計(jì)算機(jī)斷層成像原理-成像參數(shù)描述課件

第4章X-CT成像參數(shù)主要內(nèi)容

1、物質(zhì)對X射線束的衰減2、衰減系數(shù)和CT數(shù)物質(zhì)對X射線束的衰減

4.1

物質(zhì)對X射線束的衰減

衰減的基本概念：就CT所用的X射線而言，入射X射線由于受到康普頓散射(高能端)和光電效應(yīng)(低能端)的影響，沿入射方向的光子數(shù)逐漸減少(伴隨光束硬化)，這種總的效應(yīng)，叫X射線衰減，或稱為物質(zhì)對X射線產(chǎn)生了廣義的“吸收”。

4.1.1單能X射線的衰減

單能X射線的衰減的衰減規(guī)律：入射X射線強(qiáng)度的減少與入射X射線光子數(shù)(強(qiáng)度)與射程長度成正比，并與介質(zhì)的特性有關(guān)。其關(guān)系為： -dI=μI0dx或P=-dI/dx=μI0（4-1）

式中P是介質(zhì)中由吸收和散射而吸收掉的X射線光子的吸收比率。I0是入射X射線的光子數(shù)(或近似叫強(qiáng)度)。μ是介質(zhì)的X射線吸收系數(shù)，是反映介質(zhì)特性的物理量。如果將吸收率表示為介質(zhì)中X射線單位射程長度上的量，則μ的單位就是：1/長度，因而叫線吸收系數(shù)。

物質(zhì)對X射線束的衰減對上式積分可得：（4-3）

I與x的半對數(shù)關(guān)系是一條直線，如圖4-5所示。

4.1.2多能X射線的衰減在透射CT中，幾乎沒有單能輻射可用，因?yàn)橹挥蟹派湫院怂夭庞锌赡墚a(chǎn)生單能輻射，然而卻難于得到CT所需的強(qiáng)度。因此，必須用X射線管產(chǎn)生X射線束，而這樣產(chǎn)生的X射線的能譜是連續(xù)譜，最大能量為加于X射線的KVP值。多能X射線通過厚為X的介質(zhì)薄片后的透射強(qiáng)度為：（4-4）

物質(zhì)對X射線束的衰減上式中I0(E1),I0(E2)...等分別表示X射線束中n種不同能量的X射線光子各自的強(qiáng)度。μ(E1)，μ(E2),...等表示各自的線吸收系數(shù)。為簡化記號。該表達(dá)式可寫成：

(4-5)式中Σ為求和符號，K為求和變量從1到n順序取值。μ(Ek)為第K種能量的X射線的吸收系數(shù)。一般說來，Ek越小，μ(Ek)越大。

4.1.3X射線束硬化效應(yīng)在X射線束透過介質(zhì)時(shí)，由于低能X射線被吸收量較多，所以X射線的平均能量隨透入介質(zhì)的深度而增加。能量的逐漸增加使透射X射線與介質(zhì)厚度的關(guān)系的半對數(shù)圖形偏離直線，如圖4-6。X射線束的能量隨深度的變化產(chǎn)生束硬化，在透射CT圖像中產(chǎn)生硬化膺象。物質(zhì)對X射線束的衰減4.1.4X射線的有效能量

X射線的有效能量的意思是：如果介質(zhì)對多能X射線的吸收等效于某單能X射線的吸收時(shí)，就把該單能X射線的能量叫做對應(yīng)的多能X射線的有效能量。在很多情況下，包括CT圖像重組中，用有效能量來描述多能X射線束是很方便的。為了確定有效能量,①需測量X射線透過厚為x的薄層介質(zhì)時(shí)的透射比I/I0,②由公式I/I0=e-μX計(jì)算有效線性衰減系數(shù)μ。③測出對同一介質(zhì)有相同μ的單能X射線(用放射性核素或衍射分光法從多能X射線獲得)的能量。或通過查表或測量找出對同一介質(zhì)有同一μ值的單能X射線的能量。這樣求得的單一的X射線的能量就是對應(yīng)的多能束的有效能量。一般來說，有效能量約為KVP值的60%左右。對于在120～140KVP下運(yùn)轉(zhuǎn)的CT掃描機(jī)，有效能量一般為70～80KeV。110KVP時(shí)，有效能量為：66KeV。衰減系數(shù)和CT數(shù)4.2衰減系數(shù)和CT數(shù)

