自動控制系統(tǒng)教程5

第五章頻率特性法

§5-1頻率特性極其傳遞函數(shù)的關(guān)系§5-2幅相頻率特性曲線§5-3對數(shù)頻率特性§5-4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)§5-5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率判據(jù)§5-6控制系統(tǒng)性能指標的估算

1一個典型例子：部隊過橋時不能齊步走，這是因為橋有一個固有頻率，當整齊的步伐所帶來的頻率與橋的固有頻率一致變化產(chǎn)生諧振可能導(dǎo)致橋塌，一涉及到頻率也就必須談到其兩個特征：幅值及相位。我們自動控制中所研究的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)也有自己的頻率特性。在設(shè)計分析它們時，首要問題是要考慮研究其穩(wěn)態(tài)特性，這就不可避免的要研究它們的頻率特性（這與固有頻率不同，是加入正弦輸入后的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)）。㈠頻率特性的基本概念1．頻率是所有動態(tài)物體固有的特性§5-1頻率特性及其傳遞函數(shù)的關(guān)系22．

頻率特性問題的提出

在前幾章我們看到利用微分方程式求解控制系統(tǒng)的暫態(tài)過程，可以看出輸出量隨時間的變化能夠做到定量分析，也比較直觀。但它只對低階次（1，2階）系統(tǒng)使用起來還算方便，當系統(tǒng)越復(fù)雜階次越高、求解微分方程的計算量越大，也很難看出某個環(huán)節(jié)和參數(shù)對整個系統(tǒng)的暫態(tài)過程有怎樣的影響，特別是當系統(tǒng)的暫態(tài)特性不能滿足工作要求時很難確定應(yīng)該采用什么樣的措施才能改進系統(tǒng)的暫態(tài)特性，這樣當改變參數(shù)或加入環(huán)節(jié)時就要重新計算，實在麻煩。人們在研究高階系統(tǒng)時，從工程角度出發(fā)，從時域轉(zhuǎn)向頻域來研究系統(tǒng)的動態(tài)特性。3①同頻率u1=U1sinωtu2=U2sin(ωt+ψ)②低通特性,表示隨ω變化的關(guān)系③U1，U2關(guān)系圖u1u2cR先舉一個例子來說明頻率特性的物理概念：43．頻率特性頻率特性：線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下，穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)與輸入信號頻率的關(guān)系特性稱為頻率特性，記作G（jω），也稱為頻率響應(yīng)。一言以蔽之：系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入頻率關(guān)系特性。5就是以頻率特性為基礎(chǔ)對系統(tǒng)進行分析研究的方法，它在分析設(shè)計系統(tǒng)中的優(yōu)點：⑴頻率特性可通過實驗方法獲得，可以方便地研究難以建立微分方程的復(fù)雜系統(tǒng)或環(huán)節(jié)。⑵簡化高階系統(tǒng)的分析計算工作，可以用簡單圖解法去分析設(shè)計。⑶通過時域與頻域性能指標之間的關(guān)系、用頻率分析時域指標（δ，ts）等。缺點有：對高階系統(tǒng)該方法是一種近似方法，但精度能保證工程需要。二階頻率的相似性注：⑴頻率特性的實驗確定：在系統(tǒng)輸入端施加一個頻率的4.頻率特性法（頻率法）：6

下面介紹上述中出現(xiàn)的兩個概念：頻率特性的兩個基本特征——幅頻特性、相頻特性幅頻特性：線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下穩(wěn)態(tài)輸出幅值與輸入幅值比值隨信號頻率的關(guān)系特性稱為幅頻特性，記作：M（ω）或│G（jω）│。相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相位差隨輸入信號頻率變化的關(guān)系特性稱為相頻特性，記作：φ（ω）或∠G（jω）。二者結(jié)合在一起就表達了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性。正弦信號，便可在系統(tǒng)輸出端得到一穩(wěn)態(tài)正弦輸出，測量輸出信號的幅值和幅角，并與輸入信號相比，便可確定出ω1下的幅頻特性M（ω1）和相頻特性φ（ω1），調(diào)整輸入信號頻率便可測得不同頻率下的M（ω1），φ（ω1），從而給出系統(tǒng)的幅相頻率特性G（jω）。7若將G（jω）寫成：P（ω）+jQ（ω），則P（ω）稱為實頻特性，Q（ω）稱為虛頻特性，

而幅頻特性：相頻特性所以

稱為幅相頻率特性的極坐標表達式。8LiU例5-1-2請分析下一貫性環(huán)節(jié)（R-L串聯(lián)電路）并寫出幅相頻率特性。

G（jω）有時又稱為動態(tài)數(shù)學(xué)模型。動態(tài)系統(tǒng)不同G（jω）也不同，因此G（jω）表征了系統(tǒng)的動態(tài)特性。傳函：9有一規(guī)律：電路的頻率特性G（jω）和傳函G（S）表達式形式相同只要用jω代替?zhèn)骱疓（S）中的算子S就可得到頻率特性G（jω）。證明：不失一般性設(shè)G（S）只含單重極點即(二)．頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系線性系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)存在以下關(guān)系①10②則系統(tǒng)輸出為再設(shè)輸入X（t）=Xsinωt，其拉氏變換X（S）=ωX/(S2+ω2)③其拉式反變換若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則Pi(i=1,2,3┉n)都具有負實部，當系統(tǒng)穩(wěn)定時，相應(yīng)的瞬態(tài)分量將趨于零，所以穩(wěn)態(tài)輸出為11

