西北工業(yè)大學飛行器結(jié)構(gòu)力學電子教案3課件

飛行器結(jié)構(gòu)力學基礎

——電子教學教案西北工業(yè)大學航空學院航空結(jié)構(gòu)工程系第三章靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計算Chapter3InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第一講靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定桁架的內(nèi)力計算3-1

靜定結(jié)構(gòu)的概念所謂靜定結(jié)構(gòu)是指沒有多余約束的幾何不變體。從靜定結(jié)構(gòu)的運動學上：結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)N=結(jié)構(gòu)的約束數(shù)C能提供的靜力平衡方程數(shù)目未知力(元件力和支反力)總數(shù)=從靜定結(jié)構(gòu)的靜力學上：3-1

靜定結(jié)構(gòu)的概念

由線性代數(shù)的知識可知：當方程的數(shù)目等于未知量的數(shù)目時，未知量可以由這組方程全部求出，且解是惟一的。因此，對靜定結(jié)構(gòu)：在已知外力作用下，系統(tǒng)中的全部未知力由靜力平衡方程惟一確定。換句話講，滿足靜力平衡方程的解，就是靜定結(jié)構(gòu)的真實受力狀態(tài)。3-2

靜定桁架的內(nèi)力計算

一、計算模型(calculationmodel)組成桁架的元件均為直桿；各桿均用無摩擦的理想鉸連接，桿的軸線通過鉸心，稱鉸心為桁架的結(jié)點;外力僅作用在結(jié)點上。桁架：truss,pin-jointedframework由于鉸只能傳遞線力，不能傳遞力矩，因而外力只能作用在桿兩端結(jié)點上；不計桿的自重，各桿只受到兩端結(jié)點上的作用力，且在此二力作用下處于平衡。這種在桿兩端受到大小相等、方向相反、沿桿軸線的力作用的桿，力學上稱為“二力桿”。桁架的內(nèi)力就是指各桿的軸力。桿軸線桁架的分類：1、根據(jù)維數(shù)分類1.1平面（二維）桁架（planetruss）

——所有組成桁架的桿件都在同一平面內(nèi),僅承受平面內(nèi)的載荷。1.2空間（三維）桁架（spacetruss）——組成桁架的桿件不都在同一平面內(nèi)。2、按外型分類

平行弦桁架

三角形桁架

拋物線桁架

梯形桁架簡單桁架simpletruss復合桁架combinedtruss復雜桁架Complicatedtruss3、按幾何組成分類

梁式桁架4、按受力特點分類：

拱式桁架豎向荷載下將產(chǎn)生水平反力

某桁架實例主桁架上弦桿下弦桿豎桿斜桿跨度桁高

弦桿腹桿結(jié)間d主桁架經(jīng)簡化后，得到圖示的工程結(jié)構(gòu)：二、靜定桁架組成規(guī)則1、平面桁架的組成規(guī)則（1）逐次連接結(jié)點法（二元體規(guī)則）從某一基礎或幾何不變體開始，每增加一個平面結(jié)點，用兩根不共線的桿將該結(jié)點連接在基礎上，依次增加結(jié)點和桿子，將組成靜定平面桁架。多余簡單桁架幾何瞬變二、靜定桁架組成規(guī)則1、平面桁架的組成規(guī)則（2）復合桁架法（二剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則）將幾個簡單桁架用最小必需的約束（3個）連接起來,使各部分之間不會發(fā)生相對移動或瞬時可動,得到一個復合桁架。二剛片規(guī)則三剛片規(guī)則靜定桁架二、靜定桁架組成規(guī)則1、空間桁架的組成規(guī)則（1）逐次連接結(jié)點法從某一基礎或幾何不變體開始，每增加一個空間結(jié)點，用三根不全共面的桿將該結(jié)點連接在基礎上，依次增加結(jié)點和桿子，將組成靜定空間桁架。簡單桁架二、靜定桁架組成規(guī)則1、空間桁架的組成規(guī)則（2）復合桁架法將幾個簡單桁架用最小必需的約束（6個）連接起來,使各部分之間不會發(fā)生相對移動或瞬時可動,得到一個復雜桁架。靜定桁架用6根不全共軸(含無窮遠處即平行)的桿將一個空間幾何不變體固定于基礎上。三、靜定桁架的內(nèi)力計算桁架的內(nèi)力分解未知桿軸力假設以拉為正支反力的方向可任意假設三、靜定桁架的內(nèi)力計算1、結(jié)點法（nodalanalysismethod）

