線性方程組課件

線性代數(shù)LinearAlgebraBITFall2011

Grading:Homework20%+Midterm10%+FinalExam70%Homework：Everystudentisrequiredtoturninawell-writtenhomeworkeachweek.ThehomeworkassignmentsaredueatthebeginningoftheclassonTuesdays.（每周二上課之前交前一周的作業(yè)）Midterm：第一章和第二章課程結(jié)束之后，隨堂考試，占總成績(jī)的10%

課程大綱Chapter1:線性方程組Chapter2:行列式Chapter3：線性方程組的進(jìn)一步理論Chapter4：矩陣的運(yùn)算

第一章

線性方程組

§1.1Gauss-Jordan算法

一般的n元線性方程組：一個(gè)解：

元有序數(shù)組

使（*）的所有方程變?yōu)楹愕仁健?/p>

解集合：（*）的全部解的集合。

不相容線性方程組：解集合為空集。

線性方程組同解：解集合相同。通解（一般解）：解集合中全部元素的通項(xiàng)表達(dá)式。

特解（具體解）：解集合中一個(gè)特定元素。

解的存在性：解集合是否為空集。

有解：解集合非空。

解的唯一性：非空的解集合是否只有一個(gè)元素。

有唯一解：解集合只含一個(gè)元素。

非齊次線性方程組：

不全為零

齊次線性方程組：

全為零線性方程組的中心問(wèn)題

（1）解的判別：確定存在性與唯一性

（2）求解：確定解集合（3）解的結(jié)構(gòu)：研究解之間的關(guān)系上例題求解過(guò)程總結(jié)：（1）求解線性方程組有兩個(gè)過(guò)程：消元與回代（2）消元過(guò)程需對(duì)方程組做如下處理：

（i）用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程

（ii）一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上

（iii）互換兩個(gè)方程的位置稱上述三種處理為線性方程組的初等變換。

（3）消元的目的是把原方程組化為階梯形方程組（4）一個(gè)方程組被其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)唯一確定，且線性方程組的初等變換只涉及系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)。回顧：解線性方程組的過(guò)程增廣矩陣的每行對(duì)應(yīng)方程組中的一個(gè)方程，故方程組的初等變換等同于對(duì)增廣矩陣的行作下列變換：

（1）用一個(gè)非零數(shù)乘某一行的全部元素

（2）一行的倍數(shù)加到另一行上

（3）互換兩行的位置

稱上述對(duì)矩陣行的處理為矩陣的初等行變換。

結(jié)論：方程組的初等變換

增廣矩陣的初等行變換更進(jìn)一步，階梯形方程組的增廣矩陣也具有相同的形式：（1）零行（所有元素均為零的行）全部在下方，非零行（至少有一個(gè)元素不為零的行）全部在上方（2）非零行的首非零元（也稱主元，即行中第一個(gè)不為零的元素）隨著行標(biāo)的增大其列標(biāo)也嚴(yán)格增大

稱上述形式的矩陣為階梯形矩陣。結(jié)論：增廣矩陣為階梯形矩陣

方程組為階梯形方程組§1.2線性方程組解的情況及判別

定理方程組的初等變換把一個(gè)線性方程組變成另一個(gè)同解的線性方程組。

定理

任一矩陣均可通過(guò)有限次初等行變換化為階梯形矩陣。假設(shè)用初等行變換可以化為其中都不為0.

不難看出上述矩陣對(duì)應(yīng)的階梯形方程組為

情形一：

此時(shí)階梯形方程組中出現(xiàn)了這種矛盾方程，因此階梯形方程組無(wú)解。

情形二：

子情形一：則上述階梯形方程組為

其中

均不為零，所以通過(guò)回代可唯一確定

的取值，即方程組有唯一解。子情形二：設(shè)為除之外的個(gè)自由未知量。則上述階梯形方程組為其中均不為零。

只要給定的值，則通過(guò)回代可唯一確定的取值，從而得到方程組的解。因?yàn)榭扇o(wú)窮多組值，所以方程組有無(wú)窮多個(gè)解。通過(guò)上述討論我們得到

定理：就階梯形方程組而言

1．有矛盾方程：無(wú)解；

2．無(wú)矛盾方程：有解；

（1）方程個(gè)數(shù)=未知數(shù)個(gè)數(shù)：解唯一；（2）方程個(gè)數(shù)<未知數(shù)個(gè)數(shù)：解無(wú)窮多：注：

（1）通?？偸侨》侵髟粗獢?shù)為自由未知數(shù)(系數(shù)不是階梯形矩陣主元的未知數(shù))；

（2）階梯形方程組不含“0=0”的方程。

（3）對(duì)齊次方程組消元時(shí)，只需對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換推論1階梯形齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。

推論2

若齊次線性方程組中方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則其必有非零解。

因?yàn)槿我痪€性方程組都可化為同解的階梯形方程組，所以上述定理使我們得到了對(duì)方程組的解進(jìn)行判別的有效方法。例

某大學(xué)數(shù)學(xué)系組織全校三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，比賽以組為單位進(jìn)行。在分組過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，若3個(gè)人一組，最后剩余2人，若5人一組，則最后余3人；若7人一組，最后也余2人。已知全校三年級(jí)學(xué)生人數(shù)在800到1000之間。問(wèn)全校三年級(jí)學(xué)生有多少人？