西安科技大學自動控制原理教學同步教程-第三章課件

§3.1典型輸入信號及系統(tǒng)暫態(tài)

響應(yīng)性能指標3.1.1典型輸入信號及系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標1.典型輸入信號在規(guī)定了系統(tǒng)的初始條件以后，考察系統(tǒng)的性能一般是以它對某一典型試驗信號的輸出響應(yīng)為依據(jù)。采用什么樣的典型試驗信號，取決于系統(tǒng)的常見工作狀態(tài)。因此，在選擇典型試驗信號時，一是應(yīng)盡可能的接近實際工作時的外加信號；二是信號容易產(chǎn)生；三是信號能反應(yīng)系統(tǒng)最不利的工作條件。根據(jù)以上三條，工程中常用的典型試驗信號有階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)。（1）階躍函數(shù)tr(t)Rtr(t)Rtr(t)t0（2）斜坡函數(shù)（勻速函數(shù)）（3）拋物線函數(shù)（勻加速函數(shù)）R=1時，稱為單位階躍函數(shù)，記為l(t)。R(S)=1/S。R=1時，稱為單位斜坡函數(shù)。R=1/2時，稱為單位拋物線函數(shù)。tr(t)h1/htr(t)r(t)t（4）脈沖函數(shù)（5）正弦函數(shù)當時，則稱為單位脈沖函數(shù)。3.1.2

系統(tǒng)時域響應(yīng)及暫態(tài)性能指標

若線性定常系統(tǒng)的輸入量為，輸出量為，則描述該系統(tǒng)的微分方程式一般形式為

規(guī)定系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)，即：。表明在輸入加于系統(tǒng)之前，被控量及其各階導數(shù)相對于平衡工作點的增量為零，系統(tǒng)處于相對平衡狀態(tài)。初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入信號作用下的輸出，稱為典型時間響應(yīng)。典型時間響應(yīng)由暫態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。暫態(tài)過程：暫態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出由初始狀態(tài)到達最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式?？刂葡到y(tǒng)在典型輸入信號作用下的性能指標，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間t的變化狀況的指標，稱為動態(tài)性能指標。對于圖3-5所示單位階躍響應(yīng)，其暫態(tài)性能指標通常為：圖3-5控制系統(tǒng)的典型單位階躍響應(yīng)曲線)(￥c)(tc)()(￥-ctcp)(ptcrtptstt0)(%25%￥±±c）（或允許偏差1.上升時間tr，指響應(yīng)曲線從終值10%上升到終值90%所需要的時間；對于有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為響應(yīng)從零開始，第一次上升到終值所需要的時間。上升時間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。2.峰值時間tp，指響應(yīng)超過終值達到第一個峰值所需要的時間。3.調(diào)節(jié)時間ts，指響應(yīng)達到并保持在終值±5%（或±2%）內(nèi)所需要的時間。

4.超調(diào)量，指響應(yīng)的最大偏離量與終值c(∞)之差的百分比，即：穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)作用下進行測定或計算。若時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量?！?.2一階系統(tǒng)的時域分析用一階微分方程式描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。工程中它是最基本最簡單的系統(tǒng)，通過對一階系統(tǒng)的研究，引出對一般系統(tǒng)進行時域分析的基本方法。圖3-6一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖3.2.1一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當輸入信號為單位脈沖信號時，

一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖3-7所示。圖3-7一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線3.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當系統(tǒng)輸入為單位階躍時，輸出響應(yīng)的拉氏變換為

取的拉氏反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

圖3-8一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.2.3

一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)當參考輸入為單位斜坡函數(shù)時，其拉氏變換，則一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)象函數(shù)為其時域響應(yīng)為t-Ttc(t)()(t)0T圖3-9一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)曲線§3.3二階系統(tǒng)的時域分析