4.2.1CT數(shù)與線衰減系數(shù)的關(guān)系

在圖像重組過程中，對一種材料計(jì)算的CT數(shù)與X射線束的有效能量在同種材料中的線衰減系數(shù)μ有關(guān)，其關(guān)系為：

式中CTN表示CT數(shù)，μw是同種有效能量的X射線在水中的線衰減系數(shù)。對于現(xiàn)代CT掃描機(jī)，常數(shù)K的值為1000，如果將CTN表示成豪斯菲爾德單位(HU：HounsfieldUnit),則上式變?yōu)椋?/p>

(4-7)

在HU單位中，空氣的CT數(shù)為-1000HU；水的CT數(shù)為0；致密的骨的CT數(shù)為幾百個(gè)HU；金屬(如外科攝)CT數(shù)為1000HU以上。在較早的掃描機(jī)中，K常數(shù)為另外的值(如早期的EMI掃描機(jī)中K=500)。

(4-6)

衰減系數(shù)和CT數(shù)4.2.2用CT數(shù)表示物質(zhì)對X射線的吸收的優(yōu)點(diǎn)

1、因?yàn)镃T數(shù)表示被測材料和水的衰減系數(shù)之比，所以對不同的管壓KVP值及X射線束的不同的過濾情況都變化不大。

2、對不同的CT掃描機(jī)都基本上是常數(shù)。

3、乘以比例因子1000，是要將CT數(shù)的數(shù)值放大，以避免像衰減系數(shù)那樣堆積在一起。

4、CT數(shù)主要反映了物質(zhì)的體電子密度(電子數(shù)/cm3)。CT數(shù)與物質(zhì)的體電子密度有線性關(guān)系。

5、對肌肉和軟組織CT數(shù)主要反映X射線的康普頓散射。

6、骨的CT數(shù)主要反映X射線的光電吸收。骨的CT數(shù)偏離了與體電子密度(電子數(shù)/cm3)的線性關(guān)系。衰減系數(shù)和CT數(shù)

7、對CT數(shù)的主要影響是吸收材料的物理性質(zhì)，主要是材料的物理密度(g/cm3)。對CT數(shù)的第二個(gè)影響是質(zhì)量電子密度(電子數(shù)/g)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)相互作用都屬于康普頓散射，這種相互作用主要與介質(zhì)的質(zhì)量電子密度有關(guān)而與介質(zhì)材料的原子序數(shù)無關(guān)，質(zhì)量電子密度與物理密度之積叫介質(zhì)的體電子密度。單位為電子數(shù)/cm3。CT數(shù)與介質(zhì)體積電子密度的線性關(guān)系示于圖4-7。除骨外，所有生物材料都遵從這種線性關(guān)系。在骨中，光電吸收的影響變得顯著起來，介質(zhì)的原子序數(shù)影響相互作用的幾率。因此，骨中CT數(shù)偏離圖4-7中的線性關(guān)系百分之幾。衰減系數(shù)和CT數(shù)4.2.3衰減系數(shù)的進(jìn)一步研究對受診斷X射線照射的任何材料，線衰減系數(shù)是經(jīng)典散射系數(shù)η，光電吸收系數(shù)τ,及康普頓散射系數(shù)σ之和，即