以一個結(jié)點的隔離體為研究對象，用共點力系的平衡方程求解各桿軸力的方法。平面共點力系選結(jié)點時，作用在結(jié)點上的未知力不能超過2個?？臻g共點力系選結(jié)點時，作用在結(jié)點上的未知力不能超過3個。例1

求圖示靜定桁架的內(nèi)力解：1、作幾何特性分析

該桁架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、內(nèi)力求解

從未知力不超過2個的結(jié)點開始，利用結(jié)點法依次求出桿軸力。13、求支座反力4、繪制力圖5、校核校核內(nèi)力狀態(tài)是否滿足整體平衡，以檢查內(nèi)力是否正確。也可以以表格的形式給出內(nèi)力結(jié)果。桿軸力1－21－42－32－42－54－5例2求圖示靜定桁架的內(nèi)力解：1、作幾何特性分析

該桁架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、內(nèi)力求解

由結(jié)點5、4、3、2、1，利用結(jié)點法依次求出各桿軸力和支座反力。例2求圖示靜定桁架的內(nèi)力3、繪制內(nèi)力圖4、校核000注意到，在外力作用下，桁架中并不是全部的桿件都參予承力，常常存在一些軸力為零的桿件，軸力為零的桿件叫做“零力桿”?！傲懔U”在桁架中不承力，僅保持桁架的幾何形狀。零力桿的判斷

在計算桁架內(nèi)力之前，如能事先找出零力桿，可以簡化計算，減少計算工作量。N2=0N1=01、不共線的兩桿，交于無載荷作用的結(jié)點，則此二桿均為零力桿。N=0零力桿的判斷N=02、一桿與共線的兩桿交于無載荷作用的結(jié)點，則此桿為零力桿。推論：不共線的兩桿交于一點，且外載荷沿其中一桿軸線作用，則另一根桿為零力桿。單桿P例題：試判斷圖示桁架中的零力桿試判斷圖示桁架中的零力桿桁架的傳力路徑

在傳遞外載荷過程中，承受力的桿件組成的路徑稱之為該外載荷的傳力路徑，也稱為傳力路線。

傳力路線是結(jié)構(gòu)設計和分析中十分重要的概念，設計一個結(jié)構(gòu)，歸根結(jié)蒂就是要為給定的載荷設計一條傳力路線。傳力路線愈短、愈直接，結(jié)構(gòu)效率就愈高。比較下圖(a)與圖(b)，兩圖中的結(jié)構(gòu)的元件數(shù)量相同，但后一種傳力路線此前一種長，顯然沒有前一種合理，結(jié)構(gòu)設計中應該力求避免。

試繪出圖示桁架的傳力路徑例題此例說明靜定結(jié)構(gòu)的一個性質(zhì)結(jié)論：當平衡力系作用在靜定結(jié)構(gòu)的某一幾何不變部分上時，只有該幾何不變部分受力，其余部分不受力。0001、判斷零力桿2、求支反力2.求桁架內(nèi)力的截面法

截取桁架的某一局部作為隔離體，由平面任意力系的平衡方程即可求得未知的軸力。對于平面桁架，由于平面任意力系的獨立平衡方程數(shù)為3，因此所截斷的未知力的桿件數(shù)一般不宜超過3根。例題:試用截面法求圖示桁架4-5、4-11、10-11

三桿的內(nèi)力。解：1、作幾何特性分析

該桁架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。例題:試用截面法求圖示桁架4-5、4-11、10-11

三桿的內(nèi)力。2、求支座反力R7=70KNR1=200KN例題:試用截面法求圖示桁架4-5、4-11、10-11

三桿的內(nèi)力。3、用A－A截面將4-5、4-11、10-11三桿切斷，并取右邊部分作為隔離體。R7=70KNR1=200KNAA例題:試用截面法求圖示桁架4-5、4-11、10-11

