大學物理第14章振動

振動的形式是多種多樣的，（簡）諧振（動）是最簡單、最基本的振動。彈簧振子就是最簡單的諧振。（物理量在一個定值附近作周期性變化都為振動。機械振動：物體在平衡位置處作來回往復的運動）。如鐘擺，活塞，聲帶的振動，耳膜的振動）?！?4.1簡諧振動的描述一、簡諧振動的描述簡諧振動物體對于平衡位置的位移隨時間按余弦函數變化，這種振動稱為簡諧振動，簡稱諧振。（如：無阻尼的彈簧振子。）諧振方程振幅表示質點可能離開原點的最大距離，給出質點運動的范圍。與能量E相關，也與初始條件相關。相位相位是描述質點振動狀態(tài)的物理量。（相位確定，位移，速度和加速度，合外力等所有物理量都確定)。1.諧振方程初相即t=0時的相位，是簡諧振動的初始狀態(tài)(由初始條件決定）。全振動相位每變化，即運動完成完整的一次循環(huán)并回到初始狀態(tài)，稱為全振動。周期進行一次全振動所耗費的時間稱為一個周期。頻率在單位時間內完成全振動的次數稱為振動的頻率。顯然：角頻率角頻率描述相位變化的速率，是描述簡諧振動變化快慢的物理量。（相位的變化—相變可以通過角頻率來表示。）稱為描述簡諧振動的三個特征量諧振曲線用振動曲線的方法表示簡諧振動中位移與時間的函數關系，稱為諧振曲線。2.諧振曲線從平衡位置引大小等于振幅的矢量。它以角頻率作逆時針勻速轉動，某一時刻與振動方向(x軸)間的夾角即為相位。3.旋轉矢量(振幅矢量)旋轉矢量旋轉矢量矢端所描出的軌跡是半徑為振幅的圓，稱為參考圓。參考圓顯然，矢端描出的運動學方程為：什么相位時，速度為零，什么相位時，速度最大。（旋轉矢量與簡諧振動相對應）例1、一質點在x軸上作簡諧振動，振幅A，周期T，(1)當t=0時，質點對平衡位置偏移A/2，質點向x軸正向運動，求振動初相；(2)質點從x=0處運動到x=A/2處最少需要多少時間。解：由旋轉矢量圖（1）（2）例2、一質點作簡諧振動的振動曲線及部分數據如圖，求振動方程。解：先畫出對應的旋轉矢量圖122二、同頻率的簡諧振動的相位差

相位概念用于比較兩個同頻率的簡諧振動的步調。相位差振動的相位之差稱為相位差，簡稱相差。同相相位差為零表明兩振動同時達到自己的最大最小值，即步調始終一致，稱為同相。對于同頻率兩個簡諧振動，相位差為：顯然，同頻率簡諧振動的相位差總等于初相差，與時間無關。反相相位差為π表明兩振動中的一個到達自己的最大值，另一個將同時到達自己的最小值，即步調始終相反，稱為反相。反相的兩個振動超前與落后既非同相，亦非反相的兩個振動稱為不同相。若：稱振動x2比x1超前稱振動x2比x1落后振動x2比x1超前振動x2比x1落后三、簡諧振動的速度與加速度振動速度振動加速度即：簡諧振動的加速度和位移的大小成正比而方向相反。顯然：討論（1）簡諧振動的位移、速度、加速度都是簡諧模式，且角頻率相同；（2）簡諧振動的位移、速度、加速度的振幅分別為A、ωA、ω2A；（3）位移、速度、加速度的振動依此超前π/2?！?4.2簡諧振動的動力學一、簡諧振動的微分方程1.諧振微分方程

從諧振位移與加速度的關系出發(fā)，可得到諧振微分方程。這是個二階齊次微分方程，其通解就是：結論1任何滿足諧振微分方程的物理量就是一個諧振量，它的運動是簡諧振動。

2頻率決定于方程，振幅和初相決定于初始條件。2.諧振的動力學特征

諧振運動的加速度來源于運動質點所受到的合力作用。對于一維諧振，根據牛頓第二定律：回復力作諧振運動的質點所受的合力的大小與對于平衡位置的位移成正比而與方向相反，稱為正比回復力，簡稱回復力。(1)回復力諧振質點受到的合力是回復力，彈簧系統(tǒng)的彈力是典型的回復力。

