大學(xué)物理第4章

1第4章振動(dòng)§4.1

簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描述§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程§4.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量§4.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成§4.5阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振2

因?yàn)檎駝?dòng)是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)等必須的基礎(chǔ)知識(shí)，自然界中還有許多現(xiàn)象，如交變電流、交變的電磁場(chǎng)等，都屬于廣義的振動(dòng)現(xiàn)象。這些運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)雖然并非機(jī)械運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)描述卻與機(jī)械振動(dòng)類(lèi)似。因此，機(jī)械振動(dòng)的研究也為光學(xué)、電學(xué)、交流電工學(xué)、無(wú)線電技術(shù)等打下了一定的基礎(chǔ)。任何一種復(fù)雜的機(jī)械振動(dòng)都可以看成多個(gè)直線振動(dòng)的疊加。學(xué)習(xí)機(jī)械振動(dòng)的意義3§4.1

簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其描述

簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。速度加速度42.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量（振幅、圓頻率、周期、頻率和位相）振幅

A圓頻率ω、周期T和頻率位相(1)(t

+0

)是

t時(shí)刻的位相，(2)0是t=0時(shí)刻的位相—

初相。位相概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異,設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：位相差5t(s)(m)00.020.51.03.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幾何描述方法振動(dòng)曲線法6xx=Acos(t+0)

0oxt=0·t+0t=t優(yōu)點(diǎn)：⑴初位相直觀明確。⑵比較兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差直觀明確。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法Dx07oxA2A1A3(A2、A3)兩個(gè)振動(dòng)為反相.(A1、A2)兩個(gè)振動(dòng)為同相；8例:一物體沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向X軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式;(2)t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解:(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),諧振動(dòng)表達(dá)式寫(xiě)為：其中A=0.12m,T=2s,初始條件：t=0,x0=0.06m,可得(2)由(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得:在t=T/4=0.5s時(shí)，代入所列的表達(dá)式可求!9(3)當(dāng)x=-0.06m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1,得因該時(shí)刻速度為負(fù)(向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)),應(yīng)舍去4/3，設(shè)物體在t2時(shí)刻第一次回到平衡位置(x=0)，位相是3/2因此從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：另解：從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為：x10x

振幅矢量的角速度，

t=10§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程受力特點(diǎn):線性回復(fù)力

(F=-kx)以水平彈簧振子為例固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)位移x之通解可寫(xiě)為：固有(圓)頻率常量A和0由初始條件確定根據(jù)初始條件：t=0

時(shí)，x=x0

,v=v011（1）單擺幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析：很小,小于50

時(shí)，所以：?jiǎn)螖[作小角度擺動(dòng)，也是諧振動(dòng)（角諧振動(dòng)）。重力的分力（準(zhǔn)彈性力）。通解為：mmg+12（2）復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱(chēng)為復(fù)擺。

剛體的質(zhì)心為C,對(duì)過(guò)O

點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,O、C

兩點(diǎn)間的距離為h。令據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得若

角度較小時(shí)h+13簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量(以水平彈簧振子為例)(1)動(dòng)能§4.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量(2)勢(shì)能情況同動(dòng)能。系統(tǒng)總的機(jī)械能：簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒14諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線:0t0tx15簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法1.由分析受力出發(fā)(由牛頓定律列方程)2.