三桿的內(nèi)力。由ΣM11＝0，N4,5×6＝R7×8，N4,5＝93.33KN由ΣM4＝0，N10,11×6+R7×12，N10,11＝－140KN由豎向平衡方程，N4,11＝84.1295KN通過合理地選取截面及合理地選取力矩中心，可方便地求出桁架中指定桿件的內(nèi)力。例題：試用截面法求圖示桁架C桿的內(nèi)力ΣMB＝0:Nc×a=F×aNc=－F3.混合法求解桁架內(nèi)力用結(jié)點法求解桁架內(nèi)力時，要求從未知力不能超過2個的結(jié)點處開始。但對某些桁架，有時每個結(jié)點上的未知力都可能超過2個，這時，單獨用結(jié)點法求解比較困難。需要同時應用結(jié)點法和截面法才能確定桿件內(nèi)力，這種方法稱為混合法（combinedmethod）。思路：先針對特定的2個未知內(nèi)力，通過截面法建立其平衡方程，求解出這2個內(nèi)力，然后可采用結(jié)點法求解出其余的內(nèi)力。解：1、作幾何特性分析

三個剛片Δ123、Δ345和桿6-7用三個不共線的鉸相連，組成無多余約束的幾何不變體，外部用一個鉸和一根不通過該鉸的桿連接于基礎，故該桁架為靜定的。例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力2、計算內(nèi)力

注意到每一個結(jié)點上的未知內(nèi)力均超過2個，因此用結(jié)點法無法依次求解。采用混合法求解。①求支座反力，如圖示。PP例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力PP②取Δ123為隔離體,建立關于N26和N17的方程。由ΣM3＝0，(A)例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力PP③再取桿6-7為隔離體,建立關于N26和N17的另一個方程。(B)例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力PP④聯(lián)立求解(A)和(B)，求出N26和N17。⑤再用結(jié)點法求出其余各桿的軸力。飛行器結(jié)構(gòu)力學基礎

——電子教學教案西北工業(yè)大學航空學院航空結(jié)構(gòu)工程系第三章靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第二講靜定剛架和混合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算3-3

靜定剛架的內(nèi)力計算

一、計算模型組成元件可以是直桿，也可以是曲桿；元件之間用剛性接頭或鉸連接;外力可以以任意形式作用在剛架的任意部位（任意位置、任意方向；集中力、分布力、力矩、扭矩）。剛架：frame所謂剛性接頭是指：被連接的元件之間在剛性接頭處不發(fā)生相對位移，即元件之間的夾角不變。被連接的元件在剛接點處，即不能發(fā)生相對移動，也不能繞剛接點發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。因此，剛接即可以傳遞力，也可以傳遞力矩。剛性接頭的力學特征：保持角度不變剛性接頭是無多余約束的裝置。有一個自由度，不能承彎。

平面剛性接頭：相當于起3個約束；空間剛性接頭：相當于起6個約束。無多余約束，可以承彎。剛性接頭剛架的分類：按照維數(shù)，分為平面剛架和空間剛架。1.平面（二維）剛架（planeframe）

——組成剛架的所有元件及其外載荷均在同一平面內(nèi)。2.空間（三維）剛架（spaceframe）

——組成剛架的元件或載荷不都在同一平面內(nèi)。載荷與結(jié)構(gòu)元件不在一個平面內(nèi)。載荷、結(jié)構(gòu)元件均不在一個平面內(nèi)。剛架的內(nèi)力平面梁：在梁的任意一個橫截面上，均承受3個內(nèi)力：軸力、剪力、彎矩。xyz空間梁zy平面梁x空間梁：在梁的任意一個橫截面上，均承受6個內(nèi)力：1個軸力、2個剪力、2個彎矩、1個扭矩。二、靜定剛架組成規(guī)則1、平面剛架的組成規(guī)則（1）逐次連接桿子法：簡單剛架

從某一基礎或幾何不變體開始，每增加一個平面桿件，用一個剛性接頭將該桿件連接在基礎上，這樣依次用剛性接頭連接桿子，將組成靜定的簡單剛架。二、靜定剛架組成規(guī)則1、平面剛架的組成規(guī)則（2）逐次連接剛架法：復合剛架

將2個或更多簡單剛架用最小必需的約束(3個)連接起來,使各部分之間不會發(fā)生相對移動或瞬時可動，得到一個復合剛架。二剛片規(guī)則三剛片規(guī)則靜定剛架二、靜定剛架組成規(guī)則1、平面剛架的組成規(guī)則（2）逐次連接剛架法：復合剛架幾何不變系統(tǒng)幾何瞬變系統(tǒng)二、靜定剛架組成規(guī)則1、平面剛架的組成規(guī)則（3）封閉剛架將A處切斷

