




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文檔簡(jiǎn)介
數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)專(zhuān)題定積分的近似計(jì)算1
問(wèn)題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?zhuān)題定積分的近似計(jì)算定積分計(jì)算的基本公式是牛頓-萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時(shí),如何計(jì)算?這時(shí)就需要利用近似計(jì)算。特別是在許多實(shí)際應(yīng)用中,被積函數(shù)甚至沒(méi)有解析表達(dá)式,而是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線,或一組離散的采樣值,此時(shí)只能用近似方法計(jì)算定積分。本實(shí)驗(yàn)主要研究定積分的幾種近似計(jì)算算法:矩形法、梯形法和拋物線法;蒙特卡洛隨機(jī)投點(diǎn)法和蒙特卡洛樣本均值法。同時(shí)介紹Matlab
計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)。2矩形法定積分的定義:專(zhuān)題定積分的近似計(jì)算3矩形法n
充分大,△x
充分小定積分的近似:
通常我們?nèi)∽簏c(diǎn)法右點(diǎn)法中點(diǎn)法點(diǎn)可以任意選取,常見(jiàn)的取法有:
左端點(diǎn),右端點(diǎn)和中點(diǎn)。4步長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)
右點(diǎn)法:
中點(diǎn)法:
左點(diǎn)法:左點(diǎn)法、右點(diǎn)法和中點(diǎn)法5解:矩形法舉例==>h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100例:用不同的矩形法計(jì)算下面的定積分(取n=100),
并比較這三種方法的相對(duì)誤差。左點(diǎn)法:右點(diǎn)法:中點(diǎn)法:(i=0,1,2,...,100)6理論值:左點(diǎn)法相對(duì)誤差:誤差分析矩形法舉例右點(diǎn)法相對(duì)誤差:中點(diǎn)法相對(duì)誤差:不同的方法有不同的計(jì)算精度有沒(méi)有更好的近似計(jì)算定積分的方法
?7定積分幾何意義8
曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來(lái)近似整個(gè)曲邊梯形的面積:梯形法9
如果我們n
等分區(qū)間[a,b],即令:則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點(diǎn)公式有什么區(qū)別
?10解:==>例:用梯形法計(jì)算下面定積分(取n=100),
并計(jì)算相對(duì)誤差梯形法舉例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)
相對(duì)誤差:11
2n
等分區(qū)間[a,b],得該直線用拋物線代替,計(jì)算精度是否會(huì)更好?
計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值:拋物線法
在區(qū)間[x0,x2]上,用過(guò)以下三點(diǎn)的拋物線來(lái)近似原函數(shù)f(x)。12設(shè)過(guò)以上三點(diǎn)的拋物線方程為:則在區(qū)間[x0,x2]上,有y=
x2+x
+
=p1(x)
拋物線法13同理可得:相加即得:拋物線法14整理后可得:或辛普森(Simpson)公式拋物線法公式拋物線法15==>例:用拋物線法計(jì)算下面定積分(取n=100),
并計(jì)算相對(duì)誤差解:a=0,b=1,n=100,yi
=f(xi)=1/(1+xi2)相對(duì)誤差:拋物線法16梯形法:trapztrapz(x,y)
x
為分割點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))組成的向量,
y為被積函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值組成的向量。
Matlab
近似計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)Matlab計(jì)算定積分函數(shù)介紹17前面的做法例:用梯形法計(jì)算下面定積分(取n=100)解:a=0,b=1,n=100,yi
=f(xi)=1/(1+xi2)>>
x=0:1/100:1;>>
y=1./(1+x.^2);>>
trapz(x,y)trapz函數(shù)trapz(x,1./(1+x.^2))trapz舉例18quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數(shù),[a,b]為積分區(qū)間,tol
為計(jì)算精度將自變量看成是向量拋物線法:quad不用自己分割積分區(qū)間可以指定計(jì)算精度,若不指定,缺省精度是10-6精度越高,函數(shù)運(yùn)行的時(shí)間越長(zhǎng)此處的函數(shù)
f是數(shù)值形式,應(yīng)該使用數(shù)組運(yùn)算,即
點(diǎn)運(yùn)算:.*,./,.\,.^
注:拋物線法19解:>>
quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>
quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10)>>
quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-16)函數(shù)表達(dá)式一定要用單引號(hào)括起來(lái)!涉及的運(yùn)算一定要用數(shù)組運(yùn)算!例:用quad