用二階微分方程式描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。在控制理論中，二階系統(tǒng)比一階系統(tǒng)更具有代表性，它的暫態(tài)響應(yīng)指標與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系非常簡明，分析、設(shè)計比較容易。而且在一定條件下，大多數(shù)高階系統(tǒng)都可近似為二階系統(tǒng)進行處理，特別在初步對高階系統(tǒng)進行設(shè)計時常要先做如此近似。所以對二階系統(tǒng)的分析是十分重要的。典型二階系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖3-12所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：圖3-12二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中——二階系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率，簡稱無阻尼自振頻率；——時間常數(shù)；——阻尼系數(shù)。（3-22）由式(3-22)知，閉環(huán)特征方程為其特征根，即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點為（3-23）即閉環(huán)特征根與和有關(guān)。根據(jù)值的不同，可分四種情況討論。（3-24）3.3.1

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

（1）過阻尼情況

當時為過阻尼情況。由式（3-24）可得過阻尼時閉環(huán)特征根為兩個不等的負實根根據(jù)式（3-22）可求得過阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為其中系數(shù)由下式確定將系數(shù)代入上式，并對取拉氏反變換得與式（3-25）對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-14中的單調(diào)上升曲線所示。（3-25）由式（3-25）可知，暫態(tài)分量由兩項組成，當時，其中第二項的衰減指數(shù)比第一項的衰減指數(shù)大得多，所以第二項暫態(tài)分量只在響應(yīng)的前期對系統(tǒng)有影響，后期影響很小，因此第二項可以忽略，此時二階系統(tǒng)的響應(yīng)可近似為一階系統(tǒng)的響應(yīng)。實際工程中當時，這種近似已足夠精確。（2）欠阻尼情況

當時為欠阻尼情況。由式（3-24）可得欠阻尼時閉環(huán)特征根為一對共軛復數(shù)它們在s平面上的分布如圖3-13所示。欠阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為圖3-13欠阻尼二階系統(tǒng)參數(shù)間的關(guān)系式中，——阻尼振蕩角頻率。對上式取拉氏反變換，則可得二階系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)式中，表示二階系統(tǒng)欠阻尼時，特征根在s平面上的特征向量與負實軸的夾角，如圖3-13所示。（3-26）由式（3-26）可看出，二階系統(tǒng)欠阻尼響應(yīng)是一個衰減振蕩，其特性決定于閉環(huán)特征根，即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點在s平面的位置。當時間t趨于無窮大時，暫態(tài)分量振蕩衰減到零，衰減的速度決定于閉環(huán)特征根的實部；衰減振蕩的頻率決定于閉環(huán)特征根的虛部，衰減振蕩曲線如圖3-14中的曲線所示。（3）零阻尼情況

當時就是零阻尼情況。由式（3-22）可知零阻尼時閉環(huán)特征根為一對共軛虛根根據(jù)式（3-26），當可得零阻尼情況下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為（3-27）即時，系統(tǒng)的響應(yīng)呈等幅振蕩，振蕩的角頻率為。由于振蕩是不衰減的，因此稱為無阻尼自然振蕩角頻率，的物理意義是明確的。與式（3-27）所對應(yīng)的振蕩過程如圖3-14中的曲線所示。（4）臨界阻尼情況

當時是臨界阻尼情況，由式（3-24）可知閉環(huán)特征根為兩個相等的負實數(shù)根據(jù)式（3-26），當時，可得臨界阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為（3-28）與式（3-28）相對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為圖3-14中時的單調(diào)上升曲線。圖3-14不同值時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3.3.2

欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析從以上的分析看出，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能由阻尼系數(shù)與無阻尼自振頻率決定，因此它的暫態(tài)響應(yīng)性能指標也可以由它們來描述。其中上升時間、峰值時間和最大超調(diào)量可以用和準確表示，但調(diào)節(jié)時間很難用它們準確表示，只能采用工程近似法計算。（1）上升時間由于上升時間是響應(yīng)曲線由零開始響應(yīng)，第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。其值為（3-29）（2）峰值時間由于峰值出現(xiàn)在響應(yīng)曲線極值處，所以將對時間求一階導數(shù)，并令其等于零即可求得峰值時間（3）最大超調(diào)量最大超調(diào)量發(fā)生在時刻，