μ=η+τ+σ（4-8）White及Fitzgerald指出，該式可改寫為：μ=ρe(η1Z-1.69+η2Z-3.8+η3Z-0.03)（4-9）其中：ρe=ρm*d(=質(zhì)量電子密度*物理密度)式中ρe是體積電子密度，η1、η2、及η3分別為經(jīng)典散射、光電吸收及康普頓散射所占的比例，Z表示原子序數(shù)，ρm表示質(zhì)量電子密度，d表示物理密度。在除致密骨外的大多數(shù)生物材料中，η1及η2小到可以忽略且有效原子序數(shù)基本相同。因此線性衰減系數(shù)μ與對應(yīng)的CT數(shù)僅隨體電子密度變化（圖4-7）。將由White等提出的μ實(shí)際表達(dá)式代入CT數(shù)的表達(dá)式：

式中，可計(jì)算理想的CT數(shù)。表4-1中列出了Fullerton對幾種材料計(jì)算的CT數(shù)。計(jì)算這些值時(shí)假定：(1)每一種生物材料只有唯一的CT數(shù)存在；(2)對某種特定組織得到的CT數(shù)可用以識別這種組織的成分，辨別正常或病理狀態(tài)。衰減系數(shù)和CT數(shù)衰減系數(shù)和CT數(shù)各種軟組織的CT數(shù)與質(zhì)量密度間的關(guān)系第5章斷層圖象重建本章主要內(nèi)容

1、CT成像的一般問題2、幾種典型的圖像重建算法

簡單反投影法簡單代數(shù)重組法迭代重組法

濾波反投影法5.1CT成像的一般問題

在研究人體透射的斷面影像重建之前，先了解一些成像問題的背景知識。為產(chǎn)生物體的圖像，我們必須把物體的信息傳遞給圖像。從實(shí)際應(yīng)用的角度看，成像模式要求保證形成圖像上一點(diǎn)的信息來自于物體上的一個(gè)點(diǎn)，即物體與圖像具有一對一的關(guān)系。但實(shí)際上，元素的其他鄰近點(diǎn)也會對該點(diǎn)的成像產(chǎn)生一定量的信息，且離該元素位置越遠(yuǎn)，此信息量就會越小，稱之為鄰域原理(neighbourhoodprinciple)。這可以用一個(gè)點(diǎn)源響應(yīng)函數(shù)(point-sourceresponsefunction，PSRF)來進(jìn)行定量描述。對于成像效果好的系統(tǒng)，其鄰域應(yīng)限制在一個(gè)很小的區(qū)域，因而作用范圍很窄。為了重建圖像，我們就需要建立一個(gè)物體與圖像之間的物理聯(lián)系，在物理成像中，這種聯(lián)系方式可以有多種形式，如γ照相中的γ射線光子，熱成像中的紅外光子以及X射線成像中的X射線光子。CT成像的一般問題

物體平面與影像平面之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)是空間變量點(diǎn)源響應(yīng)函數(shù)(spacevariantpoint-sourceresponsefunction，SVPSRF)，在有些情況下該函數(shù)其實(shí)也是空間不變的．即對所有的位置值都相同。圖像其實(shí)就是物體分布與PSRF函數(shù)的卷積，它攜帶了從物體平面信息到影像平面的信息，我們期望解卷積過程可以消除信號的畸變。由于兩信號的卷積等于其傅里葉變換的乘積，注意在傅里葉空間中，物體可以按其空間頻率分量進(jìn)行分割。清晰圖像所包含的空間頻率比模糊圖像中相應(yīng)的頻率要高。我們的目標(biāo)是要得到人體每一個(gè)切片層面上的影像。為此先將每層切片分割成任意的正方形橫截面區(qū)域或是體積等于切片層厚度的體積單元，簡稱為體元(voxels)。這是為了給每個(gè)體元賦予一個(gè)對x射線的線性衰減系數(shù)為μ的值，并用矩陣的形式進(jìn)行顯示，矩陣中的μ值即為最終成像中的各個(gè)像素(pixel)的灰度值。在將這些數(shù)據(jù)送到CRT屏幕顯示以前．通常先將它們重新調(diào)整為CT數(shù)(CTnumber)的形式CT成像的一般問題矩陣中不同的灰度值構(gòu)成一幅圖像CT成像的一般問題

