于2/3/202310特征方程為2/3/202311容易計算計算較復雜對矩陣元素的變化比較敏感較少使用使用最廣泛性質(zhì)較好2/3/202312定義6.--------(9)顯然定理21.--------(10)2/3/202313

5.7誤差分析簡介2/3/202314即有--------(11)2/3/202315--------(12)--------(13)--------(14)所以又因為可得(12)和(13)兩式相乘,得相對誤差2/3/202316(14)式表明,由常數(shù)項產(chǎn)生的誤差,最多可將解的相對誤差放大倍--------(15)2/3/202317如果假設(shè)則由定理21,可知且(15)式化為--------(16)--------(17)2/3/202318--------(18)定義8.--------(19)2/3/202319顯然即任意矩陣的條件數(shù)必不小于1根據(jù)算子范數(shù)的不同也有不同的條件數(shù):2/3/202320--------(20)--------(21)根據(jù)定義8的定義,(14)式和(18)式可表示為-----(22)2/3/202321條件數(shù)的性質(zhì)2/3/2023222/3/2023232/3/2023242/3/2023252/3/202326“病態(tài)”方程的經(jīng)驗判斷2/3/2023

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