（3-30）（3-31）（4）調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間是滿足（3-26）條件的暫態(tài)響應(yīng)最小時間。其中調(diào)節(jié)時間的誤差帶寬度ε通常取5%或2%。則，求取調(diào)節(jié)時間的關(guān)系式為解得因此由式（3-31）得的近似表達式為（3-32）（3-33）（ε取2%）（ε取5%）（3-34）（3-35）例3-3

設(shè)單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為是可調(diào)的。求當時的單位階躍響應(yīng)及其性能指標、及。解當時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為一對共軛復根為相應(yīng)的阻尼系數(shù)和自振頻率分別為由于是欠阻尼情況，所以它的階躍響應(yīng)由式（3-26）可得利用計算性能指標的相應(yīng)公式，可分別計算暫態(tài)響應(yīng)性能指標為、；（取0.05）或（ε取0.02）。3.3.3

二階系統(tǒng)性能的改善

可以考慮比例-微分控制、測速負反饋控制來減小系統(tǒng)的超調(diào)量。

（1）比例-微分控制比例-微分控制時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-18所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

圖3-18附加比例-微分控制的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的阻尼比為：

（3-36）可見，采用比例-微分控制，增加了系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時間縮短，且不影響穩(wěn)態(tài)值及系統(tǒng)的自然頻率。需要注意的是，采用比例-微分控制后，系統(tǒng)為有零點的二階系統(tǒng)，不再是典型二階系統(tǒng)，性能指標計算公式為：

a)峰值時間b)超調(diào)量

c)調(diào)節(jié)時間

其中，

(2)測速反饋控制測速反饋控制時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的阻尼比為：

圖3-19附加測速反饋的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(3-37)可見，測速反饋控制不影響系統(tǒng)的自然頻率，增大了系統(tǒng)的阻尼比，減小了系統(tǒng)的超調(diào)量，另外，測速反饋控制降低了系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而加大了系統(tǒng)在斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。采用測速反饋控制后，系統(tǒng)仍為典型二階系統(tǒng)，性能指標的計算公式同前。(3)比例-微分控制與測速反饋控制的比較對于理想的線性控制系統(tǒng)，在比例-微分控制和測速反饋方法中，可以任取一種來改善系統(tǒng)性能。然而，實際控制系統(tǒng)有許多必須考慮的因素，例如系統(tǒng)的具體組成、作用在系統(tǒng)上噪聲的大小及頻率、系統(tǒng)的線性范圍和飽和程度等。下面僅討論幾種主要差別：☆附加阻尼來源：微分控制的阻尼作用來源于系統(tǒng)輸入端誤差信號的速度，而測速反饋控制的阻尼作用來源于系統(tǒng)輸出端響應(yīng)的速度，因此對于給定的開環(huán)增益和指令輸入速度，后者對應(yīng)較大的穩(wěn)態(tài)誤差值。☆使用環(huán)境：微分控制對噪聲具有明顯的放大作用，當系統(tǒng)輸入端噪聲嚴重時，一般不宜選用微分控制；同時微分器的輸入信號為系統(tǒng)的誤差信號，其能量水平低，需要相當大的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，要求選用高質(zhì)量的放大器。測速反饋控制對系統(tǒng)輸入端的噪聲有濾波作用，同時測速發(fā)電機的輸入信號能量水平較高，因此對系統(tǒng)組成元件沒有過高的質(zhì)量要求，使用場合比較廣泛?！顚﹂_環(huán)增益和自然頻率的影響：微分控制對系統(tǒng)的開環(huán)增益和自然頻率均無影響，測速反饋雖不影響自然頻率，但會降低開環(huán)增益。因此，對于確定的常值穩(wěn)態(tài)誤差，測速反饋控制要求有較大的開環(huán)增益，開環(huán)增益的加大，必然導致系統(tǒng)自然頻率的增加，在系統(tǒng)存在高頻噪聲時，可能引起系統(tǒng)共振?！顚討B(tài)性能的影響：微分控制相當于在系統(tǒng)中加入實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比的情況下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量會大于測速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。§3.4高階系統(tǒng)的時域分析3.4.1