逐次連接桿子法時，如果形成了封閉剛架，則在封閉處就引入了多余約束，組成了具有多余約束的靜不定剛架。可知：平面剛架每封閉一次，增加3個多余約束。如何確定這3個未知力？僅靜力平衡方程夠嗎？二、靜定剛架組成規(guī)則分析圖示平面剛架的幾何組成特性f=3f=633333f=93二、靜定剛架組成規(guī)則分析圖示平面剛架的幾何組成特性3333f=12f=9Why?比較這兩個結(jié)構(gòu)的區(qū)別三、靜定剛架的內(nèi)力計算剛架內(nèi)力符號規(guī)定軸力N以元件段受拉為正，受壓為負。剪力Q以元件段順時針轉(zhuǎn)動為正，逆時針轉(zhuǎn)動受壓為負。彎矩M沒有正負號規(guī)定，在彎矩圖上將彎矩畫在受壓一側(cè)。剛架的內(nèi)力計算，就是求出剛架中任意剖面上的內(nèi)力，并以內(nèi)力圖的形式表達出來。剛架的內(nèi)力計算，通常采用截面法。例1求圖示剛架的內(nèi)力，并繪制內(nèi)力圖。已知

P1=P2=500kg。解：1、作幾何特性分析逐次連接桿子法，組成無內(nèi)部多余約束的簡單剛架，再用3個外部約束將其固定在基礎上，符合兩剛片規(guī)則，該剛架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、求內(nèi)力（1）先求支反力H1

解出：例1求圖示剛架的內(nèi)力2、求內(nèi)力（2）求截面內(nèi)力對1－2段：任取一剖面I－I，截取分離體：建立靜力平衡方程：例1求圖示剛架的內(nèi)力2、求內(nèi)力（2）求截面內(nèi)力對４－３段：任取一剖面II－II，截取分離體：建立靜力平衡方程：例1求圖示剛架的內(nèi)力2、求內(nèi)力（2）求截面內(nèi)力對2－３段：以5點為分界點，分左右兩段來計算。在左段上任取一截面III－III，截取分離體：建立靜力平衡方程：例1求圖示剛架的內(nèi)力2、求內(nèi)力（2）求截面內(nèi)力再在右段上任取一截面IV－IV，截取分離體：建立靜力平衡方程：例1求圖示剛架的內(nèi)力3、繪制內(nèi)力圖繪制內(nèi)力圖時，應注意以下幾點：1、圖形要按一定比例尺寸繪制；2、在力圖的各個折點、結(jié)構(gòu)的拐點、極值點、突變點處，應注明內(nèi)力值；3、標明力圖的單位（如果有單位的話）。彎矩圖上的折點說明了什么？剪力圖上的突變點說明了什么？軸力圖上的突變點說明了什么？在只有兩桿匯交且無外力偶作用的剛結(jié)點處，兩桿桿端彎矩必大小相等，且同側(cè)受壓。例2繪制圖示剛架的內(nèi)力圖。

（說明：題中如無特別指明，僅繪制彎矩圖。）解：1、作幾何特性分析

1-2-5、5-3-4為兩個簡單剛架，并和基礎一起形成三個平面剛片，利用三剛片規(guī)則可知，該剛架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。例2繪制圖示剛架的內(nèi)力圖。

（說明：題中如無特別指明，僅繪制彎矩圖。）2、求支座反力解出：如何求出H1和H4？取一半結(jié)構(gòu)（例如左半部分）分析，由于5點是一個鏈鉸，不傳遞彎矩，故利用5點的力矩平衡方程，可得：例2繪制圖示剛架的內(nèi)力圖。

