復(fù)變函數(shù)第四章

第四章級(jí)數(shù)1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2.冪級(jí)數(shù)4.洛朗級(jí)數(shù)3.泰勒級(jí)數(shù)1、復(fù)數(shù)列的極限：解:2、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：舉例考察數(shù)列的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性復(fù)習(xí)掌握一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂法：第四章級(jí)數(shù)1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2.冪級(jí)數(shù)4.洛朗級(jí)數(shù)3.泰勒級(jí)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：二、冪級(jí)數(shù)：舉例求級(jí)數(shù)的斂散半徑求級(jí)數(shù)的斂散半徑第四章級(jí)數(shù)1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2.冪級(jí)數(shù)4.洛朗級(jí)數(shù)3.泰勒級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)。研究：一個(gè)解析函數(shù)(單連通域）是否能用冪級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)？問(wèn)題：泰勒級(jí)數(shù)可以將解析函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，但這樣的展開(kāi)式是否唯一呢？

結(jié)論1、任何解析函數(shù)（在單連通域內(nèi)）展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)，并且是唯一的。實(shí)變函數(shù)不易理解的問(wèn)題:復(fù)變函數(shù)很明顯:只對(duì)|x|<1成立二、求解析函數(shù)泰勒展開(kāi)式的方法：

直接用泰勒展開(kāi)定理，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求系數(shù)。1、直接法：例1：2、間接法：a、借助一些常用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式（唯一性）例2：b、運(yùn)用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)（導(dǎo)數(shù)、積分）例3：例4：練習(xí)：第四章級(jí)數(shù)1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2.冪級(jí)數(shù)4.洛朗級(jí)數(shù)3.泰勒級(jí)數(shù)一、討論下列雙邊級(jí)數(shù)：1、雙邊級(jí)數(shù)可以分為兩部分：

2、雙邊級(jí)數(shù)收斂性：

收斂性：當(dāng)且僅當(dāng)正冪項(xiàng)與負(fù)冪項(xiàng)都收斂時(shí)，級(jí)數(shù)才收斂。收斂區(qū)域：為圓環(huán)域3、雙邊級(jí)數(shù)性質(zhì)：

在收斂圓環(huán)域內(nèi)，和函數(shù)是解析函數(shù)；可以逐項(xiàng)求導(dǎo)；逐項(xiàng)求積分。級(jí)數(shù)的正整次冪部分稱(chēng)為解析部分；級(jí)數(shù)的負(fù)整次冪部分稱(chēng)為主要部分；三、應(yīng)用和性質(zhì)：

1、唯一性：一個(gè)在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的洛朗級(jí)數(shù)。

2、函數(shù)展開(kāi)中的應(yīng)用：一般當(dāng)函數(shù)在不解析，但在的去心鄰域內(nèi)處處解析，函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。

洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系:四、洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的求法：（1）直接法：由定義求太繁雜，一般不用。（2）間接法：

借助一些常用函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式，以唯一性為依據(jù)，運(yùn)用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算、求導(dǎo)和積分等得到解析函數(shù)的洛朗展開(kāi)式。在計(jì)算閉路積分中的應(yīng)用第四章小結(jié)1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂:

(1)復(fù)數(shù)列 收斂的充要條件:同時(shí)收斂.(2)復(fù)級(jí)數(shù):

收斂的充要條件:同時(shí)收斂.(3)復(fù)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:

絕對(duì)收斂的充要條件:同時(shí)絕對(duì)收斂.

2、冪級(jí)數(shù)：

(1)Abel定理:收斂范圍為圓域,圓內(nèi)絕對(duì)收斂,圓外發(fā)散,圓上不定.(2)收斂半徑求法:(3)性質(zhì):和函數(shù)在收斂圓內(nèi):解析,可逐項(xiàng)求導(dǎo),可逐項(xiàng)積分.

3、泰勒級(jí)數(shù):定理:在以為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z)，可以在該圓域內(nèi)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。