高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，即用高階微分方程描述的系統(tǒng)。對于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來說，其動態(tài)性能指標的確定是比較復雜的。工程上常采用閉環(huán)主導極點的概念對高階系統(tǒng)進行近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的估算式。對于圖示高階系統(tǒng)，圖3-20高階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其閉環(huán)傳遞函數(shù)為（3-38）在一般情況下，和都是s的多項式之比，故式（3-36）可以寫為（3-39）為了便于求出高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，應(yīng)將式（3-39）的分子多項式和分母多項式進行因式分解。這種分解方法，可采用高次代數(shù)方程的近似求根法，也可以使用計算機的求根程序。因而，式（3-39）必定可以表示為如下因式乘積形式：式中，；為之根，稱為閉環(huán)零點；為之根，稱為閉環(huán)極點。由于和均為實系數(shù)多項式，故和只可能是實數(shù)或共軛復數(shù)。在實際控制系統(tǒng)中，所有的閉環(huán)極點通常都不相同，因此在輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出量的拉氏變換式可表示為式中，，q為實數(shù)極點的個數(shù)；r為共軛復數(shù)極點的對數(shù)。將上式展成部分分式，并設(shè)，可得（3-40）其中，是在輸入極點處的留數(shù)，其值為閉環(huán)傳遞函數(shù)（3-39）中的常數(shù)項比值，即（3-41）是在閉環(huán)實數(shù)極點處的留數(shù)，可按下式計算：和是與在閉環(huán)復數(shù)極點處的留數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。（3-42）將式（3-40）進行拉氏反變換，并設(shè)初始條件全部為零，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（3-43）上式表明，高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)，是由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)函數(shù)項組成的。如果高階系統(tǒng)所有閉環(huán)極點都具有負實部，即所有閉環(huán)極點都位于左半s平面，那么隨著時間t的增大，式（3-43）的指數(shù)項和阻尼正弦（余弦）項趨近于零，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)輸出量為。顯然，對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，閉環(huán)極點負實部的絕對值越大，其對應(yīng)的響應(yīng)分量衰減得越迅速；反之，則衰減緩慢。應(yīng)當指出，系統(tǒng)時間響應(yīng)的類型雖然取決于閉環(huán)極點的性質(zhì)和大小，然而時間響應(yīng)的形狀卻與閉環(huán)零點有關(guān)。這一結(jié)論可從式（3-43）看出：輸入量的極點產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)輸出項，而高階系統(tǒng)自身的閉環(huán)極點則全部包含在指數(shù)項和阻尼正弦項的指數(shù)中；至于閉環(huán)零點，雖不影響這些指數(shù)，但卻影響留數(shù)的大小和符號，而系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線，既取決于指數(shù)項和阻尼正弦項的指數(shù)，又取決于這些項的系數(shù)。3.4.2

閉環(huán)主導極點和偶極子在工程應(yīng)用中，實際系統(tǒng)往往是一個高階系統(tǒng)，而對高階系統(tǒng)的分析和研究一般是比較復雜的。這就要應(yīng)用閉環(huán)主導極點的概念，并利用這個概念對高階系統(tǒng)進行近似分析。所謂主導極點是指在系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點中，距離虛軸最近且周圍無閉環(huán)零點的極點，而其余極點又遠離虛軸，那么距虛軸最近的極點所對應(yīng)的響應(yīng)分量在系統(tǒng)響應(yīng)中起主導作用，這樣的閉環(huán)極點稱為主導極點。閉環(huán)主導極點可以是實數(shù)極點，也可以是復數(shù)極點，或是它們的組合。除閉環(huán)主導極點外，其他閉環(huán)極點由于其對應(yīng)的響應(yīng)分量隨時間的推移而迅速衰減，對系統(tǒng)的時間響應(yīng)過程影響甚微，因而統(tǒng)稱為非主導極點。此外，如果存在一對閉環(huán)零、極點，該閉環(huán)零、極點之間的距離比它們本身的模值小一個數(shù)量級，則這一對閉環(huán)零、極點就構(gòu)成了一對偶極子。偶極子對系統(tǒng)的時間響應(yīng)過程影響甚微，在分析高階系統(tǒng)的性能時，可以忽略偶極子的影響。A3.4.3

