研究生數(shù)值分析試卷

2005?2006學年第一學期碩士研究生期末考試試題（A卷）科目名稱：數(shù)值分析學生所在院：學號：姓名：注意：所有的答題內容必須答在答題紙上,凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、（15分）設求方程12-3%+2cos%=0根的迭代法2%=4+—cos%k+i 3 k⑴證明對V%eR，均有l(wèi)im%=%*，其中%*為方程的根。0 …k此迭代法收斂階是多少？證明你的結論.二、（12分）討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。%+2%-2%=1,<%+%+%=—1,2%+2%+%=0.1 23'2aa0'三、（8分）若矩陣A=0a0,說明對任意實數(shù)a豐0,方程組AX=b都是、00a,非病態(tài)的。（范數(shù)用叱）四、（15分）已知y=f（%）的數(shù)據如下:%012f(%)026f'(%)1i求f（%）的Hermite插值多項式H3（%），并給出截斷誤差R（%）=f（%）—H3（%）。五、（10分）在某個低溫過程中，函數(shù)y依賴于溫度%（℃）的試驗數(shù)據為%1234i0.81.51.82.0已知經驗公式的形式為y=a%+b%2，試用最小二乘法求出a,b。六、（12分）確定常數(shù)a，b的值，使積分I（a,b）=）10%x2+b—%Jd%—1

取得最小值。七、（14分）已知Legendre（勒讓德）正交多項式Ln（x）有遞推關系式:L(x)取得最小值。七、（14分）已知Legendre（勒讓德）正交多項式Ln（x）有遞推關系式:L(x)=1, L(x)=x01丁(、2n+17(、L(x)= xL(x)一n+1 n+1n—Ln+1n-1(x)(n=1,2,)試確定兩點的高斯-勒讓德（G—L）求積公式』1f(x)dx仁Af(x)+Af(x)-11122的求積系數(shù)和節(jié)點，并用此公式近似計算積分I=』2exdx1八、（14分）對于下面求解常微分方程初值問題dy、—=f(x,y)<dx、y(x0)=y0的單步法：yn+1=y+h(-k+-k)122+hk)14=f(，yn)

k=f(x++hk)12 nn驗證它是二階方法；確定此單步法的絕對穩(wěn)定域。2005~2006學年第一學期碩士研究生期末考試試題（B卷）科目名稱：數(shù)值分析學生所在院：學號：姓名:注意：所有的答題內容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、（12分）討論分別用Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。x+2x-2x=1,<x+x+x=—1,2x+2x+x=0.1 23二、（15分）設求方程12-3x+2cosx=0根的迭代法x-4+—cosxk+i 3k(1)證明對VxeR，均有l(wèi)imXk=x*洪中x*為方程的根.(2)此迭代法收斂階是多少？證明你的結論.’2aa0、三、(8分)若矩陣A-0a0,說明對任意實數(shù)a豐0，方程組AX-b都是、00a,非病態(tài)的.(范數(shù)用卜||J四、(15分)已知y-f(x)的數(shù)據如下:x123f(x)242f'a)-1i求f(x)的Hermite插值多項式H3(x)，并給出截斷誤差R(x)-以X)-H3(x)。五、(10分)在某個低溫過程中，函數(shù)y依賴于溫度x(℃)的試驗數(shù)據為x1234i0.81.51.82.0已知經驗公式的形式為y-ax+bx2，試用最小二乘法求出a,b。六、(12分)確定常數(shù)a，b的值，使積分I(a,b)-』1\xx2+b-|x|ldx-i取得最小值。七、(14分)對于求積公式：Jbp(x)f(x)dx六￡af(x)，其中：p(x)是區(qū)間(a,b)kka k-1上的權函數(shù)。(1)證明此求積公式的代數(shù)精度不超過2n—1次；(2)若此公式為Gauss型求積公式,試證明k-1

八、（14分）對于下面求解常微分方程初值問題dy八、（14分）對于下面求解常微分方程初值問題dy、~=f(x，y)<dx、y(x0)=y0的單步法：yn+1=y+h(1k1+2k2)+hk)1+hk)1k=f(x+h,y2 nn驗證它是二階方法；確定此單步法的絕對穩(wěn)定域。2006?2007學年第一學期碩士研究生期末考試試題（B卷）科目名稱：數(shù)值分析學生所在院：學號：姓名：注意：所有的答題內容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效.一、（12分）討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。x+2x-2x=1,<x+x+x=—1,2x+2x+x=0.1 23’2aa0、二、（8分）若矩陣A=0a0,說明對任意實數(shù)a豐0，方程組AX=b都是、00a）非病態(tài)的。（范數(shù)用Ml/三、（15分）設①（x）導數(shù)連續(xù)，迭代格式xk+1=①（xk）一階局部收斂到點x*。構造新的迭代格式：x=Xx+^p（x）問如何選取常數(shù)X及N，使新迭代格式有更高的收斂階，并問是幾階收斂。四、（15分）已知y=f（x）的數(shù)據如下:x123f(x)242尸(x)-1i