若質點受到的合力滿足回復力的定義，則：(2)合力是回復力的運動是諧振令：這正是諧振微分方程，其解就是：固有頻率角頻率是由振動系統(tǒng)本身的力學性質決定的，稱為固有頻率。若質點的合力是正比回復力，則其運動是諧振，這是諧振的動力學定義。固有周期周期也是由振動系統(tǒng)本身的力學性質決定的，稱為固有周期。

若剛體受到的合力矩是回復力矩，則：(3)合力矩是回復力矩的運動是諧振令：這也是諧振微分方程，其解仍具有諧振模式：其中，Θ是諧振的振幅，即最大角位移。固有角頻率、固有周期分別為：(4)諧振實例彈簧振子質點受合力為：則：在平衡位置：又：即：這是諧振微分方程，其解是：固有角頻率：固有周期：（正比回復力）單擺對轉心o,質點受合力矩為：（小角度擺動）諧振微分方程的解為：固有角頻率：固有周期：3.振幅和初相的確定(1)由初始運動狀態(tài)量（位移、速度、加速度）來確定由：初始條件得：兩式聯立得：（振幅與初始位置、速度有關）(2)由旋轉矢量來確定初相實際解題過程中，先根據初始條件確定振幅A再根據初始位置x0和速度的方向確定初相例3、一輕質量彈簧下懸掛m0=100克的砝碼時，彈簧伸長8cm，現在此彈簧下懸掛m=250克的物體，構成振動系統(tǒng)，將物體從平衡位置向下拉離4cm，并給以向上的初始速度21cm/s，以此時作為計時起點(t=0)，若選向下為x軸正向，求質點的振動方程。解：由先求振動固有頻率再求振幅或由能量守恒畫出旋轉矢量圖，求初相最后寫出振動方程初始時刻速度向上小于零4.諧振的能量

對于無阻尼情況，諧振彈簧的勢能可由下式計算：(1)諧振的勢能

任何一個做簡諧振動的系統(tǒng)都受到回復力（力矩），繼而都相當于一個彈簧振子，因此可以用彈簧振子為例來討論諧振的能量。

對于無阻尼情況，諧振彈簧的動能可由下式計算：(2)諧振的動能

對于無阻尼情況，諧振彈簧的機械能即：(3)諧振的機械能無阻尼諧振的機械能守恒。[1]無阻尼諧振的勢能、動能也是諧振模式。[2]無阻尼諧振的勢能、動能的諧振頻率和初相比位移諧振大一倍。[3]無阻尼諧振的勢能、動能的振幅是。例1、底面積為S的長方形木塊，浮于水面，水面下a，用手按下x后釋放，證明木塊運動為諧振動，其周期為：思考題證明：平衡時在水面下任意位置x處，合力顯然，合力為回復力，運動為諧振。例2、假設沿地球直徑打一孔，物體從孔中落下。證明：物體作諧振動。證明：物體受萬有引力與內層質量有關顯然，合力為回復力，運動為諧振。例3、兩個彈簧構成的彈簧系統(tǒng)，勁度系數分別為k1、k2，求振動頻率。解：m位移x,兩彈簧伸長各為x1、x2，因為是輕質彈簧，則即：顯然，合力為回復力，運動為諧振，諧振頻率為：（即兩個彈簧串聯的勁度系數）例4、一質點在x軸上作簡諧振動，選取該質點向右運動通過A點時作為計時起點(t=0)，經過2秒后質點第一次經過B點，再經過2秒后質點第二次經過B點，若已知該質點在A、B兩點具有相同的速率，且AB=10cm。求:(1)質點的振動方程；(2)質點在A點處的速率。解：由旋轉矢量圖（1）t=0時,t=2s時,由上兩式可解得：（2）

諧振是振動或周期運動中的一種，許多實際的周期運動并非諧振。我們熟知的各種樂器的振動大多不屬于諧振。例如，小提琴的振動有如圖示的鋸齒形。

這種情況似乎要求我們把振動按其形式分為多種類型來建立理論。

其實不然，因為各種周期運動都由簡諧振動組成。容易證明，任一周期為T的振動可展開為Fourier余弦（正弦）級數：§14.5簡諧振動的合成式中，，系數A1、A2決定于F(t)的具體形式。

可見，任一周期為T的振動可以看成是周期為T、T/2、T/3的一系列諧振的合成。

所謂音色，就決定于各個諧振的振幅之比，聲音是否和諧也取決于這些比例。小提琴的一系列諧振的振幅之比具有非常簡單而有規(guī)律的比例1/1、1/2、1/3

，這是小提琴音色優(yōu)美動聽的物理原因。一、同方向、同頻率的諧振合成

對于同方向、同頻率的兩個諧振：總位移為：是簡諧振動嗎?令：則有：合運動的確是簡諧振動，且頻率不變!其中：1.代數方法2.旋轉矢量法

由于兩分振動有相同的頻率，因此合振動的旋轉矢量A仍以相同的角速度旋轉，初始時刻與X軸的夾角為21。旋轉矢量A的X軸分量——即合振動方程為：可見，合振動是同頻率、同方向的諧振動。①當時,