高階系統(tǒng)動態(tài)性能估算運用閉環(huán)主導極點和偶極子的概念，可對高階系統(tǒng)動態(tài)性能作出估算。設(shè)高階系統(tǒng)具有一對共軛復數(shù)主導極點，而非主導極點實部的模比主導極點實部的模大3倍以上，則其單位階躍響應(yīng)近似為：（3-44）根據(jù)上式，可以估算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。（1）峰值時間（3-45）由上式可以得出如下結(jié)論：a)閉環(huán)零點的作用為減小峰值時間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，并且閉環(huán)零點越接近虛軸，這種作用便越顯著。b)閉環(huán)非主導極點的作用為增大峰值時間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢。c)若閉環(huán)零、極點彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應(yīng)速度的影響相互削弱。(2)超調(diào)量(3-46)其中，

由上式可以得出如下結(jié)論：a)若閉環(huán)零點距虛軸較近，將使超調(diào)量增大，表明閉環(huán)零點會減小系統(tǒng)阻尼。b)若閉環(huán)非主導極點距虛軸較近，將使超調(diào)量減小，表明閉環(huán)非主導極點可以增大系統(tǒng)阻尼。(3)調(diào)節(jié)時間根據(jù)定義，利用方程（3-43）可得到調(diào)節(jié)時間