上式表明：任何組織的CT數(shù)都是它相對于水的線性衰減系數(shù)的差分因子。雖然大部分軟組織的CT數(shù)通常接近于零(這些組織無法通過傳統(tǒng)的x射線成像)，但CT仍可以很容易地將它們區(qū)分開來。此外，從顯示的角度講，CT數(shù)的微小差別可以通過增加顯示的對比度進(jìn)行光學(xué)放大，即操作者可以改變設(shè)定的CT數(shù)的亮度范圍。通過這種方法，即使是CT數(shù)相差很小的組織，也可轉(zhuǎn)換為黑和白之間的灰度圖像(圖7.27)。這種方法的重要性在于，它允許比那些由傳統(tǒng)的采用膠片的x射線透視攝影的灰度系數(shù)(Γ)小100倍的目標(biāo)物成像。CT成像的一般問題

當(dāng)X射線束穿過人體時(shí)，它在任意一點(diǎn)的衰減由該點(diǎn)組織特性與射線束的能量分布決定。x射線CT中射線束的能量分布譜是多色譜的，它會在射線束穿過人體時(shí)改變(硬化)。這種改變的一個(gè)重要結(jié)果是射線束在任一點(diǎn)的衰減取決于射線束的入射方向。顯然對于單色譜射線束的情況就不會這么復(fù)雜，我可以給人體每一點(diǎn)賦一個(gè)唯一的衰減值．這樣衰減系數(shù)重建的問題也就解決了。每個(gè)體元的CT值是由組成該體元的組織特性決定的，它與體元在切片中的位置無關(guān)。

假定有一光子能量已知的單色譜X射線源，對于固定位置的線源和探測器對，我們可以測出由線源到達(dá)探測器的光子數(shù)，以此作為定標(biāo)測量，并記此定標(biāo)值為CM。如果對人體重復(fù)進(jìn)行此測量，那么到達(dá)探測器的光子數(shù)目就會減少．并得到實(shí)際測量值A(chǔ)M，我們定義單色譜X射線束的總和m為CT成像的一般問題

將所有的線源與探測器對在不同位置上的m值的集合作為單色譜x射線投射數(shù)據(jù)的參考值，可以證明在一定能級范圍內(nèi)，切片內(nèi)的相對線性衰減系數(shù)可以由單色譜投射的數(shù)據(jù)來準(zhǔn)確估計(jì)。由于實(shí)際x射線源為有色譜的．如同在單色譜線定義方法一樣。我們分別定義有色譜射線總和p、定標(biāo)測量值CP、實(shí)際測量值A(chǔ)P，則有：

實(shí)測中，我們可以得到所有線源與探測器不同位置上的p值(多色譜投射數(shù)據(jù))的集合。但由于我們需要的是m值，所以問題就在于p值能不能唯一地確定m值，通常情況下答案是不能。換一個(gè)思路是，能否用已知p值來近似m值從而得到滿足臨床需要的CT數(shù)?這個(gè)問題的答案看起來是肯定的，以下部分將說明具體的實(shí)現(xiàn)方法。為實(shí)現(xiàn)圖像重建(reconstruction)，我們首先作以下簡化的假設(shè)：CT成像的一般問題(1)切片無限薄。(2)對于每一個(gè)特定的射線源與探測器位置，所有的x射線光子沿同一直線行進(jìn)，且位于無限薄的切片內(nèi)。實(shí)際上，第一個(gè)假設(shè)是忽略了體素與像素的區(qū)別，因此最終得到的影像是以灰度水平代表了體素與體素之間的相對線性衰減。參考圖7.28，可以得：CT成像的一般問題