計(jì)算定積分:quad舉例20拋物線法計(jì)算二重積分:dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)
tol
為計(jì)算精度,若不指定,則缺省精度為10-6
f(x,y)
可以由inline
定義,或通過(guò)一個(gè)函數(shù)句柄傳遞
[a,b]
是第一積分變量的積分區(qū)間,[c,d]是第二積分變量
的積分區(qū)間按字母順序,大寫(xiě)字母排在小寫(xiě)字母的前面二重積分的計(jì)算21>>
f=inline('4*x*y+3*y^2');>>
I=dblquad(f,-1,1,0,2)
f(x,y)
中關(guān)于第一自變量的運(yùn)算是數(shù)組運(yùn)算,
即把x
看成是向量,y
看成是標(biāo)量。也可以全部采用數(shù)組運(yùn)算例2:計(jì)算二重積分>>
dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>
dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)X例1:計(jì)算二重積分dblquad舉例22例:計(jì)算二重積分>>
dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y
分別是第一和第二積分變量>>
dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被積函數(shù)f(x,y)
的另一種定義方法:匿名函數(shù)dblquad舉例23int(f,a,b)
計(jì)算
f
關(guān)于默認(rèn)自變量
的定積分,積分區(qū)間為[a,b]。int(f)
計(jì)算
f
關(guān)于默認(rèn)自變量
的不定積分。int(f,v,a,b)
計(jì)算函數(shù)f
關(guān)于自變量v
的定積分,積分區(qū)間為[a,b]int(f,v)
計(jì)算函數(shù)
f
關(guān)于自變量
v
的不定積分findsym(f,1)符號(hào)積分:
intint符號(hào)積分24>>
symsxy;>>
f=y*sin(x);>>
int(f,x)>>
int(f,y)>>
int(f)>>
int('a+b')ans=-y*cos(x)ans=1/2*y^2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b^2例:指出下面各條語(yǔ)句的輸出結(jié)果int舉例25例:用int
函數(shù)計(jì)算定積分:解:>>
symsx;>>
f=1/(1+x^2);>>
int(f,x,0,1)>>
f=sym('1/(1+x^2)');>>
int(f,x,0,1)>>
int('1/(1+x^2)',x,0,1)或>>
int('1/(1+x^2)',0,1)或或int舉例26double(a)將a
轉(zhuǎn)化為雙精度型,若a
是字符,則取對(duì)應(yīng)的ASCII碼>>
a=3;>>
double(a)>>
double('a')例:ans=3ans=97其它相關(guān)函數(shù)27>>
x=1:0.001:2;>>
y=exp(x.^(-2));>>
trapz(x,y)梯形法:拋物線法:>>
quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)符號(hào)積分法:>>
syms
x>>
int('exp(x^(-2))',x,1,2)例1:用Matlab
函數(shù)近似計(jì)算積分?jǐn)?shù)值實(shí)驗(yàn)28拋物線法:>>
dblquad(inline('x+y^2')),0,2,-1,1)符號(hào)積分法:>>
f=int('x+y^2','y',-1,1);>>
int(f,0,2)數(shù)值實(shí)驗(yàn)例2:用Matlab
函數(shù)近似計(jì)算二重積分29
用蒙特卡羅(MonteCarlo)法近似計(jì)算n=100000;%總模擬次數(shù)m=0;%記錄有利實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變量初始化fori=1:n%開(kāi)始模擬實(shí)驗(yàn)
x=rand(1);%產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn)
y=rand(1);%產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn)
if(1/(x^2+1)>=y)%判斷試驗(yàn)點(diǎn)是否落在積分線下方
m=m+1;%有利實(shí)驗(yàn)次數(shù)加1endendfprintf('面積的近似值為:%f\n',m/n)蒙特卡羅法近似計(jì)算定積分-投點(diǎn)法30蒙特卡羅法近似計(jì)算定積分-樣本平均值法設(shè)g(x)是(a,b)上的一個(gè)密度函數(shù),改寫(xiě)基本原理:對(duì)積分其中,X是服從g(x)的隨機(jī)變量.可見(jiàn),積分可以表示為X的函數(shù)的期望。由矩法,若有n個(gè)來(lái)自g(x)的觀測(cè)值x1,…,xn,則可給出的一個(gè)矩估計(jì)。31特別地,若a,b有限,可取g(x)為[a,b]上均勻分布.此時(shí),設(shè)x1,…,xn是來(lái)自U(a,b)的隨機(jī)數(shù),則的一個(gè)估計(jì)為具體步驟為注可證是的無(wú)偏估計(jì)。一般而言,樣本均值法要比隨機(jī)投點(diǎn)法更有效。具體步驟為32例3
計(jì)算定積分事實(shí)上,其精確解為樣本平均值法求解:注增加樣本數(shù)目,可提高計(jì)算精度,但計(jì)算時(shí)間也會(huì)提高。
ybjzf(0,4,1000)result=7.1854ybjzf(0,4,10000)result=7.2
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