由分析能量出發(fā)(將能量守恒式對(duì)t求導(dǎo))例：彈簧豎直放置時(shí)物體的振動(dòng)。彈簧原長(zhǎng)掛m后伸長(zhǎng)某時(shí)刻m位置伸長(zhǎng)受彈力平衡位置解：求平衡位置以平衡位置O為原點(diǎn)因此,此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。16以平衡位置O為原點(diǎn)彈簧原長(zhǎng)掛m后伸長(zhǎng)某時(shí)刻m位置伸長(zhǎng)受彈力平衡位置重力和彈性力都是保守力，合力F作功將轉(zhuǎn)化為勢(shì)能。包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能17如果振動(dòng)系統(tǒng)除去本身恢復(fù)力之外還有其它恒力作用。振動(dòng)系統(tǒng)仍作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位置為原點(diǎn)，則可按常規(guī)立刻寫(xiě)出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。在本例中彈簧原長(zhǎng)掛m后伸長(zhǎng)某時(shí)刻m位置伸長(zhǎng)受彈力平衡位置18例：一質(zhì)量為m的物體從傾角為的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，滑行遠(yuǎn)后與質(zhì)量為M的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。M與倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧相連，碰前M靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。mMk解1：取m與M

碰撞連在一起后的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)此時(shí)彈簧在m與M的壓縮下退了x0。x0原長(zhǎng)Mmx0坐標(biāo)系如圖0X以振動(dòng)系統(tǒng)在恒力作用下的平衡位置為原點(diǎn)，則可按常規(guī)立刻寫(xiě)出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程或振動(dòng)表達(dá)式。19例：一質(zhì)量為m的物體從傾角為

的光滑斜面頂點(diǎn)處由靜止滑下，滑行后遠(yuǎn)后與質(zhì)量為M的物體發(fā)生完全非彈性碰撞。M與倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧相連，碰前M靜止于斜面。求：運(yùn)動(dòng)方程。以碰撞時(shí)作為記時(shí)起點(diǎn)動(dòng)量守恒初位置A和0由初始條件確定20解2:取平衡位置（x=0）為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法2.由分析能量出發(fā)(將能量守恒式對(duì)t求導(dǎo))21勢(shì)能討論取平衡位置（x=0）為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。另，設(shè)彈簧自然長(zhǎng)度（未形變）時(shí)彈性勢(shì)能為零，重力勢(shì)能的零點(diǎn)取在

x=0

處。(2)-(1)機(jī)械能守恒（初始最大位移）22勢(shì)能討論取平衡位置（x=0）為系統(tǒng)勢(shì)能的零點(diǎn)。機(jī)械能守恒由初始條件決定A也是機(jī)械能守恒定律的必然結(jié)果。23§4.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng):x1=A1cos(t+10)x2=A2cos(t+20)合振動(dòng):x=x1+x2x

=A

cos(t+0

)合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其頻率仍為兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同。

24ox旋轉(zhuǎn)矢量法表示：25兩種特殊情況

(1)若兩分振動(dòng)同相

2010

=2k(k

=

0,1,2,…)

(2)若兩分振動(dòng)反相

2010

=(2k+1)(k

=

0,1,2,…)如果A1=A2,則A=0則A=A1+A2,兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)則A=|A1-A2|,兩分振動(dòng)相互減弱兩個(gè)振動(dòng)的位相差，對(duì)合成振動(dòng)起著重要的作用，這種現(xiàn)象在波的干涉與衍射中具有特殊的意義26N個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初相分別為0,,2,...,依次差一個(gè)恒量

，振動(dòng)表達(dá)式可寫(xiě)成

采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而避開(kāi)煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。

根據(jù)矢量合成法則，N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如下圖所示：2.多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同。

合振動(dòng)的振幅和初相是分析的關(guān)鍵!27

因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同且相差依次恒為a,上圖中各個(gè)矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以C為圓心的圓周上，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，可得28在三角形DOCM中,OM的長(zhǎng)度就是合振動(dòng)的振幅A,角度MOX就是合振動(dòng)的初相，據(jù)此得考慮到當(dāng)=0時(shí)(同相合成)，有293.同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率1和2很接近，且兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：x=x1+

x2合振動(dòng)可視為圓頻率為(1+2)/2、振幅為|2Acos[(2-1)t/2]|

的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。隨時(shí)間變化很慢可看作合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間變化較快可看作作諧振動(dòng)的部分30oXA,同一直線上不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成旋轉(zhuǎn)矢量——幾何法分析重合：反向：拍:合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象31561拍頻:單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)=|2-1|32兩個(gè)同頻率的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)位移表達(dá)式消時(shí)間參數(shù)，得