（說明：題中如無特別指明，僅繪制彎矩圖。）3、求彎矩yx例2繪制圖示剛架的內(nèi)力圖。

（說明：題中如無特別指明，僅繪制彎矩圖。）4、繪制彎矩圖例3繪制圖示開口園框的彎矩、剪力和軸力圖。解：1、作幾何特性分析開口園框為靜定的，受自平衡載荷作用。結(jié)構(gòu)及外力左右對稱，故可取一半結(jié)構(gòu)來分析。2、求內(nèi)力例3繪制圖示開口園框的彎矩、剪力和軸力圖。3、繪制內(nèi)力圖四、靜定混合桿系的內(nèi)力計算混合桿系是由桁架和剛架共同組成，其內(nèi)力計算方法與前面介紹的桁架和剛架的內(nèi)力計算方法完全一樣。屬于桁架的部分，其元件內(nèi)力只有軸力，而屬于剛架的部分，其元件內(nèi)力包括軸力、剪力、彎矩等。例4圖示為飛機單柱式起落架簡化得到的計算模型，試求內(nèi)力并作內(nèi)力圖。圖中單位為mm。解：1、作幾何特性分析支柱1-2-3用一個鉸和一根不通過這個鉸的桿連接于基礎，該混合結(jié)構(gòu)為靜定的。此例中，顯然，元件1-2-3為梁，承受軸力、剪力和彎矩，而元件2-4為鏈桿，只承受軸力。2、求內(nèi)力例4計算飛機單柱式起落架內(nèi)力并作內(nèi)力圖。利用元件1-2-3的平衡條件：例4計算飛機單柱式起落架內(nèi)力并作內(nèi)力圖。求支柱內(nèi)力：對于1-2段上任意剖面：例4計算飛機單柱式起落架內(nèi)力并作內(nèi)力圖。求支柱內(nèi)力：對于2-3段上任意剖面：例4計算飛機單柱式起落架內(nèi)力并作內(nèi)力圖。3、繪制內(nèi)力圖其余力圖略。解：1、作幾何特性分析開口園框為靜定的，受自平衡載荷作用。結(jié)構(gòu)及外力左右對稱，故可取一半結(jié)構(gòu)來分析。例5繪制某機身開口園框彎矩圖。已知外力2P，蒙皮給框的支反力為。2、求截面彎矩由于外力是分布的，需要采用積分的方法，求。對于任意角度為

剖面，截取分離體，圖示。2、求截面彎矩任意角度為的截面彎矩為：3、繪制彎矩圖為了確定M的極值點的位置，可利用導數(shù)：五、靜定結(jié)構(gòu)的主要特性基本特性：滿足全部平衡條件的解，必是靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的唯一解。五、靜定結(jié)構(gòu)的主要特性由基本特性可以派生出以下幾個特性：（1）靜定結(jié)構(gòu)無初內(nèi)力：支座微小位移、溫度改變、元件的制造誤差不產(chǎn)生反力和內(nèi)力。（3）在結(jié)構(gòu)某幾何不變部分上載荷做等效變換時，載荷變化部分之外的反力和內(nèi)力不變。（4）結(jié)構(gòu)某幾何不變部分，在保持與結(jié)構(gòu)其他部分連接方式不變的前提下，用另一方式組成的不變體代替，其它部分的受力情況不變。（2）當平衡力系作用在靜定結(jié)構(gòu)的某一幾何不變部分上時，只有該幾何不變部分受力，其它部分不受力。五、靜定結(jié)構(gòu)的主要特性由基本特性可以派生出以下幾個特性：（5）任意力系作用在固定的靜定結(jié)構(gòu)上時，組成力系的各分力只由能夠提供支反力的各幾何不變部分來承擔，其它部分的內(nèi)力均為零。飛行器結(jié)構(gòu)力學基礎

——電子教學教案西北工業(yè)大學航空學院航空結(jié)構(gòu)工程系第三章靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第三講靜定結(jié)構(gòu)的位移計算一、結(jié)構(gòu)位移計算概述

結(jié)構(gòu)在外界因素（諸如載荷、溫度改變、支座移動、制造誤差等）作用下幾何形狀發(fā)生的變化，稱為結(jié)構(gòu)變形。1、結(jié)構(gòu)的變形

結(jié)構(gòu)變形可通過不同的結(jié)構(gòu)位移形式來表征，并通過計算位移值來定量描述。2、結(jié)構(gòu)位移的形式線位移，角位移，相對線位移，相對角位移等統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)位移線位移：參考點沿某一方向上的變形量。角位移：參考截面或元件的轉(zhuǎn)動變形量，轉(zhuǎn)角、扭轉(zhuǎn)角等。相對線位移：兩個參考點沿某一方向上的相對變形量。相對角位移：兩個參考面或元件間的相對轉(zhuǎn)動變形量。

計算結(jié)構(gòu)的位移是結(jié)構(gòu)設計中的一項非常重要的內(nèi)容，一方面為研究結(jié)構(gòu)的剛度提供數(shù)據(jù)，另一方面為靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算奠定基礎。實質(zhì)：分析結(jié)構(gòu)幾何關系的變化。3、計算結(jié)構(gòu)位移的目的二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能對于圖(a)的桿件為完全彈性體，其橫截面積為A，長度為L。在載荷P作用下桿件的軸向力N由零逐漸增加到最終值P，桿件的變形也由零逐漸增加到Δ。力與變形之間的關系按圖(b)曲線變化。這時外力所作的功W等于

