廣東省揭陽市2023屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題理

廣東省揭陽市2023屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題理本試卷共23題，共150分，共4頁，考試結(jié)束后將本試卷和答題卡一并收回．注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題目的順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知向量，若，則的值為A． B． C． D．3．已知是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，是純虛數(shù)，則A．2 B． C．1 D．4．若，則的值為A． B． C． D．5．某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：min）繪制了如右莖葉圖：則下列結(jié)論中表述不正確的是A.第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需要的時間至少80分鐘B.第二種生產(chǎn)方式比第一種生產(chǎn)方式效率更高C.這40名工人完成任務(wù)所需時間的中位數(shù)為80D.無論哪種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需要的時間都是80分鐘.6.函數(shù)在單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是A． B． C． D．7.如圖，網(wǎng)格紙上虛線小正方形的邊長為1，實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A． B．52 C． D．568．某班星期一上午安排5節(jié)課，若數(shù)學(xué)2節(jié)，語文、物理、化學(xué)各1節(jié)，且物理、化學(xué)不相鄰，2節(jié)數(shù)學(xué)相鄰，則星期一上午不同課程安排種數(shù)為A．6B．12C．24D．489.過雙曲線兩焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與雙曲線的四個交點(diǎn)組成一個正方形，則該雙曲線的離心率為A． B．C． D．210.右圖為中國古代劉徽的《九章算術(shù)注》中研究“勾股容方”問題的圖形，圖中△ABC為直角三角形，四邊形DEFC為它的內(nèi)接正方形，記正方形為區(qū)域Ⅰ，圖中陰影部分為區(qū)域Ⅱ，在△ABC上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的概率分別記為、，則A．B．C．D．11．已知△ABC中，AB=AC=3，，延長AB到D使得BD=AB，連結(jié)CD，則CD的長為A． B． C． D．12．已知函數(shù)，，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．命題“對”的否定是_______；14．在曲線，的所有切線中，斜率為1的切線方程為.15．已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓周上的兩點(diǎn)、滿足為等邊三角形，且面積為，又知圓錐軸截面的面積為8，則圓錐的表面積為.16.已知點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q在直線上，M為PQ的中點(diǎn)，且，則的取值范圍是.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求做答．（一）必考題：共60分17.（12分）已知數(shù)列的前項和為，且，（其中為常數(shù)），又.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．18.（12分）如圖，在四邊形ABED中，AB//DE，ABBE，點(diǎn)C在AB上，且ABCD，AC=BC=CD=2，現(xiàn)將△ACD沿CD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PE與平面PBC所成的角為45°.（1）求證：平面PBC平面DEBC；（2）求二面角D-PE-B的余弦值.19.（12分）某地種植常規(guī)稻A和雜交稻B，常規(guī)稻A的畝產(chǎn)穩(wěn)定為500公斤，今年單價為3.50元／公斤，估計明年單價不變的可能性為10%，變?yōu)?.60元／公斤的可能性為60%，變?yōu)?.70元／公斤的可能性為30%．統(tǒng)計雜交稻B的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)，得到畝產(chǎn)的頻率分布直方圖如下；統(tǒng)計近10年來雜交稻B的單價（單位：元/公斤）與種植畝數(shù)（單位：萬畝）的關(guān)系，得到的10組數(shù)據(jù)記為，并得到散點(diǎn)圖如下，參考數(shù)據(jù)見下．（1）估計明年常規(guī)稻A的單價平均值；（2）在頻率分布直方圖中，各組的取值按中間值來計算，求雜交稻B的畝產(chǎn)平均值；以頻率作為概率，預(yù)計將來三年中至少有二年，雜交稻B的畝產(chǎn)超過765公斤的概率；（3）判斷雜交稻B的單價y（單位：元/公斤）與種植畝數(shù)x（單位：萬畝）是否線性相關(guān)？若相關(guān)，試根據(jù)以下的參考數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程；調(diào)查得知明年此地雜交稻B的種植畝數(shù)預(yù)計為2萬畝．若在常規(guī)稻A和雜交稻B中選擇，明年種植哪種水稻收入更高？統(tǒng)計參考數(shù)據(jù)：，，，，附：線性回歸方程，．20.（12分）已知點(diǎn)在橢圓:上，橢圓的焦距為2.（1）求橢圓的方程；（2）斜率為定值k的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且滿足的值為常數(shù)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（i）求k的值以及這個常數(shù)；（ii）寫出一般性結(jié)論（不用證明）：斜率為定值k的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且滿足的值為常數(shù)，則k的值以及這個常數(shù)是多少？21.（12分）設(shè)函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)、，求證：．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為（,a為常數(shù)），過點(diǎn)、傾斜角為的直線l的參數(shù)方程滿足，（為參數(shù)）．（1）求曲線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程；（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)P在A、B之間），且，求a和的值．23.[選修45：不等式選講](10分）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的值域；（2）若時，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．揭陽市2023高考一模數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分說明一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則．二、對計算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．一、選擇題題序123456789101112答案BACDDADBBCCB解析:6.法一：因函數(shù)在單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則函數(shù)在單調(diào)遞增，由，則.故選D.法二：由得或，即或，綜合得.7.由三視圖知該幾何體為一長方體與一直三棱柱的組合體，其體積為.8.第一步：將兩節(jié)數(shù)學(xué)捆在一起與語文先進(jìn)行排列有種排法，第二步：將物理、化學(xué)在第一步排后的3個空隙中選兩個插進(jìn)去有種方法，根據(jù)乘法原理得不同課程安排種數(shù)為.9.將代入雙曲線的方程得，則，解得.10.法一：設(shè)△ABC兩直角邊的長分別為，其內(nèi)接正方形的邊長為，由得，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．法二（特殊法）：設(shè)，則，故，從而排除A、D，當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時，排除B，故選C．11.由結(jié)合正弦定理得，在等腰三角形ABC中，從而，由余弦定理得：，故.12.