【高考風向標】年高考數(shù)學一輪復習 第一章 第1講 集合的含義與基本關(guān)系 理

第一章集合與邏輯用語第1講集合的含義與基本關(guān)系考綱要求考綱研讀1.集合的含義與表示．(1)了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系．(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．2．集合間的基本關(guān)系．(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義．3．集合的基本運算．(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關(guān)系及運算.1.集合是由元素組成的，從集合中元素的特征出發(fā)，可找到元素與集合及集合與集合之間的關(guān)系．2．對于集合的運算，可充分借助于韋恩(Venn)圖或數(shù)軸的直觀性．3．對于與集合運算有關(guān)的新概念問題，通過信息遷移構(gòu)造出符合要求的情景是關(guān)鍵.1．集合的含義與表示互異性無序性(1)集合元素的三個特征：_______、________和________．(2)元素與集合的關(guān)系是_____或________，用符號“___”或“____”表示．?描述法

(3)集合的表示法：_______、_______、圖示法．

(4)常用數(shù)集：自然數(shù)集N；正整數(shù)集N*(或N＋)；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q；實數(shù)集R.確定性屬于不屬于∈列舉法2．集合間的基本關(guān)系A(chǔ)?B?若a∈A，則a∈B

(1)對于兩個集合A與B，如果集合A中任何一個元素都是集合B的元素，則稱集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作A?B或B?A.用符號表達即“_______________________”．

(2)空集及其性質(zhì) ①空集是任何集合的______，其中“任何集合”當然也包括了?，故有???.子集真子集②空集是任何非空集合的________，即?A(而A≠?)．(3)子集的有關(guān)性質(zhì)①A＝B?________________.②A?B，B?C?______.A?C③若集合A有n個元素，則A的子集數(shù)為____.2nA?B且B?A3．集合的運算及其性質(zhì)(1)集合的運算{x|x∈A且x∈B}①交集：A∩B＝_________________．②并集：A∪B＝_________________．③補集：?UA＝_________________．

(2)集合的運算性質(zhì) 并集的性質(zhì)：A∪?＝A、A∪A＝A、A∪B＝B∪A、A∪B＝A?B?A.

交集的性質(zhì)：A∩?＝?、A∩A＝A、A∩B＝B∩A、A∩B＝A?A?B； 補集的性質(zhì)：A∪?UA＝U、A∩?UA＝?、?U(?UA)＝A、?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)、?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．

{x|x∈A或x∈B}{x|x∈U且x

A}1．已知全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的韋恩(Venn)圖是()B2．集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，則A∩B是()CA．(1，－1)B.x＝1y＝－1C．{(1，－1)}D．{1，－1}3．(2011年四川)若全集

M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，則?MN＝()BA．?C．{2,4}B．{1,3,5} D．{1,2,3,4,5}D4．設(shè)集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，則A∪B＝()A．?C．{x|－2<x<1}B．{x|3<x<4} D．{x|x>1}B

5．(2011屆廣東汕頭水平測試)設(shè)全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{0,3,4}，B＝{1,3}，則(?UA)∪B＝(

)

A．{2}

B．{1,2,3}

C．{1,3}

D．{0,1,2,3,4}解析：∵?UA＝{1,2}，B＝{1,3}，∴(?UA)∪B＝{1,2,3}．考點1集合間的基本關(guān)系

例1：集合

A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

(1)若B?A，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)當x∈R時，沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立，求實數(shù)m的取值范圍．需m＋1≥－2，2m－1≤5，可得2≤m≤3.綜上m≤3時有B?A.

解析：(1)①當m＋1＞2m－1，即m＜2時，B＝?.滿足B?A.

②當m＋1≤2m－1，即m≥2時，要使B?A成立，(2)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立．即A∩B＝?.①若B＝?即m＋1＞2m－1，得m＜2時滿足條件．②若B≠?，則要滿足條件有：m＋1≤2m－1，m＋1>5，或m＋1≤2m－1，2m－1<－2，解得m＞4.綜上所述，有m＜2或m＞4.