按照能量守恒原理，外載荷所作的功就以能量的形式貯存于桿件中。彈性體變形后具有的作功能力，稱為變形能或應變能，用U表示應變能。

二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能對于完全彈性體，顯然應變能就等于外力所作的功，即圖示桿件的應變能為式中稱為應變能密度(單位體積的應變能)。圖(b)中曲線下面的那部分面積就代表了外力所作的功W或應變能U的大小。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能圖(b)曲線上面的那部分面積所代表的功量記為W*或U*，并稱W*為外力余功，稱U*為余應變能。對完全彈性體來說，

圖示桿件的外力余功W*和余應變能U*為式中稱為余應變能密度(單位體積的余應變能)。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能外力余功W*或余應變能U*并無任何物理意義，純粹是為了使用上的方便而定義的一個數(shù)學量而已。但可以證明，余應變能同樣服從工程結(jié)構(gòu)中的能量守恒原理，因而，通過它所建立的一種能量方法同樣可用于實際結(jié)構(gòu)分析。在線彈性情況下，載荷-位移曲線退化為直線，應變能U與余應變能U*相等，從而應變能和余應變能可以互換。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能將應變能U

和余應變能U*

分別對Δ

和P微分，可得到分別表示應變能對位移的一階導數(shù)等于外力，而余應變能對外力的一階導數(shù)等于位移，可適用于線彈性或非線彈性情況。

在線彈性情況下，著名的卡氏第二定理,只適用于線彈性情況。二、回顧：外力功和變形能2.2線彈性結(jié)構(gòu)元件的應變能和余應變能的表達式等軸力桿等彎矩梁等扭轉(zhuǎn)桿三、廣義力與廣義位移

在結(jié)構(gòu)力學中，經(jīng)常用到各種不同類型的力和與這些力相對應的位移。如圖所示的三種線彈性元件上，分別作用有集中力、彎矩、扭矩，對應于這些力的位移分別為線位移、彎曲轉(zhuǎn)角和扭轉(zhuǎn)角。外力所作的功分別為：拉伸彎曲扭轉(zhuǎn)三、廣義力與廣義位移

上述三種作用力及對應的三種變形均不相同，但它們有共同點，就是都能使物體發(fā)生變形，從而對物體作了功，所作之實功均等于系數(shù)“1/2”乘“力”乘“位移”。若把這三種不同型式的“力”均稱為廣義力，與此廣義力相對應的位移稱為廣義位移的話，則廣義力所作的功可表達為（廣義力）（廣義位移）

廣義力與廣義位移的定義：一般而論，任何一個力或一組相互有關且又彼此獨立的力系，如果可以用一個代數(shù)量來表示它，則稱它為一個廣義力，與此廣義力相對應的位移稱為廣義位移。廣義力與相應的廣義位移乘積的一半等于該廣義力所作的功。三、廣義力與廣義位移如果桿件同時承受有集中力、彎矩、扭矩作用，則廣義外力與廣義位移分別為于是，廣義力所作的功等于一般地：（非線性）（線性）三、廣義力與廣義位移一些典型結(jié)構(gòu)元件的廣義力和廣義位移：等軸力桿：等彎曲桿：等扭轉(zhuǎn)桿：等剪力桿：四、彈性體的虛功原理1、概述彈性體在外力作用下處于平衡，存在兩個力學狀態(tài)平衡的力狀態(tài)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)特別注意：這兩個狀態(tài)屬同一個體系，是同一個力學問題的兩種表現(xiàn)形式，相互關聯(lián)，不可分割。平衡關系、協(xié)調(diào)關系、物理關系力學問題的3個基本關系（廣義力）（廣義位移）