由于μ(x,y)在重建區(qū)域之外的值為零．因此我們可以對式(7.33)的積分值進(jìn)行任意擴(kuò)展而不會使等式無效?，F(xiàn)在問題是要簡化由沿一系列直線的μ(x,y)積分值計(jì)算，即求單色投影數(shù)據(jù)。此問題的算法是基于1917年奧地利數(shù)學(xué)家拉東(Radon)提出的理論及公式。它全部由線性積分值來確定一幅圖像。但我們能夠提供的只是一組有限的投影或線性積分的集合，因此只能是估計(jì)值而不是精確值。此估計(jì)值受很多因素的影響，如X射線束的寬度、線束的硬化、光子統(tǒng)計(jì)分布以及探測器誤差(即沒有全部記錄所有到達(dá)的光子數(shù)目)等。CT成像的一般問題

如圖7.29所示．由于射線束的有限寬度局部體積效應(yīng)會使μ(x,y)的估計(jì)產(chǎn)生較大的誤差，假定圖中的x射線為點(diǎn)光源單色譜的，x射線源照射直線段探測器，并由虛線將其分為兩半。為簡單說明問題，我們?nèi)∩刃蚊鎴D中單位長度元素的衰減系數(shù)為2(打點(diǎn)的區(qū)域)，其余部分均為零。如果有等數(shù)量的光子進(jìn)入左右兩側(cè)的扇形區(qū)域，那么由于左側(cè)的光子沒有衰減．因而比值I/I0為l，而右半側(cè)光子穿過單位長度的物質(zhì)時(shí)．強(qiáng)度降低，比值I/I0=exp(-2)=0.135。雖然m的實(shí)際測量平均值為l，但用式(7.31)計(jì)算出的值為0.567，因此局部小塊衰減材料的存在使得誤差加大。5.2幾種典型的圖像重建算法5.2.1簡單反投影法(SimplifiedBackprojection)假設(shè)通過球形物體的X射線透射數(shù)據(jù)是沿由兩個(gè)相互垂直的視圖上的很多條射線進(jìn)行測量的。在每個(gè)視圖上，這些測量組成特定角方位上X射線透射的輪廓。X射線透射輪廓示于圖6-3。在獲得X射線透射輪廓后，可用與數(shù)據(jù)積累過程相反的過程，形成球的大概圖像。這個(gè)相反的過程叫反投影，不需很復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法就可完成。例如，可用光學(xué)方法從在各不同的角方位上獲得的光學(xué)圖像完成簡單反投影。在圖6-3的例子中，如果能從不同的角方位獲得更多的輪廓，則球形的圖像就可得到改善。簡單反投影法采用上述原理就可以提供CT圖像的灰階顯示。然而，因?yàn)橥队暗乃p系數(shù)是沿整個(gè)射線的平均值，且不限于感興趣的物體，故圖像不滿意。原始物體的周密區(qū)在重組圖像中會形成輻射狀的圖紋，如圖6-5。若用物體的很多視圖來形成圖像，輻射狀的圖紋就可減少，但隨之而來的是產(chǎn)生圖像的斑狀模糊(星狀偽跡)。這些輻射狀圖紋膺象的模糊限制了簡單反投影方法在臨床成像中的應(yīng)用。以下用數(shù)學(xué)原理闡述簡單反投影原理及星狀偽跡產(chǎn)生的原理。投影反投影重建算法的一般步驟：原像取投影反投影重建重建后圖像反投影重建算法投影重建算法的基本內(nèi)容：“斷層平面中某一點(diǎn)的密度值可看作這一平面內(nèi)所有經(jīng)過該點(diǎn)的射線投影之和（的平均值）”。式中xk表示象素的值，pk,i為經(jīng)過象素的第i條射線投影?？梢赃@樣理解：其中f(x,y,z)是身體組織密度。反投影重建算法的物理概念算法舉例123456算法舉例根據(jù)反投影算法x1=p5=5 x6=p2+p3+p5=18 …平均化處理，除以投影線數(shù)目

xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影線數(shù)，平均化斷層平面中某一點(diǎn)的密度值可看作這一平面內(nèi)所有經(jīng)過該點(diǎn)的射線投影之和的平均值123456星狀偽跡反投影重建后，原來為0的點(diǎn)不再為0，形成偽跡00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影線數(shù)，平均化星狀偽跡我們考慮孤立點(diǎn)源反投影重建，中心點(diǎn)A經(jīng)n條投影線投影后，投影值均為1：

p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他點(diǎn)均為1/n這類偽跡成為星狀偽跡1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星狀偽跡產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于：反投影重建的本質(zhì)是把取自有限物體空間的射線投影均勻地回抹(反投影)到射線所及的無限空間的各點(diǎn)之上，包括原先像素值為零的點(diǎn)反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述我們設(shè)置一旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系統(tǒng)Xr-Yr,它繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動使投影線總是沿著Yr方向。Xr-Yr的原點(diǎn)與X-Y的原點(diǎn)相重。兩者的夾角為φ，不同的φ代表不同的投射方向。投影線的位置可由(Xr,φ)完全確定?？臻g的任一點(diǎn)的位置可用(X,Y),(Xr,Yr)或極坐標(biāo)(r,θ)表出。反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述先設(shè)φ為離散取值，則投影為根據(jù)反投影重建的定義式，點(diǎn)的圖像在所述坐標(biāo)系統(tǒng)表示為式中，,為投影數(shù)若在有限區(qū)間內(nèi)射線增至不相重的無限條，即連續(xù)投影，則式(4.12)過渡到更一般的連續(xù)情況下的反投影表達(dá)式：在輸入圖像為點(diǎn)源的情況下，由式(4.10)及式(4.13)可得反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述可見，反投影重建算法相應(yīng)的系統(tǒng)的擴(kuò)展函數(shù)不是δ函數(shù)，系統(tǒng)不是完美的．式定量地描述了反投影重建算法星狀偉跡的本質(zhì)．要除去反投影算法的星狀偽跡，我們可以在輸出端加一濾波器，使加了濾波器后的反投影重建成像系統(tǒng)PSF＝δ(x,y).使濾波器的PSF為q(x,y),相應(yīng)的傳遞函數(shù)為Q(ξ,η),這里我們要求：反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述＊＊表示二維卷積，對上式取二維傅立葉變換得或這是一只二維濾波器，實(shí)現(xiàn)起來比較麻煩．若ρ的變換范圍可擴(kuò)至∞，根本不能實(shí)現(xiàn)，但不管怎樣，它提供了去除星狀偽跡的一個(gè)努力方向．反投影重建算法的數(shù)學(xué)描述簡單代數(shù)重組法5.2.2簡單代數(shù)重組法(SimplifiedAlgebraicreconstruction)簡單代數(shù)重組法是Hounsfield最初所用的方法。基本過程是收集完全的投影數(shù)據(jù)，然后解代數(shù)方程。如果投影數(shù)據(jù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則產(chǎn)生病態(tài)問題。解決的方法是采用迭代法。簡單代數(shù)重組法的示意圖如圖6-1。圖中，假定每個(gè)體積元(voxel)的邊長為X的立方體，P1～P6為6個(gè)方向的X射線投影數(shù)據(jù)，P0為X射線的初始值，μ1～μ4為各個(gè)體積元衰減系數(shù)。我們就需求這四個(gè)值。不能由P1～P4的投影數(shù)據(jù)立出4個(gè)方程而求出μ1～μ4，而必須尋求另外的投影，如P5。這樣就可立出聯(lián)立方程如下：圖6-1代數(shù)重組法示意圖