橢圓的性質(zhì)(方位、長(zhǎng)短軸、左右旋)在

A1、A2確定之后,主要決定于=20

-10。4.相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成33(1)

20-

10

=

0,兩個(gè)分振動(dòng)同位相，得在任一時(shí)刻離開(kāi)坐標(biāo)原點(diǎn)位移為：(2)20-

10

=p,

兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)反位相，得幾種特殊情況：34(3)

20-10

=p/2，得(4)20-10

=3p/2，仍然得這是坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。與(3)相同，只是質(zhì)點(diǎn)的軌跡沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。35幾種特殊情況36方向垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩分振動(dòng)頻率相差很小

可看作兩頻率相等而Df

隨t

緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁(yè)圖依次緩慢變化

軌跡稱(chēng)為李薩如圖形兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比且初位相恒定37無(wú)阻尼自由振動(dòng)

物體在彈性力或準(zhǔn)彈性力作用下產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)稱(chēng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)。阻尼振動(dòng)

物體在彈性力（或準(zhǔn)彈性力）和阻力作用下產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)阻尼振動(dòng)?！?.5阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振阻尼振動(dòng)的種類(lèi)：

在阻尼振動(dòng)中，振動(dòng)系統(tǒng)所具有的能量將在振動(dòng)過(guò)程中逐漸減少。能量損失的原因通常有兩種：

一種是由于介質(zhì)對(duì)振動(dòng)物體的摩擦阻力，使振動(dòng)系統(tǒng)的能量逐漸變?yōu)闊徇\(yùn)動(dòng)的能量而造成能量損失。這稱(chēng)摩擦阻尼。

另一種是由于振動(dòng)物體引起鄰近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，使振動(dòng)系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌?dòng)的能量，而造成系統(tǒng)能量損失。這稱(chēng)輻射阻尼。38阻尼振動(dòng)彈性力和上述阻力作用下的微分方程：在流體(液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力

速度，

：阻力系數(shù)。令：稱(chēng)0

為振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率，稱(chēng)為阻尼因子39（1）202

阻尼較小時(shí)，此方程的解：這種情況稱(chēng)為欠阻尼由初始條件決定A和初位相0,設(shè)即有：40欠阻尼下1.振幅特點(diǎn)振幅：A(t)=Ae-t振幅隨

t

衰減。

2.周期特點(diǎn)嚴(yán)格講，阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)(更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng))，因?yàn)槲灰苮(t)不是t的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某種重復(fù)性。阻尼較大時(shí)，方程的解：其中C1,C2是積分常數(shù)，由初始條件來(lái)決定，這種情況稱(chēng)為過(guò)阻尼。無(wú)振動(dòng)發(fā)生41（3）如果

2=02

方程的解：無(wú)振動(dòng)發(fā)生C1,C2是積分常數(shù)，由初始條件來(lái)決定，這種情況稱(chēng)為臨界阻尼。

2=02(臨界阻尼)情形下:阻尼振動(dòng)微分方程的解將是非振動(dòng)性的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)物體連一次振動(dòng)也不能完成，能量即已耗光，物體慢慢移向平衡位置。和過(guò)阻尼情形相比，臨界阻尼情形下，物體回到平衡位置并停在那里，所需時(shí)間最短。

應(yīng)用：電表阻尼、天平阻尼阻尼振動(dòng).SWF42應(yīng)用：電表阻尼、天平阻尼43

物體在周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱(chēng)為受迫振動(dòng)。物體所受驅(qū)動(dòng)力：運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)受迫振動(dòng)共振

1.受迫振動(dòng)44對(duì)于阻尼較小的情形，運(yùn)動(dòng)方程之解表為:經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，衰減項(xiàng)忽略不計(jì)，僅