計(jì)算機(jī)圖形學(xué)4-1

第4章二維圖形變換4.2圖形的幾何變換4.1用戶坐標(biāo)到屏幕坐標(biāo)的變換4.1圖形的幾何變換主要介紹數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二維圖形幾何變換

三維圖形幾何變換

參數(shù)圖形幾何變換

基本的幾何變換研究物體坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)的平移、旋轉(zhuǎn)和變比的規(guī)律。

矢量的含義:矢量是由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合。如：二維矢量(x,y)，三維矢量(x,y,z)(x,y)XYXYZ(x,y,z)圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—矩陣運(yùn)算設(shè)有矢量V1(x1,y1,z1)，V2(x2,y2,z2)，有關(guān)它們的運(yùn)算有：矢量之和：V1+V2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)矢量點(diǎn)積：V1?V2=x1*x2+y1*y2+z1*z2矢量的長(zhǎng)度：|V1|=(V1?V1)1/2=(x1*x1+y1*y1+z1*z1)1/2矢量的叉積：圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—矩陣運(yùn)算設(shè)有一個(gè)m行n列的矩陣A其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素加法:設(shè)A，B為兩個(gè)具有相同行和列元素的矩陣圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—矩陣運(yùn)算數(shù)乘矩陣乘法。矩陣A=(aij)3X2,矩陣B=(bij)2X3，則圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—矩陣運(yùn)算任意兩個(gè)矩陣，只有在前一矩陣的列數(shù)等于后一矩陣的行數(shù)時(shí)才能相乘C=Cm×p=Am×n·Bn×p單位矩陣在一矩陣中，其主對(duì)角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作InAm×n=Am×n·In逆矩陣若矩陣A存在A·A-1=A-1·A=I，則稱A-1為A的逆矩陣圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—矩陣運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A=(aij)m×n的行和列互換而得到的n×m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

當(dāng)A為n階矩陣，且A=AT，則

A是對(duì)稱矩陣。圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—矩陣運(yùn)算交換律與結(jié)合律

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A矩陣乘法的結(jié)合律及分配律

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—矩陣運(yùn)算“取景器”=窗口視區(qū)1視區(qū)2（viewport）在將窗口中的圖形信息送到視區(qū)去輸出之前，必須進(jìn)行坐標(biāo)變換，即將用戶坐標(biāo)系的坐標(biāo)值轉(zhuǎn)化為設(shè)備坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，即窗口-視區(qū)變換。從窗口到視區(qū)的變換，稱為規(guī)格化變換(NormalizationTransformation)由于窗口映射到視口是“成比例”的，而“成比例”這樣的要求迫使這種映射具有線性形式y(tǒng)yxoW(窗口)xoV(視圖區(qū))wxLwxRwyBwyTvxLvxRvyBvyT(wx,wy)(vx,vy)

vx–vxLwx–wxL

由兩圖的比例關(guān)系：

vxR–

vxLwxR–

wxLvy–vyBwy–wyBvyT–

vyBwyT–

wyB可得：

vxR–

vxL

wxR–

wxL

vyT–

vyBwyT–

wyB==vx=?(wx–wxL)+vxLvy=?(wy–wyB)+vyBxoW(窗口)xoV(視圖區(qū))wxLwxRwyBwyTvxLvxRvyBvyT(wx,wy)(vx,vy)

VX=SxWX+TxVY=SyWY+Ty縮放系數(shù)

Sx=(VXR-VXL)/(WXR-WXL)Sy=(VYT-VYB)/(WYT-WYB)平移參數(shù)

Tx=(WXR*VXL-WXL*VXR)/(WXR-WXL)Ty=(WYT*VYB-WYB*VYT)/(WYT-WyB)用矩陣表示為：4.2二維幾何變換平移變換(translationtransformation)將點(diǎn)P(x,y)在x軸方向、y軸方向分別平移距離tx，ty，得到點(diǎn)P′(x?,y?)，則記為：T(tx,ty)矩陣表示：4.2二維幾何變換旋轉(zhuǎn)變換(rotationtransformation)如點(diǎn)P(x,y)的極坐標(biāo)表示（r為P到原點(diǎn)的距離）繞坐標(biāo)原點(diǎn)（稱為參照點(diǎn)，基準(zhǔn)點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)角度θ

（逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）4.2二維幾何變換旋轉(zhuǎn)變換(續(xù)）記為：R(θ)矩陣表示為：4.2二維幾何變換放縮變換(scalingtransformation)將點(diǎn)P(x,y)在x方向,y方向分別放縮sx和sy倍，得到點(diǎn)P′(x?,y?)以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照（基準(zhǔn)）點(diǎn)不僅改變了物體的大小和形狀，也改變了它離原點(diǎn)的距離記為：S(sx,sy)4.2二維幾何變換

