大學(xué)物理第14章振動(dòng)

振動(dòng)的形式是多種多樣的，（簡(jiǎn)）諧振（動(dòng)）是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)。彈簧振子就是最簡(jiǎn)單的諧振。（物理量在一個(gè)定值附近作周期性變化都為振動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)：物體在平衡位置處作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)）。如鐘擺，活塞，聲帶的振動(dòng)，耳膜的振動(dòng)）。§14.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體對(duì)于平衡位置的位移隨時(shí)間按余弦函數(shù)變化，這種振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，簡(jiǎn)稱諧振。（如：無阻尼的彈簧振子。）諧振方程振幅表示質(zhì)點(diǎn)可能離開原點(diǎn)的最大距離，給出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的范圍。與能量E相關(guān)，也與初始條件相關(guān)。相位相位是描述質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)的物理量。（相位確定，位移，速度和加速度，合外力等所有物理量都確定)。1.諧振方程初相即t=0時(shí)的相位，是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初始狀態(tài)(由初始條件決定）。全振動(dòng)相位每變化，即運(yùn)動(dòng)完成完整的一次循環(huán)并回到初始狀態(tài)，稱為全振動(dòng)。周期進(jìn)行一次全振動(dòng)所耗費(fèi)的時(shí)間稱為一個(gè)周期。頻率在單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)稱為振動(dòng)的頻率。顯然：角頻率角頻率描述相位變化的速率，是描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)變化快慢的物理量。（相位的變化—相變可以通過角頻率來表示。）稱為描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量諧振曲線用振動(dòng)曲線的方法表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)中位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，稱為諧振曲線。2.諧振曲線從平衡位置引大小等于振幅的矢量。它以角頻率作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，某一時(shí)刻與振動(dòng)方向(x軸)間的夾角即為相位。3.旋轉(zhuǎn)矢量(振幅矢量)旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量矢端所描出的軌跡是半徑為振幅的圓，稱為參考圓。參考圓顯然，矢端描出的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：什么相位時(shí)，速度為零，什么相位時(shí)，速度最大。（旋轉(zhuǎn)矢量與簡(jiǎn)諧振動(dòng)相對(duì)應(yīng)）例1、一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A，周期T，(1)當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置偏移A/2，質(zhì)點(diǎn)向x軸正向運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)初相；(2)質(zhì)點(diǎn)從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=A/2處最少需要多少時(shí)間。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖（1）（2）例2、一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖，求振動(dòng)方程。解：先畫出對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖122二、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差

相位概念用于比較兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的步調(diào)。相位差振動(dòng)的相位之差稱為相位差，簡(jiǎn)稱相差。同相相位差為零表明兩振動(dòng)同時(shí)達(dá)到自己的最大最小值，即步調(diào)始終一致，稱為同相。對(duì)于同頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，相位差為：顯然，同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差總等于初相差，與時(shí)間無關(guān)。反相相位差為π表明兩振動(dòng)中的一個(gè)到達(dá)自己的最大值，另一個(gè)將同時(shí)到達(dá)自己的最小值，即步調(diào)始終相反，稱為反相。反相的兩個(gè)振動(dòng)超前與落后既非同相，亦非反相的兩個(gè)振動(dòng)稱為不同相。若：稱振動(dòng)x2比x1超前稱振動(dòng)x2比x1落后振動(dòng)x2比x1超前振動(dòng)x2比x1落后三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度與加速度振動(dòng)速度振動(dòng)加速度即：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度和位移的大小成正比而方向相反。顯然：討論（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度、加速度都是簡(jiǎn)諧模式，且角頻率相同；（2）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度、加速度的振幅分別為A、ωA、ω2A；（3）位移、速度、加速度的振動(dòng)依此超前π/2?！?4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程1.諧振微分方程

從諧振位移與加速度的關(guān)系出發(fā)，可得到諧振微分方程。這是個(gè)二階齊次微分方程，其通解就是：結(jié)論1任何滿足諧振微分方程的物理量就是一個(gè)諧振量，它的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