實功：研究彈性體力學問題的兩種能量方法當協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)發(fā)生微小變化時，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量有什么變化？當平衡的力狀態(tài)發(fā)生微小變化時，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量有什么變化？虛位移原理虛力原理統(tǒng)稱為：虛功原理重要定義1虛位移——一種假想的、滿足位移約束條件的、任意的、微小的連續(xù)位移。假象的：是指虛位移僅僅是想象中發(fā)生但實際并不一定發(fā)生的一種可能位移。滿足位移約束的：是指虛位移應當滿足變形體的變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。任意的：是指虛位移與變形體是否受力無關。微小的：是指虛位移并不影響變形體的幾何關系，即不影響力的平衡關系。因此，在發(fā)生虛位移的過程中，外力與內(nèi)力均保持不變，即保持原有的平衡狀態(tài)。虛位移的例子位移邊界條件為：w為梁的真實撓度曲線。幾種虛位移的形式：變形體的真實位移是否可作為虛位移呢？完全可以重要定義2虛功——實力在虛位移上所作的功，或廣義力在與其無關的虛廣義位移上所作的功。因為，在發(fā)生虛位移的過程中，外力和內(nèi)力保持不變,因此，在虛功的表達式中無系數(shù)“1/2”。為了與實功W區(qū)別，記虛功為δW，虛位移δΔ，則虛功為虛功的例子真實外力虛位移虛功為：重要定義3虛力——一種假想的、滿足平衡條件的任意力系。假象的：是指虛力僅僅是想象中一種可能力系。滿足平衡條件的：是指虛力應當滿足力的平衡方程（內(nèi)部）和力的邊界條件（外部）。任意的：是指虛力與變形體的變形無關。因此，在發(fā)生虛力的過程中，變形體的位移均保持不變，即保持原有的協(xié)調(diào)狀態(tài)。虛力的例子真實受力和變形狀態(tài)：虛力狀態(tài)1：雖然力狀態(tài)是平衡的，但力狀態(tài)與實際變形無關系。不是真實的受力狀態(tài)，而僅是滿足平衡條件的力狀態(tài)。虛力的例子真實受力和變形狀態(tài)：虛力狀態(tài)2：虛力狀態(tài)3：變形體的真實受力狀態(tài)是否可作為虛力呢？完全可以重要定義4余虛功——虛力在真實位移上所作的功，或虛廣義力在與其無關的廣義位移上所作的功。因為，在發(fā)生虛力的過程中，位移保持不變，在余虛功的表達式中也無系數(shù)“1/2”。為了與余功W*區(qū)別，記余虛功為δW*，虛力δP，則余虛功為余虛功的例子余虛功為：真實位移虛力2、虛功原理2.1質(zhì)點的虛位移原理一質(zhì)點在諸力作用下處于平衡的充分必要條件是：所有力在質(zhì)點虛位移上所作的虛功總和為零。必要條件充分條件平衡方程：虛功方程：2、虛功原理2.2質(zhì)點系的虛位移原理一質(zhì)點系在諸力作用下處于平衡的充分必要條件是：對于任意的虛位移，作用于質(zhì)點系的主動力所做虛功之和為零。必要條件充分條件平衡方程：虛功方程：2、虛功原理2.2剛體(或剛體系)的虛位移原理一剛體(系)處于平衡的充分必要條件是

：對于任何可能的虛位移(剛體虛位移)，作用于剛體(系)的所有外力所做虛功之和為零。對于一剛體(系)，去掉約束而代之以相應的反力，該反力便可看成外力。-FPΔP+FB

ΔB=0假設一種剛體虛位移，則有相當于∑MA=02、虛功原理2.4彈性系統(tǒng)的虛位移原理平衡的力狀態(tài)協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài)彈性系統(tǒng)在外力作用下處于平衡狀態(tài)，對任意的虛位移，系統(tǒng)中所有外力在虛位移上所作的虛功總和等于所有內(nèi)力在虛位移上所作的虛功總和。外力虛功內(nèi)力虛功符號標記：Si、Vi

分別表示在真實外力作用下，彈性體內(nèi)部第i個元件的內(nèi)力和位移；δSi

表示第i個元件的虛內(nèi)力；δVi

表示第i個元件的虛位移。2、虛功原理協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)平衡的虛力狀態(tài)彈性系統(tǒng)在外力作用下處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)，對任意的虛力狀態(tài),系統(tǒng)中所有虛外力在位移上所作的余虛功總和等于所有虛內(nèi)力在位移上所作的虛余功總和。2.4彈性系統(tǒng)的虛力原理外力余虛功內(nèi)力余虛功待分析平衡的力狀態(tài)3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應用

關于虛位移原理【例1】建立圖示桁架1點的平衡方程。解：（1）設三根桿的內(nèi)力分別為N1、N2、N3，在1點處與外載荷應滿足平衡條件。N1N2N3（2）假設1處的水平位移為δu，垂直位移為δv。根據(jù)桁架的幾何參數(shù)，可以得出各桿與結(jié)點1的位移相協(xié)調(diào)的變形，如表所示。