合振動為二分振動之和，稱這樣的二分振動同相(步調一致)。討論②當時,

合振動為二分振動之差，稱這樣的二分振動反相(步調相反)。若例：兩同方向、同頻率諧振動合成，求：合成諧振動方程。解：合成后不變，直接代入公式：合振動方程例：兩同方向、同頻率諧振動合成，其合振幅A=20cm，與第一個簡諧振動相位差，若第一個簡諧振動振幅為cm，求解：畫出振動矢量合成圖，

這種振動的合成一般比較復雜，這里只討論兩諧振動的頻率1、2較大；兩諧振動的頻率相差很小。

振動合成后，振幅出現時而加強，時而減弱的有規(guī)律地交替變化的現象——拍現象。

由于二分振動頻率不同，因此不能由旋轉矢量確定合振動。二、同方向、異頻率的諧振合成設：合振動：隨t變化很緩慢隨t變化較快合振動為變振幅的同頻率振動。振幅：振幅的頻率：拍振幅變化的周期性導致振動的忽強忽弱，稱為節(jié)拍，簡稱拍。合振幅變化頻率------“拍頻”。討論拍頻單位時間內振動加強或減弱的次數稱為拍頻。顯然：

Lissajouplot（質點運動軌跡）

同頻率相互垂直的簡諧振動合成

Lissajouplot（質點運動軌跡）

不同頻率相互垂直的簡諧振動合成§14.3阻尼振動一、無阻尼振動二、阻尼振動沒有考慮阻力作用的諧振，稱為無阻尼振動，也稱為自由振動。無阻尼振動無阻尼振動沒有機械能的損耗，能量只在勢能、動能之間轉化。

實際振動過程總存在著阻力，在流體中的阻力稱為粘滯力。當物體低速運動時，阻力當物體高速運動時，阻力彈簧、單擺振動過程，受到的阻力與速度正比反向。子彈運動、衛(wèi)星發(fā)射過程，受到的阻力與速度平方正比反向。1.阻尼振動微分方程（低速）

對于一維低速情況：阻尼系數反應了相對運動系統(tǒng)的內在屬性，其大小由物體形狀、大小、表面狀況以及介質的性質決定。阻尼系數在回復力與阻力的共同作用下，由牛頓第二定律：即：其中：分別稱為固有角頻率與阻尼因子。

若阻尼作用較小，上述微分方程的解為：2.欠阻尼振動即：這是類似于諧振過程的振動方程，稱為欠阻尼振動，其振動曲線如右圖。振幅項隨時間衰減。振動周期3.臨界阻尼運動

若阻尼作用大至臨界阻尼，上述微分方程的解為：即：這是按照指數快速衰減的方程，稱為臨界阻尼運動，其曲線如右圖所示。這個過程并非振動過程，是非周期運動。常用臨界阻尼的特性來制作能快速恢復平衡位置的儀表。4.過阻尼運動

若阻尼作用超過臨界阻尼，上述微分方程的解為：即：兩項都按照指數衰減，此方程代表的運動稱為過阻尼運動，其曲線如右圖所示。這個過程也并非振動過程，是非周期運動。過阻尼運動回到平衡位置的時間比臨界阻尼情況要長。欠阻尼過阻尼臨界阻尼三種阻尼運動圖象的比較§14.4受迫振動共振一、受迫振動施加給振動系統(tǒng)的周期性外力，稱為驅動力。驅動力

阻力的存在會消耗系統(tǒng)的能量，使得振動最終停止下來。要能在阻力存在的情況下獲得穩(wěn)定的振動，必須給系統(tǒng)補充必要的能量。通常采用的做法是施加周期性的外力。在周期性外力驅動下的振動，稱為受迫振動。受迫振動1.受迫振動微分方程

若驅動力為簡諧力：在回復力、阻力、驅動力共同存在的情況下，由牛頓第二定律：即：其中：2.受迫振動運動方程

上述微分方程的解為：第一項為阻尼振動項，當時間較長時衰減為0。第二項為驅動力產生的周期振動。當第一項衰減為0后，只作受迫振動，振動頻率