2頻率決定于方程，振幅和初相決定于初始條件。2.諧振的動(dòng)力學(xué)特征

諧振運(yùn)動(dòng)的加速度來源于運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受到的合力作用。對(duì)于一維諧振，根據(jù)牛頓第二定律：回復(fù)力作諧振運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的合力的大小與對(duì)于平衡位置的位移成正比而與方向相反，稱為正比回復(fù)力，簡(jiǎn)稱回復(fù)力。(1)回復(fù)力諧振質(zhì)點(diǎn)受到的合力是回復(fù)力，彈簧系統(tǒng)的彈力是典型的回復(fù)力。

若質(zhì)點(diǎn)受到的合力滿足回復(fù)力的定義，則：(2)合力是回復(fù)力的運(yùn)動(dòng)是諧振令：這正是諧振微分方程，其解就是：固有頻率角頻率是由振動(dòng)系統(tǒng)本身的力學(xué)性質(zhì)決定的，稱為固有頻率。若質(zhì)點(diǎn)的合力是正比回復(fù)力，則其運(yùn)動(dòng)是諧振，這是諧振的動(dòng)力學(xué)定義。固有周期周期也是由振動(dòng)系統(tǒng)本身的力學(xué)性質(zhì)決定的，稱為固有周期。

若剛體受到的合力矩是回復(fù)力矩，則：(3)合力矩是回復(fù)力矩的運(yùn)動(dòng)是諧振令：這也是諧振微分方程，其解仍具有諧振模式：其中，Θ是諧振的振幅，即最大角位移。固有角頻率、固有周期分別為：(4)諧振實(shí)例彈簧振子質(zhì)點(diǎn)受合力為：則：在平衡位置：又：即：這是諧振微分方程，其解是：固有角頻率：固有周期：（正比回復(fù)力）單擺對(duì)轉(zhuǎn)心o,質(zhì)點(diǎn)受合力矩為：（小角度擺動(dòng)）諧振微分方程的解為：固有角頻率：固有周期：3.振幅和初相的確定(1)由初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量（位移、速度、加速度）來確定由：初始條件得：兩式聯(lián)立得：（振幅與初始位置、速度有關(guān)）(2)由旋轉(zhuǎn)矢量來確定初相實(shí)際解題過程中，先根據(jù)初始條件確定振幅A再根據(jù)初始位置x0和速度的方向確定初相例3、一輕質(zhì)量彈簧下懸掛m0=100克的砝碼時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)8cm，現(xiàn)在此彈簧下懸掛m=250克的物體，構(gòu)成振動(dòng)系統(tǒng)，將物體從平衡位置向下拉離4cm，并給以向上的初始速度21cm/s，以此時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0)，若選向下為x軸正向，求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。解：由先求振動(dòng)固有頻率再求振幅或由能量守恒畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖，求初相最后寫出振動(dòng)方程初始時(shí)刻速度向上小于零4.諧振的能量

對(duì)于無阻尼情況，諧振彈簧的勢(shì)能可由下式計(jì)算：(1)諧振的勢(shì)能

任何一個(gè)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)都受到回復(fù)力（力矩），繼而都相當(dāng)于一個(gè)彈簧振子，因此可以用彈簧振子為例來討論諧振的能量。