(誤差帶5%)或

(誤差帶2%)（3-47）由上式可以得出如下結(jié)論：a)若閉環(huán)零點距虛軸較近，將使調(diào)節(jié)時間增大。因此，閉環(huán)零點對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是減小峰值時間，增大系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間，這種作用將隨閉環(huán)零點接近虛軸而加劇。b)若閉環(huán)非主導極點距虛軸較近，將使調(diào)節(jié)時間減小。因此，閉環(huán)非主導極點對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是增大峰值時間，減小系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間?！?.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1穩(wěn)定的概念和定義穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實際工作過程中，總會受到各種各樣的擾動，如果線性系統(tǒng)受到擾動時，偏離了平衡狀態(tài)，而當擾動消失后，線性系統(tǒng)仍能逐漸恢復到原平衡狀態(tài)，則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的，如果系統(tǒng)不能恢復或越偏越遠，則線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是擾動消失后系統(tǒng)自身的一種恢復能力，是線性系統(tǒng)的一種固有特性。這種固有的穩(wěn)定性只取決于線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入以及初始狀態(tài)無關(guān)。穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定圖3-21穩(wěn)定性示意圖分析線性的穩(wěn)定性，給出保證系統(tǒng)特別是高階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是控制系統(tǒng)設(shè)計的基本任務(wù)之一。線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義：若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學條件設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時，作用一個理想單位脈沖，這時系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為脈沖響應(yīng)。這相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。若時，，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當輸入為單位脈沖信號時，上式表明，若系統(tǒng)的特征根中有一個或一個以上正實部根，則時，，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當且僅當系統(tǒng)特征根全部具有負實部，才有時，，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若系統(tǒng)特征根中有一個或一個以上零實部根，而其余的特征根均具有負實部，則時，趨于常數(shù)或趨于等幅正弦振蕩，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，屬不穩(wěn)定系統(tǒng)。(3-48)由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均應(yīng)嚴格位于左半s平面。3.5.3穩(wěn)定判據(jù)(1)胡爾維茨判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程系數(shù)所構(gòu)成的主行列式及其各階順序主子式全部為正。其中：(3-49)(2)勞斯穩(wěn)定判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：根據(jù)特征方程式的系數(shù)，可建立勞斯陣列如下：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯陣列中第一列系數(shù)全部為正。勞斯判據(jù)指出，若勞斯陣列中第一列系數(shù)全部為正，則所有閉環(huán)極點均位于左半s平面；若勞斯陣列第一列系數(shù)有負數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明有閉環(huán)極點位于右半s平面，位于右半s平面的閉環(huán)極點數(shù)正好等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。例3-7設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：建立勞斯陣列勞斯陣列中第一列系數(shù)符號改變2次，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(3)勞斯判據(jù)中的特殊情況a)勞斯陣列第一列出現(xiàn)系數(shù)為零。例3-8設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：建立勞斯陣列：若勞斯陣列某行第一列系數(shù)為零，則勞斯陣列無法計算下去，可以用無窮小的正數(shù)ε代替0，接著進行計算，勞斯判據(jù)結(jié)論不變。由于勞斯陣列中第一列系數(shù)有變號，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。b)勞斯陣列中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零例3-9設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：建立勞斯陣列：勞斯陣列中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零，這是因為在系統(tǒng)的特征方程中出現(xiàn)了對稱于原點的根（如大小相等，符號相反的實數(shù)根；一對共軛純虛根；對稱于原點的兩對共軛復數(shù)根），此時可由全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程式來求這些根。同時用輔助多項式對求導一次后所得的多項式系數(shù)來代替全零行，繼續(xù)計算勞斯陣列。需要指出的是，一旦勞斯陣列中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零，則系統(tǒng)的特征方程中出現(xiàn)了對稱于原點的根，系統(tǒng)必是不穩(wěn)定的。勞斯陣列中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程式根中位于右半s平面的根的數(shù)目。對于本例：結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由輔助方程式可以求得系統(tǒng)對稱于原點的根:利用長除法，可以求出特征方程其余的根。根據(jù)行列式計算的規(guī)則，可知在勞斯陣列的計算過程中，允許某行各系數(shù)同時乘以一個正數(shù)，而不影響穩(wěn)定性結(jié)論。（4）穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用a)利用穩(wěn)定判據(jù)，可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。b)利用穩(wěn)定判據(jù)，可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時，參數(shù)的取值范圍。例3-11設(shè)單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。解：系統(tǒng)的特征方程式為：建立勞斯陣列：系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求。利用穩(wěn)定判據(jù)，也可以衡量一個系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出系統(tǒng)是否穩(wěn)定，即只解決了絕對穩(wěn)定性的問題。在處理實際問題時，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。因為，對于實際的系統(tǒng)，如果一個負實部的特征根緊鄰虛軸，盡管滿足了穩(wěn)定條件，但其暫態(tài)過程具有過大的超調(diào)量和過于緩慢的響應(yīng)，甚至由于系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的微小變化，就是其特征根轉(zhuǎn)移到s右半平面，導致系統(tǒng)不穩(wěn)定?？紤]這些因素，往往希望知道系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少裕量，這就是相對穩(wěn)定性或者穩(wěn)定裕量的問題。在系統(tǒng)的特征方程中，令，得到，利用穩(wěn)定判據(jù)，若的所有解都在平面左邊，則原系統(tǒng)的特征根在左邊。我們就認為系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量。例3-12設(shè)單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)極點在左邊，試確定K的取值范圍。解：系統(tǒng)的特征方程式為：令系統(tǒng)滿足要求時，要求?！?.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差前面所討論的動態(tài)性能和穩(wěn)定性是線性控制系統(tǒng)的重要特性，而控制系統(tǒng)的另一個重要特性是和系統(tǒng)的誤差有關(guān)的?？刂葡到y(tǒng)輸入量的改變不可避免的會引起動態(tài)響應(yīng)過程中的誤差，并且還會引起系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。這一誤差與許多因素有關(guān)，如傳動機構(gòu)的靜摩擦、間隙，放大器的零點漂移、電子元件的老化等都會使系統(tǒng)產(chǎn)生誤差。穩(wěn)態(tài)性能指標是表征系統(tǒng)控制精度的性能指標，通常用穩(wěn)態(tài)下輸出量的期望值與實際值之間的差衡量。一個符合工程要求的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差必須控制在允許的范圍之內(nèi)。例如工業(yè)加熱爐的爐溫誤差若超過其允許的限度，就會影響加工產(chǎn)品的質(zhì)量?；鹋诟櫟恼`差超過允許限度就不能用于戰(zhàn)斗等，這些都說明了穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)質(zhì)量的一個重要性能指標。討論穩(wěn)態(tài)誤差的前提是系統(tǒng)必須穩(wěn)定，一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不存在穩(wěn)態(tài)誤差的。對于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，它的穩(wěn)態(tài)性能一般是根據(jù)階躍、斜坡或加速度輸入所引起的穩(wěn)態(tài)誤差來判斷的。在本節(jié)中，所研究的穩(wěn)態(tài)誤差是指由于系統(tǒng)不能很好跟蹤特定形式的輸入而引起的穩(wěn)態(tài)誤差。3.6.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差如圖3-22所示的一般控制系統(tǒng)，其誤差的定義通常有兩種方式。通常將產(chǎn)生控制作用的控制信號與反饋信號之差（3-50）稱為系統(tǒng)的作用誤差。而將輸出響應(yīng)的期望值和實際值之差圖3-22（3-51）稱為系統(tǒng)誤差。實際上式（3-50）與式（3-51）是誤差的兩種定義方法，前者是從輸入端定義的，在實際物理系統(tǒng)中，它可以測量，便于實施控制；后者是由輸出端定義的，在實際物理系統(tǒng)中有時不能測量，因而一般只具有數(shù)學意義，其物理實現(xiàn)往往是借助與前者完成的。對于單位負反饋系統(tǒng)，兩種定義方法是一致的。在系統(tǒng)分析和設(shè)計中，一般采用按輸入端定義誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是指誤差信號的穩(wěn)態(tài)值，即：若系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為，則，若滿足拉氏變換終值定理的條件（要求系統(tǒng)穩(wěn)定，且的所有極點在左半平面），可以利用終值定理來求穩(wěn)態(tài)誤差，即