④待定系數(shù)求法：12

與輸入X(t)=Xsinωt相比∣G（jω）∣與φ(ω)恰為G（jω）的幅值和相角⑤13結(jié)論：當已知系統(tǒng)傳函G（S）時，只有將Ｓ換成jω即得到系統(tǒng)的頻率特性;當已知系統(tǒng)的頻率特性（或?qū)嶒灉y出），只要將jω換成Ｓ就可得到系統(tǒng)的傳函。小結(jié)：兩個問題

①頻率特性及其方法②頻率特性與傳函的關(guān)系（因為傳函是我們很熟悉的，與之建立聯(lián)系便于從頻域到時域的分析）。其頻率特性如上例電路的慣性環(huán)節(jié)傳函14穩(wěn)態(tài)時作業(yè)：P2195—1(3)5—25—4

例5-1-3

G（S）=K(τs+1)/(Ts+1)15§5-2幅相頻率特性曲線

16一．基本概念即可在極坐標中以一個矢量表示，矢量長度為:

,矢量角為

（1）

代數(shù)形式.（2）

極坐標形式1．

幅相頻率特性的兩種表示形式:17

通常將極坐表與直角坐表重合在一起，取極點為直角坐標原點，取極軸為直角坐標實軸 |G(jω)| 極點φ

Q(ω1) P(ω1) Re 逆時針方向為正

182、幅相頻率特性曲線

（極坐標圖奈氏圖(vyquist)）

它是在極坐標上表示G(jω)的幅值|G(jω)|和相角Ф(ω)隨頻率改變而變化的圖。具體的講就是在上述定義的復(fù)平面上（幅值，幅角，起始方向以及旋轉(zhuǎn)正方向）當頻率ω從零變化到無窮大時，矢量G(jω)端點軌跡（走過的一條曲線）就稱為系統(tǒng)的幅頻率特性曲線。其在實虛軸上的投影為其實虛部。19ImReK（一）

比例環(huán)節(jié)傳函幅相頻率特性該環(huán)節(jié)特性是在實軸上與坐標原點距離為K的一點.

（二）

積分環(huán)節(jié)傳函 幅相頻率特性幅頻特性相率特性二．典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性20ω01M(ω)k0Ф（ω）Π/2KReImω=0ω=1可見積分環(huán)節(jié)具有恒定相位滯后且具有高頻濾波特性（三）非周期（慣性）環(huán)節(jié)傳函幅相頻率特性：幅頻特性相頻特性2101/TM()KK/0.7070()0-/4-/2Im

K/2K Re= =0 =1/T

可以證明該環(huán)節(jié)幅相頻率特性是實軸下的一個半圓，圓心為（K/2，j0），半徑為K/2。證：由曲線端點坐標，實頻特性整理后為:得證.恰為原方程.驗證是否在原軌跡上虛頻特性22結(jié)論:非周期環(huán)節(jié)幅頻特性隨ω增大而減?。幌囝l率特性隨ω增大其滯后也增大，最大滯后相角-Π/2,具有低通濾波特性.(四)

微分環(huán)節(jié):(1)

理想傳函G(s)=Ts.幅相頻率特性相位恒超前,高通濾波特性. T ω=0ω=∝ω=123ω01/T∝ω0K/0.707KφΠ/2Π/40(2)

實際傳函相頻特性幅頻特性幅相頻率特性可與慣性環(huán)節(jié)比較,它也是一個圓.具有相位超前,高通濾波特性.K/2kReIm24（五）

振蕩環(huán)節(jié):

幅相頻率特性幅頻特性相頻特性傳函25ω01/T∝MKK/20φ0-/2∏-∏Im

0 KRe

ω=0振蕩環(huán)節(jié)幅值相等，頻率特性曲線與虛軸交點的頻率即為角頻率（無阻尼自然振蕩）考查M（ω）的極值：隨著ω的變化，M（ω）可能出現(xiàn)最大值，也即M（ω）的分母出現(xiàn)極小值，令26上面分析說明：振蕩環(huán)節(jié)對不同頻率的輸入信號具有不同的放大倍數(shù)，當頻率等于某一值時，放大倍數(shù)最大，這種現(xiàn)象稱為“諧振”，發(fā)生諧振現(xiàn)象的頻率為諧振頻率,記作:當時，ω為實數(shù)有極值且唯一，因此它是M（ω），隨ω為最大值的解。27當ξ〉1時，幅相特性近似為一個半圓，與一個非周期環(huán)節(jié)相似。，沒有極值。結(jié)論：振蕩環(huán)節(jié)也是一個相位滯后環(huán)節(jié)隨ω增大而加大，最大滯后角為180度。

Im

k

ω=∞ω=0Rek/2ξ

ω=ωnω=ωr

281，

三種近似表達式：（六）延遲環(huán)節(jié)：幅相頻率特性：相頻特性：幅頻特性：傳函：292.

ω=0ω=1/τ

結(jié)論：（1）當ωt〈〈1時，準確度比較大，隨ωt增大誤差較大。（2）第三種近似值更準確些。ω=1/τ1-113.