對(duì)于無阻尼情況，諧振彈簧的動(dòng)能可由下式計(jì)算：(2)諧振的動(dòng)能

對(duì)于無阻尼情況，諧振彈簧的機(jī)械能即：(3)諧振的機(jī)械能無阻尼諧振的機(jī)械能守恒。[1]無阻尼諧振的勢(shì)能、動(dòng)能也是諧振模式。[2]無阻尼諧振的勢(shì)能、動(dòng)能的諧振頻率和初相比位移諧振大一倍。[3]無阻尼諧振的勢(shì)能、動(dòng)能的振幅是。例1、底面積為S的長(zhǎng)方形木塊，浮于水面，水面下a，用手按下x后釋放，證明木塊運(yùn)動(dòng)為諧振動(dòng)，其周期為：思考題證明：平衡時(shí)在水面下任意位置x處，合力顯然，合力為回復(fù)力，運(yùn)動(dòng)為諧振。例2、假設(shè)沿地球直徑打一孔，物體從孔中落下。證明：物體作諧振動(dòng)。證明：物體受萬有引力與內(nèi)層質(zhì)量有關(guān)顯然，合力為回復(fù)力，運(yùn)動(dòng)為諧振。例3、兩個(gè)彈簧構(gòu)成的彈簧系統(tǒng)，勁度系數(shù)分別為k1、k2，求振動(dòng)頻率。解：m位移x,兩彈簧伸長(zhǎng)各為x1、x2，因?yàn)槭禽p質(zhì)彈簧，則即：顯然，合力為回復(fù)力，運(yùn)動(dòng)為諧振，諧振頻率為：（即兩個(gè)彈簧串聯(lián)的勁度系數(shù)）例4、一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0)，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且AB=10cm。求:(1)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2)質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖（1）t=0時(shí),t=2s時(shí),由上兩式可解得：（2）

諧振是振動(dòng)或周期運(yùn)動(dòng)中的一種，許多實(shí)際的周期運(yùn)動(dòng)并非諧振。我們熟知的各種樂器的振動(dòng)大多不屬于諧振。例如，小提琴的振動(dòng)有如圖示的鋸齒形。

這種情況似乎要求我們把振動(dòng)按其形式分為多種類型來建立理論。

其實(shí)不然，因?yàn)楦鞣N周期運(yùn)動(dòng)都由簡(jiǎn)諧振動(dòng)組成。容易證明，任一周期為T的振動(dòng)可展開為Fourier余弦（正弦）級(jí)數(shù)：§14.5簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成式中，，系數(shù)A1、A2決定于F(t)的具體形式。

可見，任一周期為T的振動(dòng)可以看成是周期為T、T/2、T/3的一系列諧振的合成。

所謂音色，就決定于各個(gè)諧振的振幅之比，聲音是否和諧也取決于這些比例。小提琴的一系列諧振的振幅之比具有非常簡(jiǎn)單而有規(guī)律的比例1/1、1/2、1/3

，這是小提琴音色優(yōu)美動(dòng)聽的物理原因。一、同方向、同頻率的諧振合成

對(duì)于同方向、同頻率的兩個(gè)諧振：總位移為：是簡(jiǎn)諧振動(dòng)嗎?令：則有：合運(yùn)動(dòng)的確是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且頻率不變!其中：1.代數(shù)方法2.旋轉(zhuǎn)矢量法

由于兩分振動(dòng)有相同的頻率，因此合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量A仍以相同的角速度旋轉(zhuǎn)，初始時(shí)刻與X軸的夾角為21。旋轉(zhuǎn)矢量A的X軸分量——即合振動(dòng)方程為：可見，合振動(dòng)是同頻率、同方向的諧振動(dòng)。①當(dāng)時(shí),

合振動(dòng)為二分振動(dòng)之和，稱這樣的二分振動(dòng)同相(步調(diào)一致)。討論②當(dāng)時(shí),

合振動(dòng)為二分振動(dòng)之差，稱這樣的二分振動(dòng)反相(步調(diào)相反)。若例：兩同方向、同頻率諧振動(dòng)合成，求：合成諧振動(dòng)方程。解：合成后不變，直接代入公式：合振動(dòng)方程例：兩同方向、同頻率諧振動(dòng)合成，其合振幅A=20cm，與第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)相位差，若第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅為cm，求解：畫出振動(dòng)矢量合成圖，

這種振動(dòng)的合成一般比較復(fù)雜，這里只討論兩諧振動(dòng)的頻率1、2較大；兩諧振動(dòng)的頻率相差很小。

振動(dòng)合成后，振幅出現(xiàn)時(shí)而加強(qiáng)，時(shí)而減弱的有規(guī)律地交替變化的現(xiàn)象——拍現(xiàn)象。