(1)空集是任何集合的子集，因此當B?A

時需考慮B＝?的情形；(2)當A∩B＝?時也需考慮B＝?的情形，如果當集合B不是空集，要保證B?A，可以利用數(shù)軸，這樣既直觀又簡潔；(3)雖然本題的難度不大，但都需要分兩種情況討論，在(1)中解不等式組時需求交集，而最終結(jié)果又都要求兩種討論結(jié)果的并集，因此本題還是綜合性很強的．【互動探究】

1．(2011年安徽)設(shè)集合

A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，則滿足S?A且S∩B≠?的集合S的個數(shù)為()BA．57B．56C．49D．8D2．(2011年浙江)若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>1}，則()A．P?QB．Q?PC．?RP?QD．Q??RP考點2集合的運算

例2：設(shè)全集U＝{x|x≤20的質(zhì)數(shù)}，M∩?UN＝{3,5}，N∩?UM＝{7,19}，(?UM)∩(?UN)＝{2,17}，求集合M與N.

解析：如圖D1，由(?UM)∩(?UN)＝{2,17}，可知M，N中沒有元素2,17.

圖D1

由N∩?UM＝{7,19}，可知N中有元素7,19，M中沒有元素7,19.

由M∩?UN＝{3,5}，可知M中有元素3,5，N中沒有元素3,5.

剩下的元素11,13不在M∩?UN、N∩?UM、(?UM)∩(?UN)三部分中，只能11∈(M∩N)，13∈(M∩N)．∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．

集合問題大都比較抽象，解題時若借助Venn圖進行數(shù)形分析，往往可將問題直觀化、形象化，使問題靈活、直觀、簡捷、準確地獲解，當然本題還要注意的就是1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)．【互動探究】

3．(2011年全國)設(shè)集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，則?U(M∩N)＝()DA．{1,2}B．{2,3}C．{2,4}D．{1,4}BA．{1,4,5,6}C．{4}B．{1,5} D．{1,2,3,4,5}

4．(2011年安徽)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，則S∩(?UT)等于()

考點3與集合有關(guān)的新概念問題圖1－1－1

A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2} C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}D根據(jù)圖形語言可知定義的A#B可轉(zhuǎn)化為A#B＝?A∪B(A∩B)．所以需要求出和，借助數(shù)軸求出并集與交集．解題的關(guān)鍵是由圖形語言把新定義運算轉(zhuǎn)化為原有的普通運算解出．【互動探究】

5．部分實數(shù)構(gòu)成的集合A滿足：①任兩個不同元素的和仍然是A的元素；②任兩個不同元素的積仍然是A的元素；③任一元素的n次冪仍然是A的元素(n∈N)．這樣的有限集A有()BA．無限多個B．2個C．3個D．4個

6．定義集合運算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素之和為(

)

A．0

B．2

C．3

D．6D

易錯、易混、易漏1．不清楚集合元素的性質(zhì)致誤正解：1－x≥0，x≤1；x∈[2,11]?1≤x－1≤10?0≤lg(x－1)≤1.A∩B＝[0,1]．故選C.C

【失誤與防范】對于集合問題，首先要確定集合的元素是什么(數(shù)集、點集或某類圖形)，然后確定處理此類問題的方法．本題很容易錯誤地認為是求兩函數(shù)定義域的交集，實際上集合A是函數(shù)

1．對連續(xù)數(shù)集間的運算，要借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉(zhuǎn)化；對離散數(shù)集間的運算，要借助Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)．

2．本小節(jié)的重點是交集與并集的概念．只要結(jié)合圖形，抓住概念中的關(guān)鍵詞“且”、“或”，理解它們并不困難．可以借助代數(shù)運算幫助理解“且”、“或”的含義：求方程組的解集是求各個方程的解集的交集，求方程(x＋2)(x＋1)＝0的解集，則是求方程x＋2＝0和x＋1＝0的解集的并集；求不等式組的解集是求各個不等式的解集的交集，求不等式(x＋2)(x＋1)>0的解集，則是求x＋2<0，x＋1<0和x＋2>0，x＋1>0的解集的并集．

1．注意利用分類討論的思想解決集合之間的關(guān)系和含有參數(shù)的問題．如在A?B的條件下，須考慮A＝?和A