利用矩陣計(jì)算變換后的坐標(biāo)時(shí)，平移、旋轉(zhuǎn)和放縮變換分別為：運(yùn)算不統(tǒng)一，如何統(tǒng)一運(yùn)算？齊次坐標(biāo)為什么需要齊次坐標(biāo)?計(jì)算多次不同變換時(shí)，分別利用矩陣計(jì)算各變換導(dǎo)致計(jì)算量大運(yùn)算表示形式不統(tǒng)一平移為“＋”旋轉(zhuǎn)和放縮為“·”統(tǒng)一運(yùn)算形式后，可以先合成變換運(yùn)算的矩陣，再作用于圖形對(duì)象所謂齊次坐標(biāo)法，就是用n+1維向量來(lái)表示一個(gè)n維向量。對(duì)n維向量用其n個(gè)坐標(biāo)分量(P1,P2,…,Pn)表示，是唯一的，若用齊次坐標(biāo)表示，則有n+1個(gè)分量，即(hP1,hP2,…,hPn，h)，且不唯一。二維坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)是一對(duì)多的關(guān)系。通常都采用規(guī)格化的齊次坐標(biāo)，即取h=1。(x,y)的規(guī)格化齊次坐標(biāo)為(x,y,1)齊次坐標(biāo)的幾何意義：可理解為在三維空間上第三維為常數(shù)的一平面上的二維向量。齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)用齊次坐標(biāo)表示具有以下優(yōu)點(diǎn)：提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至更高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)的有效方法可表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)例如：（x,y,H)，令H等于0引入齊次坐標(biāo)為幾何圖形的變換提供了統(tǒng)一的矩陣運(yùn)算方法,以便于計(jì)算機(jī)對(duì)二維、三維甚至更高維空間的幾何圖形單一變換及復(fù)合變換齊次坐標(biāo)1.二維變換矩陣二維幾何變換矩陣可以表示如下：從變換功能上可以將變換矩陣分為4個(gè)子矩陣，其中是對(duì)圖形進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換

4.2.2二維圖形幾何變換

二、變換矩陣

是對(duì)圖形進(jìn)行平移變換；是對(duì)圖形進(jìn)行投影變換，g的作用是在x軸的1/g處產(chǎn)生一個(gè)滅點(diǎn)，h的作用是在y軸的1/h處產(chǎn)生一處滅點(diǎn)；[i]是對(duì)整體圖形作伸縮變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))二、變換矩陣

4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))二、變換矩陣⒉平移的矩陣運(yùn)算表示為

(3.2)簡(jiǎn)記為p=p·T(Tx,Ty)。其中，p=［x

y1］，p=［x

y1］。表示平移矩陣。

P(x,y)P*(x*y*)TxTyXY4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))二、變換矩陣⒉旋轉(zhuǎn)的矩陣運(yùn)算表示為

(3.2)簡(jiǎn)記為p=pR()，其中R()表示旋轉(zhuǎn)矩陣。繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角。(x,y)αθρ(x’,y’)在XOY平面上的二維圖形繞原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角，則其變換矩陣為：XY4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))二、變換矩陣⒊變比的矩陣運(yùn)算表示為

（3.3）

簡(jiǎn)記為p=pS(Sx,Sy)，其中(Sx,Sy)表示變化矩陣。XYSx=Sy=1XYSx=Sy>1XYSx=Sy<1XYSx=1,Sy>1XYSx>1,Sy=14.對(duì)稱變換當(dāng)b=d=0，a=-1，e=1時(shí)，有x*=-x，y*=y，產(chǎn)生與y軸對(duì)稱的反射變換XYXY當(dāng)b=d=0，a=1，e=-1時(shí)，有x*=x，y*=-y，產(chǎn)生與x軸對(duì)稱的反射變換4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))二、變換矩陣當(dāng)b=d=0，a=e=-1時(shí)，有x*=-x，y*=-y，產(chǎn)生與原點(diǎn)對(duì)稱的反射變換當(dāng)b=d=1，a=0，e=0時(shí)，有x*=y，y*=x，產(chǎn)生與直線y=x對(duì)稱的反射變換XYXY4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))二、變換矩陣4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))二、變換矩陣4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))二、變換矩陣4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))4.2圖形的幾何變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換(CompositeTransformation)4.2圖形的幾何變換

對(duì)于復(fù)雜的圖形變換，需要通過(guò)若干個(gè)變換矩陣的級(jí)聯(lián)才能實(shí)現(xiàn)。這里特別要注意的是矩陣級(jí)聯(lián)的順序，由于矩陣的乘法運(yùn)算不適用交換律，因此矩陣級(jí)聯(lián)的順序不同所得到的變換結(jié)果也不相同。級(jí)聯(lián)平移

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換(CompositeTransformation)4.2圖形的幾何變換復(fù)合比例復(fù)合旋轉(zhuǎn)

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換(CompositeTransformation)4.2圖形的幾何變換比例、旋轉(zhuǎn)變換是和參考點(diǎn)有關(guān)的，若相對(duì)于任意參考點(diǎn)(xf,yf)作比例、旋轉(zhuǎn)變換，其變換過(guò)和是先將坐標(biāo)系平移到參考點(diǎn)上，變換后，再將坐標(biāo)平移回來(lái)相對(duì)(xf,yf)點(diǎn)的比例變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換(CompositeTransformation)4.2圖形的幾何變換相對(duì)(xf,yf)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換(CompositeTransformation)4.21圖形的幾何變換(xf,yf)(x,y)θ(x1,y1)1θ(x2,y2)2xfyf3(x’,y’)

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換(CompositeTransformation)4.2圖形的幾何變換yo

例如：對(duì)任意直線的對(duì)稱變換（直線方程為Ax+By+C=0）

4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換(CompositeTransformation)4.2圖形的幾何變換4.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換(CompositeTransformation)4.2圖形的幾何變換xxyoxyo

100T1=010C/A01

cosα

－sinα0T2=sinαcosα00014.2.2二維圖形幾何變換

(續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換(CompositeTransformation)4.2圖形的幾何變換