30在應(yīng)用頻率法分析如研究控制系統(tǒng)時，通常是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來（1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，（2）計算閉環(huán)頻率特性（3）估計系統(tǒng)的時域指標。所以掌握開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性的繪制方法和規(guī)律是很重要的。三開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性為什么研究如何研究開環(huán)系統(tǒng)是由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的，因此31則系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性設(shè)式中即所謂“幅值相乘，幅角相加”其幅相頻率特性有如下規(guī)律1、λ=0（0型系統(tǒng)）起始點（ω=0）為（K，J0）在ω=0處，具有垂直于實軸的切線，ω=∞處，曲線終點位于原點，相角為-n=π/2。32隨n的不同如射角不同可略。證明：ω=0處，零型系統(tǒng)幅相頻率特性具有垂直于實軸的切線。證：ω→0，ω→0Im

Re則ω趨于零時，系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性無限趨近于一個慣性環(huán)節(jié)，即：33

它是起始于k,終止于原點，圓心在（k/2,0），半徑為k/2的下半圓，因此在起始點處具有垂直于實軸的切線。由于ω→0時，無限趨近于所以原系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性在ω=0處也具有垂直于實軸的切線。隨n不同λ角不同ω→0n=1ImReω=∞n=22.λ=1（1型系統(tǒng)）ω=0時幅值為無窮大，相角為，具有平行于負虛軸的漸近線ω=∞時，幅值時，大體形狀如圖34Im

n=4

ω→0ω=∞Ren=2

ω0∞M∞0ψ－π－nπ/2類似的可給出λ=3,4,…幅相頻率特性曲線.例5-2-1繪制其開環(huán)幅相特性曲線. 解:3.λ=2(2型系統(tǒng))35

Im

-Tω=∞0Re

低頻部分:高頻部分:36當n=m時Im

n-m=3Re

n-m=2n-m=1起于實軸上某一有限點終于實軸上某一有限點O型系統(tǒng):更一般情況,若則 37Ⅰ型以上系統(tǒng)

若系統(tǒng)中開環(huán)傳函中具有零點,會對總相角具有正的”貢獻”,曲線可能出現(xiàn)彎曲,但總趨勢是順時針方向趨于原點.例:5-2-2會不會與實軸有交點

Im

ω-0τ<Tω=∞

ω->0τ>T

解：38例:5-2-3可見是由一個比例環(huán)節(jié)與一個慣性環(huán)節(jié)并聯(lián)而得,曲線為一個半圓:解：390∞k00-∞KReω=0當ω從0—>∞時M由k->0Im沿順時針單增形成一條螺旋線.例：5—2—4解：40§

5-3對數(shù)頻率特性一.對數(shù)頻率特性1.問題解出上一節(jié)介紹的系統(tǒng)開環(huán)特性是先分別求出各串聯(lián)環(huán)節(jié)的頻率特性。再按“幅值相乘，相角相加”得到的，這對于環(huán)節(jié)較少的系統(tǒng)使用還可以，圖解清楚方便，一旦環(huán)節(jié)過多，這種幅值相乘將給幅頻特性的計算與繪制帶來極大的不便。為了便于計算和繪圖，可將幅相頻率特性分成幅頻特性和相頻特性兩部分。幅頻特性采用對數(shù)表示形式，而相頻特性仍采用線性刻度。則原來的幅值相乘（除）運算便轉(zhuǎn)化為相加（減）運算。從而給計算和作圖帶來極大的方便。

412．表示方法設(shè)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：式中對幅頻特性取對數(shù)得：42記作自動控制系統(tǒng)分析中常將上式放大20倍，即單位為分貝（dB）decibel它與幅值的對應(yīng)關(guān)系可如下求：

若M(ω)＝２則坐標選取如下：采用半對數(shù)坐標紙，橫坐標w用對數(shù)刻度，縱坐標幅值和相角用線性刻度。幅值和相角分畫在兩個坐標平面上。幅頻特性和相頻特性曲線合成的圖為頻率特性的對數(shù)坐標圖或波特圖（Bode）。433．對數(shù)頻率特性的優(yōu)點（1）簡化了頻率特性的繪制工作i.

i.乘除運算化為加減運算可用分段漸近線代替精確曲線繪制對數(shù)幅頻特性和相頻特性，稍加修正就可達到足夠的精度。(2)

縮小了頻率比例尺，便于研究頻率較寬范圍的系統(tǒng)頻率特性。(3)

最小相位系統(tǒng)的頻率特性與傳函之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，便于用實驗方法確定系統(tǒng)的傳函。(4)

可以迅速直觀的判斷出環(huán)節(jié)或參數(shù)對系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)特性的影響。（時域法不能）因此頻率特性法是工程上最常用的系統(tǒng)分析和設(shè)計方法。44二．典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性（一）比例環(huán)節(jié)0.1110ω

ω

Ψ(ω)

是一條等高度等于的直線，Ｋ＞１時；Ｋ＜１時，；Ｋ＝１時是一條０°直線。45（二）非周期環(huán)節(jié)

k只使幅頻特性上下平移，對幅頻特性的形狀及相頻特性沒有影響。故只需研究k=1時的情況（亦不失一般性）。(1)令Ｋ＝１則時即時時即時（2）

令當ω＝ω2＝10ω1時即ω2與ω1相差10倍頻程有為一斜率為-20dB/del的直線。46這樣其對數(shù)幅頻特性可用兩條漸近線近似表示，一條是低頻漸近線，零分貝線，一條是高頻漸近線，斜率為-20dB/del兩條漸近線交點（交點頻率是交接頻率）