簡單代數(shù)重組法因?yàn)镻0為定值且可直接測量，為了方便假定為1。各投影P1～P6也是可測的。將方程(1)～(4)兩邊取對數(shù)可得：(lnP1)/x=-(μ1+μ2)(5)(lnP2)/x=-(μ3+μ4)(6)(lnP3)/x=-(μ1+μ3)(7)(lnP5)/x=-(μ1+μ4)(8)令(lnPi)/x=ni,則可得：

n1=-(μ1+μ2)(a)n2=-(μ3+μ4)(b)n3=-(μ1+μ3)(c)n5=-(μ1+μ4)(d)簡單代數(shù)重組法最后可解得：μ1=(n2-n3-n5)/2(f)μ2=(n3+n5-n2)/2-n1(g)μ3=(n5-n2-n3)/2

(h)μ4=(n3-n2-n5)/2

(i)如果測量的投影數(shù)據(jù)(經(jīng)變換)為：n1=-3，n2=-7，n3=-6，n5=-5，則可算得：μ1=2，μ2=1，μ3=4，μ4=3。就是說，由測得的投影數(shù)據(jù)就可重建物體對X射線的衰減系數(shù)矩陣，這就是圖象。如果體積元取的大，即如果把4個(gè)體積元變成一個(gè)，則衰減系數(shù)為4者的均值：μ=(μ1+μ2+μ3+μ4)/4=2.5，這就模糊了細(xì)節(jié)，稱為“部分體積效應(yīng)”。迭代重組法5.2.3迭代重組法(IterativeReconstructionMethod)

解決反向投影重建缺點(diǎn)的途徑之一是找到一種方法，去除我們所做的沿各X射線路徑上的均勻密度分布或是μ為常量的不合理假設(shè)。早期CT中使用的一種概念上比較簡單的方法是迭代方法(iterativemethods)，曾在豪斯費(fèi)爾德研制的第一代CT中使用。這種方法盡管在現(xiàn)在的X射線CT中已不再使用，但在放射性同位素?cái)鄬映上裰腥栽谑褂?，該方法?shí)質(zhì)上是用迭代的方法求解方程：

這是一種逐步逼近法，初始值任意給定，然后利用修正值對每次計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行迭代，直到得出的解值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)值相近為止。由于實(shí)際測量中空間位置是離散的，而且x射線筆射束的橫斷面是有限的，因此對式(7.36)中的積分其實(shí)就是求和。如圖7.32所示，圖像層面由像素(pixel)點(diǎn)組成，我們用X射線帶代替X射線束。對圖7.32中的第J條射線的射線積分可以表示為射線求和的形式：迭代重組法這里，wij為權(quán)重因子，它允許在同一條射線帶上的不同像素對射線的吸收可以不同，其對投影圖的貢獻(xiàn)示于圖7.32射線路徑粗線表示的部分高度。事實(shí)上wij為第J束射線穿過第i個(gè)區(qū)域或像素的平均路徑長度。這些系數(shù)值只需要計(jì)算一次，然后保存下來即可使用。實(shí)際設(shè)計(jì)中，式(7.37)代表約105個(gè)聯(lián)立方程，它的解是在不斷迭代中調(diào)整μi的值直到計(jì)算出的投影值PC與實(shí)驗(yàn)測得的投影P非常接近為止。把迭代的μi