由于二分振動(dòng)頻率不同，因此不能由旋轉(zhuǎn)矢量確定合振動(dòng)。二、同方向、異頻率的諧振合成設(shè)：合振動(dòng)：隨t變化很緩慢隨t變化較快合振動(dòng)為變振幅的同頻率振動(dòng)。振幅：振幅的頻率：拍振幅變化的周期性導(dǎo)致振動(dòng)的忽強(qiáng)忽弱，稱為節(jié)拍，簡(jiǎn)稱拍。合振幅變化頻率------“拍頻”。討論拍頻單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)稱為拍頻。顯然：

Lissajouplot（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡）

同頻率相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成

Lissajouplot（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡）

不同頻率相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成§14.3阻尼振動(dòng)一、無阻尼振動(dòng)二、阻尼振動(dòng)沒有考慮阻力作用的諧振，稱為無阻尼振動(dòng)，也稱為自由振動(dòng)。無阻尼振動(dòng)無阻尼振動(dòng)沒有機(jī)械能的損耗，能量只在勢(shì)能、動(dòng)能之間轉(zhuǎn)化。

實(shí)際振動(dòng)過程總存在著阻力，在流體中的阻力稱為粘滯力。當(dāng)物體低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力當(dāng)物體高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻力彈簧、單擺振動(dòng)過程，受到的阻力與速度正比反向。子彈運(yùn)動(dòng)、衛(wèi)星發(fā)射過程，受到的阻力與速度平方正比反向。1.阻尼振動(dòng)微分方程（低速）

對(duì)于一維低速情況：阻尼系數(shù)反應(yīng)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的內(nèi)在屬性，其大小由物體形狀、大小、表面狀況以及介質(zhì)的性質(zhì)決定。阻尼系數(shù)在回復(fù)力與阻力的共同作用下，由牛頓第二定律：即：其中：分別稱為固有角頻率與阻尼因子。

若阻尼作用較小，上述微分方程的解為：2.欠阻尼振動(dòng)即：這是類似于諧振過程的振動(dòng)方程，稱為欠阻尼振動(dòng)，其振動(dòng)曲線如右圖。振幅項(xiàng)隨時(shí)間衰減。振動(dòng)周期3.臨界阻尼運(yùn)動(dòng)

若阻尼作用大至臨界阻尼，上述微分方程的解為：即：這是按照指數(shù)快速衰減的方程，稱為臨界阻尼運(yùn)動(dòng)，其曲線如右圖所示。這個(gè)過程并非振動(dòng)過程，是非周期運(yùn)動(dòng)。常用臨界阻尼的特性來制作能快速恢復(fù)平衡位置的儀表。4.過阻尼運(yùn)動(dòng)

若阻尼作用超過臨界阻尼，上述微分方程的解為：即：兩項(xiàng)都按照指數(shù)衰減，此方程代表的運(yùn)動(dòng)稱為過阻尼運(yùn)動(dòng)，其曲線如右圖所示。這個(gè)過程也并非振動(dòng)過程，是非周期運(yùn)動(dòng)。過阻尼運(yùn)動(dòng)回到平衡位置的時(shí)間比臨界阻尼情況要長(zhǎng)。欠阻尼過阻尼臨界阻尼三種阻尼運(yùn)動(dòng)圖象的比較§14.4受迫振動(dòng)共振一、受迫振動(dòng)施加給振動(dòng)系統(tǒng)的周期性外力，稱為驅(qū)動(dòng)力。驅(qū)動(dòng)力

阻力的存在會(huì)消耗系統(tǒng)的能量，使得振動(dòng)最終停止下來。要能在阻力存在的情況下獲得穩(wěn)定的振動(dòng)，必須給系統(tǒng)補(bǔ)充必要的能量。通常采用的做法是施加周期性的外力。在周期性外力驅(qū)動(dòng)下的振動(dòng)，稱為受迫振動(dòng)。受迫振動(dòng)1.受迫振動(dòng)微分方程

若驅(qū)動(dòng)力為簡(jiǎn)諧力：在回復(fù)力、阻力、驅(qū)動(dòng)力共同存在的情況下，由牛頓第二定律：即：其中：2.受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程

上述微分方程的解為：第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)衰減為0。第二項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生的周期振動(dòng)。當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)衰減為0后，只作受迫振動(dòng)，振動(dòng)頻率