（3）漸近線表示的最大誤差：發(fā)生在處，此時最大誤差為3dB，所以用漸近線表示已基本合乎要求，除非精度有特殊要求時，才需要在附近加以修正，修正意見P183表5-2兩頭誤差很小。

47Lm

-20dB/del

0066°/del

-45°

-90°

48（4）頻率特性可用列表線性計算的方法（）逐點繪制見表5-3，在交頻率處

曲線關(guān)斜對稱。證明：曲線關(guān)于斜對稱。證：設(shè)在lgω軸上點左右各任取一點和，且

即兩邊取

49（5）相頻特性也可用漸近線來畫低頻高頻中頻用的切線近似，該切線斜率為證：則

于是相頻特性可用三條漸近線表示，但一般揭點法（6）注：〈1〉k≠1上下移,不變〈2〉，T變化和形狀不變，只是左右移動可制成該環(huán)節(jié)特性曲線模板50（三）積分環(huán)節(jié)

（1）

LmM(ω)

4020-20dB/del

ω=k

ω

ω

k/100k/10

-90°

0Ψ(ω)

與0dB線交于ω=K或ω＝1時，積分環(huán)節(jié)在整個頻率范圍內(nèi)是一條斜率為-20dB/del的直線，其相頻特性是一條-90°的水平線。51Lm

20n

ω

ω

0-90°n

(2)若n個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)則

與0dB線交于。是斜率為-20dB/dec的直線。是的水平直線。52（四）微分環(huán)節(jié)（1）理想微分

幅頻是一斜率為20dB/dec的直線，與0dB線交于

相頻特性是90度的水平線。Lm

lgω

1/10T1/T10/T

90°

ω

531/10T1/T10/T90°

45°

Ψ

1/Tω

ω

2比例微分環(huán)節(jié)

*與非周期環(huán)節(jié)幅頻關(guān)于odB線相頻關(guān)于0度線鏡向?qū)ΨQ。低頻漸近線odB高頻漸近線過斜率為20dB/dec.

(五)振蕩環(huán)節(jié)54低頻段時，高頻段時，（2）兩條漸近線交點

（自然振蕩角頻率）（3）我們知道ξ〈0.707時，M（ω）將出現(xiàn)一個峰值，ξ越小峰值越大，因此當ξ較小時采用漸近線法會出現(xiàn)較大誤差，必要時要修正。（1）

k=1時55Lm0.1

0.3

0.50.7ξ=1-90°

-180°

<4>相頻特性

時，漸近于0度時，漸近于-180度。

整個相頻特性斜對稱于-90度。（六）延遲環(huán)節(jié)56三．開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性1．

繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性的步驟（1）將開環(huán)傳函寫成各基本環(huán)節(jié)的乘積，確定交接頻率ω1，ω2，…，ωn，標在頻率軸上。（2）

i.對0型系統(tǒng)，低頻漸近線為，畫出高度為直線。ii.對λ型系統(tǒng)（λ≥1），低頻漸近線為-20λdB/dec它與0dB交點為可先確定出再過該點低頻漸近線。（3）

在⑴⑵基礎(chǔ)上之后每遇到一個交換頻率斜率改變一次，57（4）相頻特性繪制可先分別給出各環(huán)節(jié)的相頻特性再疊加。但通常都用解析法描點繪制。

當遇到環(huán)節(jié)時，斜率增加當遇到環(huán)節(jié)時，斜率增加當遇到振蕩環(huán)節(jié)時，斜率增加當遇到一重基本環(huán)節(jié)時，斜率增加k倍（k為重數(shù)）582.舉例如下：

例：5-3-1繪制對數(shù)幅相頻率特性。解：①各交接頻率為0.2，0.5，1②屬一型系統(tǒng)，畫出直線。③在處，轉(zhuǎn)折頻率為，到再次轉(zhuǎn)折頻率為，在處第三次轉(zhuǎn)折頻率為④相頻特性：59200.900.10.20.52510

0-90°

-180°

-270°

Ψ(m)L（w）

ω00.10.20.512510》104378140187223.7250.7260.32700（度）

60§5-4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)1．

概念：前面（第四章中）提過這兩個概念，即在復(fù)平面s右半面上沒有極零點的傳函稱為最小相位傳函，具有此類傳函的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，反之，成為非最小相位系統(tǒng)2．

最小相位系統(tǒng)及其物理意義具有相同幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)相角范圍最小。1/T1/ττ/Tω2Ψ3Ψ1Ψ2-90°

-180°

例：下面三個系統(tǒng)傳函分別為：0<τ<T最小0<τ<T非最小0<τ<T非最小613．特性：最小相位系統(tǒng)幅頻與相頻特性--------對應(yīng)（單值）4．判斷方法（1）概念。（2）可以通過檢驗高頻段漸近線斜率和ω∞時的相角來判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。（ω∞，漸近線斜率-20dB/del，相角-90°(n—m)，是最小相位系統(tǒng)）

62非最小相位系統(tǒng)是由于系統(tǒng)中含有延遲環(huán)節(jié)或局部閉和回路不穩(wěn)定而引起的,一般會使系統(tǒng)性能變差,多數(shù)情況應(yīng)盡量避免過大的相位滯后.63§5-5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率判據(jù)

(開環(huán)判斷閉環(huán))

代數(shù)判據(jù)是以系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為依據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.而實際中容易得到的是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和頻率特性。系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可用分析法給出：在不確知系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時還可以由實驗測得。根據(jù)頻率特性和傳函的關(guān)系以及開環(huán)傳函Go(s)與閉環(huán)特性方程1+Go(s)=0的關(guān)系就可以由開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。稱這種方法為頻率判據(jù)。1.