值的最終結(jié)果作為解，也即是重構(gòu)圖像的像素值。圖7.32像素矩陣疊加在所要成像的斷面上(在射線j上的第i個(gè)像素對射線衰減的影響用wij表示，它在投影圖上的貢獻(xiàn)由粗實(shí)線表示在第j條射線帶上測量的射線之和為投影圖像的高度)迭代重組法這種求解方法得到的解并不唯一，一個(gè)原因就是通常方程數(shù)多于未知量，因而存在多重解。迭代算法中修正值的計(jì)算與應(yīng)用也可采用不同方法，修正值可以以相加或相乘的方法應(yīng)用，它們可以在計(jì)算后立即使用，或存儲起來在每一次迭代后循環(huán)使用。此外，需要回答的一個(gè)問題是，重構(gòu)物體的投影圖像需要全部的視圖還是可以選擇最小數(shù)量的視圖?如果物體只有一個(gè)點(diǎn)組成，那么顯然兩個(gè)視圖或是兩個(gè)角度上的投影即可。如果物體的復(fù)雜度增加，那么情況就不同了，如圖7.33所示。圖中8個(gè)點(diǎn)以不同的形式位于正方形網(wǎng)格中，但若僅從水平和垂直方向上得到完全相同的視圖或投影上來看，這三個(gè)物體似乎完全相同；顯然這時(shí)只需要在對角線方向增加一個(gè)視圖．就可以將三個(gè)物體分開。因此我們期望在物體的復(fù)雜度與所需要的投影圖數(shù)目之間存在某種關(guān)系，通?？梢宰C明：圖7.33由8個(gè)點(diǎn)組成的三個(gè)物體在不同視解得到的投影圖迭代重組法(1)任何物體可由其投影圖的連續(xù)集合來完整表示。(2)在每個(gè)投影圖中包含有與物體相關(guān)的信息。如果使用平行線束掃描物體的圓截面并進(jìn)行采樣(圖7.22)，則每個(gè)投影圖上的采樣點(diǎn)數(shù)Ns為式中，2a為圓形物體的直徑，d為步進(jìn)間距。這時(shí)考慮視角數(shù)Nφ：

采集時(shí)只需要將探測器旋轉(zhuǎn)達(dá)到180°即可，大于180°的旋轉(zhuǎn)僅僅是對原先保存的圖像進(jìn)行復(fù)制。將旋轉(zhuǎn)角△φ調(diào)整到與物體周長的線性變化一致，即等于d，由式(7.38)和式(7.39)可以得到總的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N：圖7.22迭代重組法=？2=？3=？4=？迭代重組法算法思想目標(biāo)：求解四個(gè)μ值。迭代重組法323243210000432164-22Guess1Guess0Guess2ErrorError迭代重組法算法思想迭代重組法

例：為了說明迭代重建算法，圖7.34(a)畫出了一個(gè)由9個(gè)點(diǎn)像素組成的物體(圓圈內(nèi))，已知它在四個(gè)方向的投影數(shù)(每個(gè)方向3個(gè)數(shù))，而9個(gè)點(diǎn)的實(shí)際線性衰減系數(shù)(待求)盡管已列于小方格內(nèi)，但測量者并不知道!迭代重組法

假定權(quán)重因數(shù)wij均為1，按順時(shí)針方向分別進(jìn)行處理，第一組線性衰減系數(shù)值分別由水平方向投影值除以像素點(diǎn)數(shù)3后得到，并將此結(jié)果作為第一個(gè)預(yù)測值，如圖7.34(b)，但預(yù)測值在垂直方向上對各值求和得到的結(jié)果顯然與投影值不符；于是將垂直方向誤差平均(即誤差除以3)后分配到垂直列的各點(diǎn)中即各點(diǎn)加(誤差值偏小列)或減(誤差值偏大列)誤差，使其和投影值相符，這樣就在垂直方向上，做了修正，如圖7.34(c)。在兩對角線上也重復(fù)此修正過程，從而完成第一次迭代?？梢钥闯觯谝淮蔚Y(jié)束后結(jié)果就已經(jīng)與原線性衰減系數(shù)值非常接近了，但仍不完全相等。在迭代過程中誤差由第一步的1.4減小到第四步的0.5，繼續(xù)迭代最終可達(dá)到所要求的精度。濾波反投影法5.2.4濾波反投影法(FilteredBackProjection)

前面(5.2.1節(jié))我們看到，僅由反投影方法獲得的被測物體的影像是很模糊的，物體的各個(gè)點(diǎn)被星狀斑紋所取代。斑紋上的輻射量根據(jù)它到幾何中心距離的增大而減小。此斑紋，即點(diǎn)分布函數(shù)(pointspreadfunction，PSF)，使影像的質(zhì)量嚴(yán)重下降因而在醫(yī)學(xué)成像中無法應(yīng)用。但由于點(diǎn)分布函數(shù)