（3-53）（3-52）3.6.2

系統(tǒng)類型

實際的控制系統(tǒng)，對于某些類型的輸入往往是允許穩(wěn)態(tài)誤差存在的。一個系統(tǒng)對于階躍輸入可能沒有穩(wěn)態(tài)誤差，但對于斜坡輸入?yún)s可能出現(xiàn)一定的穩(wěn)態(tài)誤差，而能夠消除這個誤差的一種是改變系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)。對于某一類型的系統(tǒng)，系統(tǒng)是否會產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的形式。這就是下面要研究的問題。設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中K稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益。，系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)，，系統(tǒng)稱為Ⅰ型系統(tǒng)，，系統(tǒng)稱為Ⅱ型系統(tǒng)，…。由于Ⅱ型以上的系統(tǒng)實際上很難使之穩(wěn)定，所以Ⅱ型以上的系統(tǒng)在控制工程中一般不太使用。注意，這種分類方法與按系統(tǒng)的階次來分類不同。當增加類型的數(shù)值時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度提高，但穩(wěn)定性變差。下面，基于系統(tǒng)的類型，研究在各種典型輸入信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的計算。3.6.3

單位階躍信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求：定義系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)（3-54）有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：（3-55）上述結(jié)論表明，如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有積分環(huán)節(jié)，那么它對單位輸入的響應(yīng)包含穩(wěn)態(tài)誤差，其大小與系統(tǒng)的開環(huán)增益K近似地成反比。如果要求系統(tǒng)對于階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則系統(tǒng)必須是Ⅰ型或高于Ⅰ型。3.6.4

單位斜坡信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差可用終值定理來求：定義系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)