頻率判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（奈氏判據(jù)）64２．頻率判據(jù)的特點（１）

應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（２）

便于研究系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。（３）

便于分析系統(tǒng)的瞬息性能并指出改進方向。（４）

很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性。65①奈氏曲線（開環(huán)）②系統(tǒng)穩(wěn)定其特征方程根分布虛軸左側(cè)：實部為負一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)n階系統(tǒng)一、頻率判據(jù)概述66結(jié)論：相角變化系統(tǒng)穩(wěn)定③令閉環(huán)特征式開環(huán)特征式若開環(huán)穩(wěn)定所以軌跡不包圍原點

開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定若開環(huán)不穩(wěn)定P個根在右半S平面67閉環(huán)2個根在右半S平面則N---逆時針繞原點圈數(shù)，若要Z=0，即P=N，此時閉環(huán)系統(tǒng)才能穩(wěn)定。一般只繪P個開環(huán)極點在右，奈氏曲線逆繞（-1，j0）P/2圈。開環(huán)傳函含有個積分環(huán)節(jié)（1型以上）增補輔助曲線，起始于正實軸68Ngquit穩(wěn)定判據(jù)是頻率分析法的重點。二.

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)（NyquistCritorioN）１９３２年Nyquist提出了依據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)，它是一種圖解法。稱為奈氏判據(jù)。1.奈氏判據(jù)的內(nèi)容：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳函Go(s)在s右半平面上有p個極點，當頻率ω從－∞變化到＋∞時，若系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性Go(jω)曲線逆時針包圍（－１，j0）點的次數(shù)N恰好等于Go(s)中位于s右半平面的極點數(shù)p，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定的。69數(shù)學(xué)表達式：Z=P-N；Z=閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)；P=開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)；N=開環(huán)頻率特性Go(jω)包圍（-1，j0）點次數(shù)，逆時針N取正；順時針包圍，N則取負。顯然有Z＝０，系統(tǒng)才穩(wěn)定。即N＝＋p逆時針包圍（－１，j０）點p圈。例５－５－１零型系統(tǒng)因為N=0P=0所以Z=0穩(wěn)定(-1,j0)ω=0-1ReReω=0ImReIm因為N=-2，P=0，則Z=2，所以不穩(wěn)定70例5-5-2ω=0ω∞因為N=+1P=1所以z=0穩(wěn)定-1K3-1K4

因為

N=0P=1Z=1不穩(wěn)定

ω=0ω∞

1.奈氏判據(jù)實用形式由于Go(jω)在ω為正值和負值時關(guān)于實軸鏡象對稱，因此，只須研究Go(jω)以０變化到＋∞時包圍（-1，j0）點的情況判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。71判斷方法：設(shè)Go(jω)在s右半平面有p個極點，當頻率ω以０變化到＋∞時，若Go(jω)曲線逆時針包圍（－１，j０）點的次數(shù)N的兩倍恰好等于p，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。其數(shù)學(xué)表達式為Z=-2N+P.N:開環(huán)頻率特性曲線ω以從０變化到＋∞時，包圍（－１，j０）點的次數(shù)，逆時針包圍取負，順時針包圍取正。一般工業(yè)上開環(huán)大部分穩(wěn)定。結(jié)論：（１）開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時（p＝０）根據(jù)奈氏判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Go(jω)曲線包圍（－１，j０）點。（２）開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時（）根據(jù)奈氏判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=2N+P,N=+P/2,即順時針包圍（－１，j０）點p／２圈。例５－５－３設(shè)最小相位系統(tǒng)開環(huán)頻率特性如下72K1-1a穩(wěn)定

-1-1

b不穩(wěn)

K2ImRec臨界穩(wěn)定

K3物理解釋：看反饋信號與干擾信號相位360度幅值（<穩(wěn)定；>不穩(wěn)定；＝臨界）（３）開環(huán)傳函中含有積分環(huán)節(jié)，增補輔助曲線。若G0(s)中包含N個積分環(huán)節(jié)，則須增補一段半徑為無窮大圓周，它起始于正實軸，順時針轉(zhuǎn)過角度后與Go(jω)的低頻段連接起來。73Im1型系統(tǒng)

ω=∞ω=0

ω∞Re-12型系統(tǒng)

3型系統(tǒng)

4）計算G(jω)曲線包圍（－１，j０）點次數(shù)的一種實用方法。由（－１，j０）點到Go(jω)曲線作一矢量（筆桿）使矢端沿曲線從ω＝０→＋∞移動，計算相角凈變化量，再除。例５－５－４二．奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)證明（一）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識741．復(fù)變函數(shù)的基本概念

(1)解析：如果函數(shù)F（s）在s0及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)那么F（s）在s０解析。如果F（s）在區(qū)域D內(nèi)每一點解析，則稱F（s）在區(qū)域D內(nèi)解析。定理：解析函數(shù)的和，差，積，商（除分母為零點外）都是解析函數(shù)，解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)。所有多項式在復(fù)平面上是處處解析的，有理公式函數(shù)都是多項式函數(shù)］在不含分母為零的點的區(qū)域是解析函數(shù)。(2)奇點：如果F（s）在s０不解析，則稱s０為F（s）的奇點.