設(shè)F、G分別為函數(shù)與定義在區(qū)間上[0,1]上的值域，則,當(dāng)a>0時，，單調(diào)遞增，當(dāng)a<0時，單調(diào)遞減，使得，因為在上遞增，在上遞減，所以，所以解得式，式.二、填空題題序13141516答案（或）解析：14.設(shè)切點(diǎn)為，則由且，得，，故所求的切線方程為（或）.15.設(shè)圓錐母線長為,由為等邊三角形，且面積為得，又設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則由軸截面的面積為8得，又，解得，（或設(shè)軸截面頂角為S，則由得，可得圓錐底面直徑，）故.16.因直線與平行，故點(diǎn)M的軌跡為與兩直線距離相等且平行于兩直線的直線，其方程為，即點(diǎn)M滿足，而滿足不等式的點(diǎn)在直線的上方，易得直線與的交點(diǎn)為，故問題轉(zhuǎn)化為求射線（不含端點(diǎn)）（）上的點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)連線斜率、即的取值范圍,故.三、解答題17.解：（1）由得，，解得，-------------------------------------------------------------------------------2分即，-------------①當(dāng)時，-------------②①-②得，即，--------------------------------------------4分∵不滿足上式，∴----------------------------------------------------------------------------------6分（2）依題意得-------------------------------------------------------7分當(dāng)時，，當(dāng)時，兩式相減得：---------------------------------9分.-------------------------------------------------------------------------------11分顯然當(dāng)時，符合上式∴-------------------------------------------------------------------------------12分18.解：（1）證明：∵ABCD，ABBE，∴CD//EB，---------------------------------------------1分∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，--------------------------------------------------------3分且PC∩BC=C，∴EB⊥平面PBC，----------------------------------------------------------------------------------4分又∵EB平面DEBC，∴平面PBC平面DEBC；---------------------------------------5分（2）由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE與平面PBC所成的角為45°得∠EPB=45°，--------------------------------6分∴△PBE為等腰直角三角形，∴PB=EB，∵AB//DE，結(jié)合CD//EB得BE=CD=2，∴PB=2，故△PBC為等邊三角形，--------------------7分取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，--------------------8分以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O與BE平行的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，從而,,，設(shè)平面PDE的一個法向量為，平面PEB的一個法向量為，則由得，令得，----------------9分由得，令得，------------------------10分設(shè)二面角D-PE-B的大小為，則，即二面角D-PE-B的余弦值為.----------------------------------------------------------------12分（其它解法請參照給分?。?9.解：（1）設(shè)明年常規(guī)稻A的單價為，則的分布列為3.503.603.70P0.10.60.3，估計明年常規(guī)稻A的單價平均值為3.62（元／公斤）；----------------------------------------3分（2）雜交稻B的畝產(chǎn)平均值為：．--------------------------------------------------------------------5分依題意知雜交稻B的畝產(chǎn)超過765公斤的概率為：，則將來三年中至少有二年，雜交稻B的畝產(chǎn)超過765公斤的概率為：．--------------------------------------------------------------7分（3）因為散點(diǎn)圖中各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，所以可以判斷雜交稻B的單價y與種植畝數(shù)x線性相關(guān)，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分，由，所以線性回歸方程為，--------------------------------------------------------------10分估計明年雜交稻B的單價元／公斤；估計明年雜交稻B的每畝平均收入為元／畝，估計明年常規(guī)稻A的每畝平均收入為元／畝，因1905>1875，所以明年選擇種植雜交稻B收入更高．-------------------------------------------12分20.解：（1）由點(diǎn)P在橢圓上得，2c=2，--------------------------------------------1分，c=1，又，，，解得，得，∴橢圓的方程為；-------------------------------------------------------------------4分（2）（i）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，∴------------------------------------------5分又，，----------------------------------------------------------------8分 要使為常數(shù)，只需，得，------------------------------9分 ∴， ∴，這個常數(shù)為5；----------------------------------------------------------10分 （ii），這個常數(shù)為．------------------------------------------------------------12分21.解：（1），---------------------------------------------1分設(shè)，①當(dāng)時，，；------------------------------------------------------------2分②當(dāng)時，由得或，記則，∵∴當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，--------------------------------------4分∴當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；（2）不妨設(shè)，由已知得，，即，，---------------------------------------------------6分兩式相減得，∴，---------------------------------------------------------------------------7分要證，即要證，只需證，只需證，即要證，---------------------------------------9分設(shè)，則，只需證，------------------------------------------------------10分設(shè)，只需證，，在上單調(diào)遞增，，得證．---------------------------------------------------------------------------12分22.解：（1）由得，--------------------------------------1分又，，得，∴C的普通方程為，-------------------------------------------------------------------2分∵過點(diǎn)、傾斜角為的直線l的普通方程為，--------------3分由得∴直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）；