（3-56）有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：

（3-57）由以上分析可以看出，由于0型系統(tǒng)輸出信號的速度總是小于輸入信號的速度，致使兩者之間的差距不斷增大，從而導致0型系統(tǒng)的輸出不能跟蹤單位斜坡信號。Ⅰ型系統(tǒng)能夠跟蹤單位斜坡輸入信號，但有穩(wěn)態(tài)誤差存在。在穩(wěn)態(tài)工作時，系統(tǒng)的輸出信號的速度與輸入信號的速度相等，但存在一個位置誤差。此誤差與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比。Ⅱ型或高于Ⅱ型的系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，故能準確的跟蹤單位斜坡信號的輸入。表明Ⅱ型或高于Ⅱ型的系統(tǒng)在單位斜坡信號的作用下，系統(tǒng)輸出量與輸入信號不僅速度相等，而且它們的位置也相同。3.6.5

單位加速度信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，在單位加速度信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差可用終值定理來求：定義系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)（3-58）有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：（3-59）當系統(tǒng)輸入信號為：時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：表3-1給出了三種類型的靜態(tài)誤差系數(shù)。注意，位置誤差、速度誤差和加速度誤差均指在輸出位置上的誤差。有限的速度誤差意味著控制系統(tǒng)在動態(tài)過程結(jié)束后，輸入和輸出以同樣的速度變化，但在位置上有一個有限的偏差。表3-1靜態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)類型的關(guān)系靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)0型系統(tǒng)K00Ⅰ型系統(tǒng)∞K0Ⅱ型系統(tǒng)∞∞K表3-2給出了0型、Ⅰ型及Ⅱ型系統(tǒng)在各種典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。由表3-2可以看出，在對角線上，穩(wěn)態(tài)誤差是一個有限值，而在對角線以上，穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大；在對角線以下，則穩(wěn)態(tài)誤差為零。表3-2穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的類型、輸入信號的關(guān)系單位斜坡輸入單位加速度輸入0型系統(tǒng)∞∞Ⅰ型系統(tǒng)0∞Ⅱ型系統(tǒng)00單位階躍輸入3.6.6動態(tài)誤差系數(shù)法利用泰勒級數(shù)對誤差傳遞函數(shù)在的鄰域內(nèi)展開，可得則該級數(shù)收斂于s→0的鄰域，相當于t→∞時成立?；蛘哒f，在t→∞時有：（3-60）上式即為穩(wěn)態(tài)誤差的計算公式，需要注意，上式中的輸入信號，是指t→∞時的表達式，在輸入信號中，那些隨時間增長而趨于0的分量應(yīng)予以舍去。定義c0為動態(tài)位置誤差系數(shù)，c1為動態(tài)速度誤差系數(shù)，c2為動態(tài)加速度誤差系數(shù)，可以用下式計算：（3-61）實際計算時，常采用長除法計算，即令：3.6.7擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差對于圖3-23示系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)在擾動信號作用下的理想輸出應(yīng)為0，若按輸入端定義擾動作用下的誤差：若按輸出端定義誤差：（3-62）圖3-23含有擾動作用的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖若En(s)滿足拉氏變換終值定理條件，可利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差:（3-63）令圖3-23含有擾動作用的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖則可用動態(tài)誤差系數(shù)法求擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差：（3-64）例3-15對于圖3-24示系統(tǒng)，試求，時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為為Ⅰ型二階系統(tǒng)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,在，穩(wěn)態(tài)誤差圖3-24例3-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在擾動信號作用下的誤差表達式為：時，穩(wěn)態(tài)誤差為：系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為3.6.8減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差包括輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差和擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差兩部分。要減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)從分別減小或消除這兩部分穩(wěn)態(tài)誤差入手。結(jié)合例3-15，可采取以下措施：（1）增大系統(tǒng)開環(huán)增益或擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道增益。在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)開環(huán)增益成反比，增大系統(tǒng)開環(huán)增益，有利于減小在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與擾動作用點之前系統(tǒng)的前向通道增益成反比，增大該增益，有利于減小擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)當注意，在大多數(shù)情況下，對于高階系統(tǒng)，系統(tǒng)開環(huán)增益的增加有可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）在系統(tǒng)前向通道中設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)。