(3)S平面上任意一條光滑曲線，只要f（s）在這條曲線上的各點都是解析和單值的，則該曲線必可映射成f（s）平面的一條光滑曲線。

75jω

*б

б→∞*0*б

Imω=0б∞Re

0線的對應(yīng)**線的對應(yīng)

4)保角映射如果F（s）在s０解析且則映射F（s）在s０具有保角性，即在s平面上的兩條連續(xù)曲線相交形成一個角度θ，變換成F（s）平面上的兩條相交連續(xù)曲線夾角保持不變.（如上例）2.幅角定理（映射定理）設(shè)F（s）為兩個s多項式之比，并設(shè)F（s）有p個極點，Z個零點位于s平面某一封閉曲線內(nèi)，該封閉曲線不通過F（s）任何極點或零點，則s平面上這一封閉曲線映射到f（s）平面上也是一封閉曲線。例76當變點s順時針經(jīng)過整個封閉曲線時，在F（s）平面上對應(yīng)映射點的軌跡,F（s）順時針包圍原點的總次數(shù)等于（Z－p）次。該定理可以利用對數(shù)留數(shù)概念得到嚴格的證明，這里僅作一些說明。設(shè)s平面上的閉曲線Гs不通過F（s）的任何零點和極點，則在F（s）平面上也有一個閉曲線ГF與之對應(yīng)。

77當Гs上的動點si沿Гs順時針方向繞引一周時：(1)

位于封閉曲線ps外的零點極點指向si的向量轉(zhuǎn)過的角度凈變化為零。(2)

位于封閉曲線ps內(nèi)的零點極點指向si的向量轉(zhuǎn)過的角度凈變化為-2π（逆時針為正）(3)如果Γs只包圍f（s）的一個零點－Zi，則向量∠s＋Zi的變化量為，其他向量變化量為０。，即гF順時針繞原點轉(zhuǎn)一周。гs

гs

78

(4)

如果Γs只包圍Ｆ（s）的一個極點－pi，則向量∠(s＋pi)的變化量為－２π，其他向量變化量為０。于是∠Ｆ（s）＝－∠(s＋pi)＝２π。即∠Ｆ逆時針繞原點一周гFsi(5)如果Γs包圍Ｆ（s）的Z個零點和p個極點，則有∠Ｆ（s）＝－２πZ＋２πp＝－２π（Z－p）。即∠Ｆ順時針繞原點（Z－p）次。79（二）用幅角定理證明奈氏判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程f（s）＝１＋Go(s)=0

所以F(s)的極點是開環(huán)極點，F(xiàn)(s)零點是閉環(huán)極點閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是F(s)的根均在s平面的左側(cè)。1．奈氏圍線取Γs由整個虛軸和右半平面上的半徑為無窮大的半圓構(gòu)成封閉曲線，稱為奈氏曲線。奈氏圍線包圍了F(s)=1+Go(s)在右半平面上的全部零點和極點，且不通過任何F(s)的零極點。80jω∞τs--jω6Γs的虛軸部分經(jīng)F(s)變換后便是1+Go(jω)曲線，由于實際系統(tǒng)Go(jω)曲線，由于實際系統(tǒng)Go(s)的分母階次N總是大于等于分子階次m，即N≥m，所以半徑為∞的半圓徑。F(s)映射變成

特別當N>m時Const=1.這樣奈氏圍線在F(s)平面的映射曲線就是S平面虛軸在F(s)平面的映射。2.閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點數(shù)的確定。81設(shè)F(s)在s右半平面的極點（即Go(s)在Ｓ右半平面的極點）數(shù)為Ｐ，當變點Ｓi在Ｓ平面虛軸（ω從-∞到+∞）上運時，其映射曲線F(jω)=(1+Go(jω))順時針包圍圓點的次數(shù)為Ｎ，根據(jù)幅角定理F(s)=(1+Go(s))在Ｓ右半平面的零點（即閉環(huán)極點）數(shù)為Z=N+P。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須Z=0，于是N=－P即F（jω)=1+Go(jω).逆時針包圍原點的次數(shù)應(yīng)等于開環(huán)傳函Go(s)在S右半平面的極點數(shù)。

將F(s)左移一個單位便到Go（s）即Go（s）=F（s）-1F(s)平面的原點變成Go（jω）平面的（-1，j0）點，82

1+Go（jω）包圍F（s)平面原點方向和次數(shù)，就等價于G0（jω）包圍Go（s）平面的（-1，j0）點的方向和次數(shù)，于是得奈氏判據(jù)：如果系統(tǒng)開環(huán)傳函Go（s）在右s右半平面上有p個極點，為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當ω從-∞變到+∞時，Go（jω）曲線必須逆時針包圍（-1，j0）點p次。ImIm[1+Go(s)]Go(s)1ReRe1+Go(jω)Go(jω)(三)Go（s）含有位于jω軸上的極點（或零點）時的修正83虛軸上有開環(huán)零點極點時圍線修正則在原點處

在虛軸上開環(huán)極點或零點處做一個半徑為無窮小的右半圓，使奈氏圍線不通過Go（s）的零點極點，如下圖特別地，當Go（s）在原點有極點時，如Ⅰ型。原點處奈氏圍線如圖