求于(x)的Hermite插值多項式H3a)，并給出截斷誤差R(x)=f(x)-H3(x)。五、(10分)在某個低溫過程中，函數(shù)y依賴于溫度x(℃)的試驗數(shù)據為x1234i0.81.51.82.0已知經驗公式的形式為y=ax+bx2,試用最小二乘法求出a,b。六、(12分)確定常數(shù)a，b的值，使積分I(a,b)二』1axx2+b-|x|-i取得最小值。七、(14分)對于求積公式：1bp(x)f(x)dx六￡af(x)，其中：p(x)是區(qū)間(a,b)上kka k=1的權函數(shù).(3)證明此求積公式的代數(shù)精度不超過2n-1次;(4)若此公式為Gauss型求積公式,試證明￡a=Jbp(x)dxk=1 ady，/ 、=f(x，y)八、(14分)對于下面求解常微分方程初值問題的單步法：<dx八、(14分)對于下面求解常微分方程初值問題的單步法：、y(x0)=y0ynyn+1=y+h(?k+1k)n2+hk)1<ki=f(xn,yn)k=f(x+h,+hk)12 nn驗證它是二階方法；確定此單步法的絕對穩(wěn)定域。2006~2007學年第一學期碩士研究生期末考試試題(A卷)科目名稱：數(shù)值分析學生所在院:學號：姓名：注意：所有的答題內容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、(12分)設方程組Ax=b為(21丫c(7)111(1)用Doolittle分解法求解方程組;(2)求矩陣A的條件數(shù)Cond(A)9二、(12分)設A為n階對稱正定矩陣，A的n個特征值為九1V九2V<Xn,為求解方程組Ax二b，建立迭代格式x(k+1)=x(k)+①(b-Ax(k))，求出常數(shù)①的取值范圍，使迭代格式收斂。三、(12分)已知數(shù)據x—2-101201210試用二次多項式p(x)=ax2+bx+c擬合這些數(shù)據。四、(14分)已知y=f(x)的數(shù)據如下:x123f(x.)2412f'(x)3i(1)求f(x)的Hermite插值多項式H3(x)；(2)為求J3f(x)dx的值，采用算法：J3f(x)dx=J3H(x)dx+R

1 1 13試導出截斷誤差R五、(12分)確定常數(shù)a,b的值,使積分12I(a,b)=J(ax+b-ex)dx0取得最小值。六、(12)確定常數(shù)Ai,使求積公式f(x)dxyAf(0)+Af(1)+Af(2)23的代數(shù)精度盡可能高，并問是否是Gauss型公式.七、(12分)設①(x)導數(shù)連續(xù)，迭代格式丫卜+1=①(xk)一階局部收斂到點x*。對于常數(shù)九，構造新的迭代格式:k+13Xk+1問如何選取入，使新迭代格式有更高的收斂階，并問是幾階收斂.dy取、八、（14分）對于下面求解常微分方程初值問題的單步法:=f(t，y八、（14分）對于下面求解常微分方程初值問題的單步法:<dt、y(10)=y0匕+1='Jhk2k1=f(1,yn)k=f(t+1h,y+1hk)2n2n2 1（7）驗證它是二階方法；（8）確定此單步法的絕對穩(wěn)定區(qū)域。2007~2008學年第一學期碩士研究生期末考試試題科目名稱：數(shù)值分析學生所在院：學號：姓名：注意：所有的答題內容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、（15分）給定方程f（x）=（X-1）ex-1-0（1）分析該方程存在幾個根；（2）用迭代法求出這些根，精確至2位有效數(shù)；（3）說明所用的迭代格式是收斂的。二、（15分）設線性方程組為ax+ax=b,<111 122 1 aa中0ax+ax=b, 1122（1）證明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程組要么同時收斂，要么同時發(fā)散.（2）當同時收斂時比較其收斂速度。三、（10分）設A為非奇異矩陣，方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A有擾動AA，受擾動后的方程組為（A+AA）（x+Ax）=b，若IIA-1II?IIAA11<1，試證：1-IIA-1II?IIAAIIIIxIIIIAx111-IIA-1II?IIAAIIIIxII四、(15分)已知y=f(x)的數(shù)據如下:x012f(x)101f<x)1求f(x)的Hermite插值多項式H3a)，并給出截斷誤差R(x)=f(x)-H3a)。五、(10分)已知數(shù)據i0123x.0123yi3247設f(x)=ax+b(x-1)2，求常數(shù)a，b,使得發(fā)[f(x)-y]2=miniii=0六、(15分)定義內積(f,g)=J1f(x)g(x)dx在H=Span{1,x,x2}中求-1f(x)=1xI的最佳平方逼近元素.七、(10分)給定求積公式J2卜f(x)dxxAf(-h)+Bf(0)+Cf(h)-2h試確定A,B,C，使此求積公式的代數(shù)精度盡可能高,并問是否是Gauss型公式.八、(10分)給定微分方程初值問題—=y2 0<x<1<dx、y(0)=2用一個二階方法計算y(x)在0.1,0。2處的近似值.取h=0.1計算結果保留5位有效數(shù)字.2008~2009學年第一學期碩士研究生期末考試試題一、(本題共3小題，每題8分,共24分)解答下面各題：

1）下表給出了函數(shù)f（X）在一些節(jié)點上的函數(shù)值:X0.00。10。20.30。40.50.60。70。8f(x)58630—3—335用復化Simpson求積公式近似計算函數(shù)f（x）在區(qū)間［0,0.8］上的積分。2）已知函數(shù)y=f（x）的觀察值如下表所示，使用Newton插值法求其插值多項式。X0123y230一13）取初值為2,利用Newton迭代法求方程:f（x）=x2—2=0在［0，2］中的近似解。要求迭代兩次。（如果計算結果用小數(shù)表示，則最后結果應保留5位小數(shù)）。一、（本題15分）設常數(shù)a/。,試求a的取值范圍，使得用雅可比Jacobi）迭代法求解下面線性方程組時是收斂的。三、（本題16分）利用Hermite插值多項式構造下面的求積公式:ff（x）d-2［f（0）+f（h）］+1Th2［『（0）-f'（h））并導出0其積分余項。四（14分）已知方程a+10x—4=0在0。2附近有解，建立用于求解此解的收斂的迭代公式。并問如何設置迭代終止條件可以保證計算結果具有4位有效數(shù)字（不計舍入誤差）。五、（15分）對初值問題1表達式,并與準確解計