桿號桿長伸長量1-2桿：1-3桿：1-4桿：協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài)【例1】建立圖示桁架1點的平衡方程。解：（3）外力虛功、內(nèi)力虛功分別為N1N2N3（4）根據(jù)虛位移原理，，有由于虛位移δu、δv為任意值，有1點的X向平衡方程1點的Y向平衡方程出導3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應用待分析的平衡系統(tǒng)的力狀態(tài)虛設的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)

關于虛位移原理實際受力狀態(tài)的平衡方程實質(zhì)：用幾何法解靜力平衡問題。待分析協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)

關于虛力原理【例2】圖示桁架在外力作用下處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)。已知桿子12、13、14的伸長量分別為ΔL12、ΔL13、ΔL14，求1點的水平位移u和垂直位移v。解：（1）內(nèi)位移ΔL12、ΔL13

和ΔL14，與1點的水平位移u和垂直位移v應滿足協(xié)調(diào)條件。（2）假設1點處的水平力為δPx，垂直力為δPy。根據(jù)虛力的定義，可以求與虛外力平衡的一種內(nèi)力狀態(tài)，如圖所示。

滿足平衡條件的虛力狀態(tài)0【例2】解：（3）外力余虛功、內(nèi)力余虛功分別為（4）根據(jù)虛位移原理，，有由于虛力δPx、δPy為任意值，有1點的X向幾何方程1點的Y向幾何方程出導3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應用待分析的協(xié)調(diào)系統(tǒng)的位移狀態(tài)虛設的平衡力狀態(tài)

關于虛力原理實際變形狀態(tài)的幾何(協(xié)調(diào))方程實質(zhì)：用靜力平衡法解幾何問題。虛力原理對求解靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力具有重要的應用。五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式利用虛功原理(虛力原理)，可以求出變形結(jié)構(gòu)中任意一點由于變形而產(chǎn)生的位移。真實的位移狀態(tài)平衡的虛力狀態(tài)令

，則有虛功原理五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式式中：即為所求m點處的結(jié)構(gòu)位移值；

表示外力作用下結(jié)構(gòu)元件i的真實位移；

表示單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力。這就是單位載荷法(Dummy-UnitLoadMethod)，它是Maxwell(1864)和Mohr(1874)提出的，故也稱為Maxwell-MohrMethod。上式可寫成：五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式如何求？

：外力作用下第i個結(jié)構(gòu)元件的廣義力；

：第i個結(jié)構(gòu)元件的剛度系數(shù)桁架：剛架：等五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式根據(jù)不同類型元件的廣義力與廣義位移，可得到不同類型結(jié)構(gòu)的位移計算公式。

平面或空間桁架

平面剛架截面形狀系數(shù)。如：（1）對矩形截面k=6/5；（2）對圓形截面k=10/9。軸力彎矩剪力五、單位載荷法－求位移的Mohr公式2、用單位載荷法求結(jié)構(gòu)位移的一般步驟求在外載荷作用下的結(jié)構(gòu)真實內(nèi)力；施加與所求位移相對應的單位廣義力，并求在單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力；代入單位載荷法的一般表達式中，求廣義位移；若，表示所求位移的方向與單位力方向相同；，表示所求位移的方向與單位力方向相反。著重指出：單位力的位置、類型和方位必須與所求位移相對應。施加單位廣義力的原則：單位廣義力×位移＝所求位移值如何施加與所求位移對應的單位廣義力求5點的豎向位移1求1點和6點的水平相對位移11如何施加與所求位移對應的單位廣義力求1－5桿的轉(zhuǎn)角求1點和6點在1、6連線上的相對位移11如何施加與所求位移對應的單位廣義力求1－5桿、3－6桿的相對轉(zhuǎn)角如何施加與所求位移對應的單位廣義力求A點的豎向位移1求A截面的轉(zhuǎn)角1如何施加與所求位移對應的單位廣義力求A、B兩點的豎向相對位移1求A、B兩截面的相對轉(zhuǎn)角111例1：求桁架4點的豎向位移Δ4V，設各桿EA均相同。解：1、幾何特性分析該桁架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。3、為求4點的豎向位移，在4點豎向方向上施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即求。4、由單位載荷法求Δ4V2、求桁架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。例1：求桁架4點的豎向位移Δ4V，設各桿EA均相同。Δ4V>0，與單位力的方向一致。例2：求剛架A點的豎向位移ΔAV。設E、J、G、A均相同。解：1、幾何特性分析該剛架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、求剛架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。例2：求剛架A點的豎向位移ΔAV。設E、J、