一型圍線修正84對于二型系統(tǒng)映射成映射成映射成映射成映射成映射成85三奈氏判據(jù)的應(yīng)用

例5-5-3設(shè)控制系統(tǒng)如下圖5-34試應(yīng)用奈氏判據(jù)分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性與開環(huán)總增益的關(guān)系。Go(s)在右半平面無極點,即P=0。解：KCR(s)Y(s)奈氏判據(jù)除了可以用來分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性外，還可用來Ⅰ確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界參數(shù)；Ⅱ分析延遲系統(tǒng)的穩(wěn)定性。8687③繼續(xù)增大k，k>Kl時Go（jω）包圍（-1，j0）點，N=1Z=P+2N=2系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個特征根在s右半平面?？梢?，系統(tǒng)隨著開環(huán)增益增加，穩(wěn)定性下降。當Go（jω）通過（-1，j0）點時，有Go（jω）=-1M（ω）=1，=-180度解上述方程組可得Kρ,。這里介紹另一種算法：令①Im=Go(jω)=0②Re=Go(jω)=-1來計算123Y(s)

分析

①k較小時不包圍（-1，j0）點，N=0，Z=P+2N=0系統(tǒng)穩(wěn)定②k增大時,不變,但增大，G(jw)向外擴張，當k=Kl時Go（jω）通過（-1，j0）點,臨界穩(wěn)定。88由

得

將ωl代入(2)得

得

89當時系統(tǒng)穩(wěn)定時系統(tǒng)不穩(wěn)定例5-5-5使用奈氏判據(jù)分析調(diào)節(jié)器積分時間常數(shù)τi對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響解:開環(huán)調(diào)解器GC對象GPR(s)Y(s)90分析(1)比例調(diào)節(jié)器Im

-1Re

ω=0

無論KpK取多大，Go(jw)都不包含（-1，j0）,系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)T<Ti<∞91-1ω=0*

系統(tǒng)總是穩(wěn)定，但穩(wěn)定性不如（1）(3)τi=T

Go(jω)穿過（-1，j0）系統(tǒng)在KPK>0時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定ω=0-1

92④0<τi<TGo(jω)包圍(-1,j0)點系統(tǒng)不穩(wěn)定

ω=0*-1ω=∞可見:Go(s)中增加積分環(huán)節(jié)使Go(jω)相位滯后增加,降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。調(diào)節(jié)的積分時間常數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性有很大影響，增大對系統(tǒng)穩(wěn)定性有利。試確定使系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的臨界延遲時間解：例5-5-6k>1(k<1系統(tǒng)顯然是穩(wěn)定的)當系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時有93解：p=1故為非最小相位系統(tǒng)，

例：5-5-7試用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性欲使系統(tǒng)穩(wěn)定必須使z=0即2N=Z-P=-1,G(jω)逆時針方向包圍（-1，j0）點一次。94-1Reω=0

因為p=1N=-1/2Z=0所以穩(wěn)定P=1N=0Z=1所以不穩(wěn)定

-1解：這是一個條件穩(wěn)定系統(tǒng)，k值變化，只影響Go(jω)的幅值，相角不變。1．求臨界k值（１）減小k值，使a點與（-1，j0）點重合則有k/500=1/50，k=10（2）減小k使b點與（-1，j0）點重合則有k/500=1/20，k=25ω=0*

-1例5-5-8已知：k=500時系統(tǒng)的Go(jω)曲線如圖所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。95（3）增大k使c點與（-1，j0）點重合則有k/500=1/0.05，k=1000。

2.分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性①

0<k<10G0(jω)不包圍(-1,j0)所以系統(tǒng)穩(wěn)定②

10<k<25Go(jω)包圍(-1,j0)點一次且Z=0+2*1=2右面有兩個特征根,不穩(wěn)定.③

25<k<10000Go(jω)不包圍(-1,j0)點,系統(tǒng)穩(wěn)定.④

K>10000Go(jω)包圍(-1,j0)點一次,系統(tǒng)不穩(wěn)定.96四利用對數(shù)頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.幅相頻率特性與BODE圖之間的對應(yīng)關(guān)系.由于幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系,因此,很容易將奈氏推廣到對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)上.*如幅相頻率特性的(-1,j0)或M(ω)=1φ（ω）=-180對應(yīng)于Bode圖中的odb線和-180線。三種簡單情況（系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定p=0）Im

Im

Im

-1Re-1Re-1

97LmM

ω

-180°

Ψ(ω)=-180°LmM<odB穩(wěn)定Ψ(ω)=-180°LmM=0臨界穩(wěn)定或LmM=odBΨ(ω)>-180°

Ψ（ω）=-180°LmM>0LmM=odBΨ(ω)<-180不穩(wěn)定982．Bode圖上的奈氏判據(jù)若系統(tǒng)開環(huán)傳函Go(s)在s右平面上有p個極點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在L（ω）〉0的所有頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線與-180線正穿越和負穿越次數(shù)之差為p/2；Z=p+i(N--N+)若系統(tǒng)開環(huán)傳函Go(s)在s右平面無極點（開環(huán)穩(wěn)定）則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：與-180線正負穿越次數(shù)之差為零。Z=P-2(N+-N-)=P+2(N--N+)正穿越：由Go(s)平面（-1，j0）點左側(cè)的上半部穿越負實軸至下半部相應(yīng)于Bode圖上在L(ω)>odb的頻率范圍內(nèi)相頻特性由下向上穿越-180線，稱為正穿越。負穿越：和正穿越正好相反。993．判斷GO(jω)是否包圍（-1，j0）點的一種實用方法計算Go(jω)平面（-1，j0）點左側(cè)正負穿越次數(shù)則G0(jw)包圍(-1,j0)點的次數(shù)N可用如下式子表示：N=N+-N-(N>0時順時針包圍N次;N<0時逆時針包圍N次;N=0時不包圍（-1，j0）點。五多網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析①

先分析內(nèi)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，判斷分內(nèi)回路的右半平面的閉環(huán)極點數(shù)它們就是整個系統(tǒng)的部分位于s右半平面的開環(huán)極點100②

將內(nèi)回路s右半平面的閉環(huán)極點于外回路的其他環(huán)節(jié)的s右半平面的開環(huán)極點數(shù)相加，便是位于s右半平面的開環(huán)極點數(shù)即，外回路s右半平面的開環(huán)極點數(shù)=位于s右半平面的開環(huán)極點數(shù)+其他環(huán)節(jié)s右半平面的開環(huán)極點數(shù)③

判斷外回路穩(wěn)定性六穩(wěn)定裕量1．

意義一個實際系統(tǒng)，不僅要絕對穩(wěn)定，而且還要有一定的穩(wěn)定裕量，即相對穩(wěn)定性，以便Gp2

R(s)G1(s)GC2(s)Gp1101①系統(tǒng)有一定抵抗干擾的性能指標，且可防止由于系統(tǒng)特性或參數(shù)改變可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。②還可保證系統(tǒng)不致因建模時和分析時的近似處理而導(dǎo)致的系統(tǒng)的不穩(wěn)定。2．

穩(wěn)定裕量：就是指一個穩(wěn)定的系統(tǒng)距臨界穩(wěn)定狀態(tài)的安全距離，在頻率域里，常有增益裕量及相位裕量來表示。①增益裕量：ⅰ是指相角φ（ω）=-180頻率為ωg時，頻率特性幅值的倒數(shù)Kg=1/(Go(jωg))ⅱ相角為-180時幅頻特性低于零分貝線的分貝線Kg=-20lg|Go(jωg)|Kg的含義：表示系統(tǒng)開環(huán)增益還可增大Kg倍，系統(tǒng)檢到臨界穩(wěn)定

102|G0|

-1ωg

(ωc)

Im

Ωckg

γ(ωc)ωg

②相角裕量：是指開環(huán)系統(tǒng)幅值為一（odb）時其相角大于-180的數(shù)值。γ（ωc）由負實軸作為計算起點，逆時針為正，順時針為負，γ(ωc)=180+φ(ωc)γ(ωc)的含義：表示開環(huán)中幅值為odbω=ωc時，系統(tǒng)還可增加ν相角滯后，系統(tǒng)才達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。1033．

增益裕量為Kg和相角裕量ν（ωc）是頻率法計算的兩個重要的指標說明：①上述兩個穩(wěn)態(tài)裕量的定義都是對最小相位系統(tǒng)而言的。它們只適用于最小相位系統(tǒng)。②一般來說，增益裕量和相角裕量是相互補充的，而不是相互替代。必須同時給出這兩個量才能確定出系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞。如圖：兩系統(tǒng)雖具有相同增益裕量，但是系統(tǒng)①比②穩(wěn)定性更好一般要求γ在22~31之間νg在5~10dB之間104§5-6控制系統(tǒng)性能指標的估算

１.二階系統(tǒng)的頻域特征量傳函

頻率特性

一.二階系統(tǒng)頻率特性與其時間相應(yīng)過程的關(guān)系1050〈ξ〈0.707時發(fā)生諧振現(xiàn)象

峰值

（2）ξ〉0。707時不存在諧振現(xiàn)象M(ω)max=M(o)=Kωr和Mr稱為二階系統(tǒng)的頻域特征量

結(jié)論：（1）二階系統(tǒng)諧振比Mr是ξ的單值函數(shù)如果頻率特性上獲得Mr，那么就可以計算出ξ進而得到時域指標。諧振頻率諧振比定義為106（2）二階系統(tǒng)是ξ和ωn的函數(shù).由Mr確定出ξ后，可由ωr確定出ωn進而確定出快速性指標ωdtrtpts

當ξ=0.15∽0.4時ωd=(1.01∽1.10)ωr可近似認為ωd=ωr所以ωr表征了系統(tǒng)的響應(yīng)速度,ωr越大相應(yīng)越快（ts↓）.

例題：P212圖5-53給出SMrψξMt(δp)的關(guān)系曲線如若給出Mp=2.5則可查出ξ=0.2,δ=52℅ψ=75℅（3）二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值就等于頻率特性上ω=0時的幅值M（0）107對于高階系統(tǒng)難于用數(shù)學(xué)方法確定頻域與時域指標的關(guān)系，通?？捎闷浯嬖诘囊粚χ鲗?dǎo)共軛極點時的閉環(huán)頻率特性和二階系統(tǒng)的頻率特性具有的相似性直接估算階躍響應(yīng)過程的性能指標。二閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性和尼科爾斯（Nichols）圖由上面的討論可知，控制系統(tǒng)的時域指標與系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性之間有著密切的關(guān)系?？梢灾苯痈鶕?jù)閉