定積分的近似計(jì)算

數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)專(zhuān)題定積分的近似計(jì)算1

問(wèn)題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?zhuān)題定積分的近似計(jì)算定積分計(jì)算的基本公式是牛頓－萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時(shí)，如何計(jì)算？這時(shí)就需要利用近似計(jì)算。特別是在許多實(shí)際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒(méi)有解析表達(dá)式，而是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時(shí)只能用近似方法計(jì)算定積分。本實(shí)驗(yàn)主要研究定積分的幾種近似計(jì)算算法：矩形法、梯形法和拋物線法；蒙特卡洛隨機(jī)投點(diǎn)法和蒙特卡洛樣本均值法。同時(shí)介紹Matlab

計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)。2矩形法定積分的定義：專(zhuān)題定積分的近似計(jì)算3矩形法n

充分大，△x

充分小定積分的近似：

通常我們?nèi)∽簏c(diǎn)法右點(diǎn)法中點(diǎn)法點(diǎn)可以任意選取，常見(jiàn)的取法有：

左端點(diǎn)，右端點(diǎn)和中點(diǎn)。4步長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)

右點(diǎn)法：

中點(diǎn)法：

左點(diǎn)法：左點(diǎn)法、右點(diǎn)法和中點(diǎn)法5解：矩形法舉例==>h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100例：用不同的矩形法計(jì)算下面的定積分(取n=100)，

并比較這三種方法的相對(duì)誤差。左點(diǎn)法：右點(diǎn)法：中點(diǎn)法：(i=0,1,2,...,100)6理論值：左點(diǎn)法相對(duì)誤差：誤差分析矩形法舉例右點(diǎn)法相對(duì)誤差：中點(diǎn)法相對(duì)誤差：不同的方法有不同的計(jì)算精度有沒(méi)有更好的近似計(jì)算定積分的方法

?7定積分幾何意義8

曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來(lái)近似整個(gè)曲邊梯形的面積：梯形法9

如果我們n

等分區(qū)間[a,b]，即令：則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點(diǎn)公式有什么區(qū)別

?10解：==>例：用梯形法計(jì)算下面定積分(取n=100)，

并計(jì)算相對(duì)誤差梯形法舉例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)

相對(duì)誤差：11

2n

等分區(qū)間[a,b]，得該直線用拋物線代替，計(jì)算精度是否會(huì)更好？

計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值：拋物線法

在區(qū)間[x0,x2]上，用過(guò)以下三點(diǎn)的拋物線來(lái)近似原函數(shù)f(x)。12設(shè)過(guò)以上三點(diǎn)的拋物線方程為：則在區(qū)間[x0,x2]上，有y=

x2+x

+

=p1(x)

拋物線法13同理可得：相加即得：拋物線法14整理后可得：或辛普森(Simpson)公式拋物線法公式拋物線法15==>例：用拋物線法計(jì)算下面定積分(取n=100)，

并計(jì)算相對(duì)誤差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)相對(duì)誤差：拋物線法16梯形法：trapztrapz(x,y)

x

為分割點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）組成的向量，

y為被積函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值組成的向量。

Matlab

近似計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)Matlab計(jì)算定積分函數(shù)介紹17前面的做法例：用梯形法計(jì)算下面定積分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)>>

x=0:1/100:1;>>

y=1./(1+x.^2);>>

trapz(x,y)trapz函數(shù)trapz(x,1./(1+x.^2))trapz舉例18quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數(shù)，[a,b]為積分區(qū)間，tol

為計(jì)算精度將自變量看成是向量拋物線法：quad不用自己分割積分區(qū)間可以指定計(jì)算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函數(shù)運(yùn)行的時(shí)間越長(zhǎng)此處的函數(shù)

f是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運(yùn)算，即

點(diǎn)運(yùn)算：.*，./，.\，.^

注：拋物線法19解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-16)函數(shù)表達(dá)式一定要用單引號(hào)括起來(lái)！涉及的運(yùn)算一定要用數(shù)組運(yùn)算！例：用quad

計(jì)算定積分：quad舉例20拋物線法計(jì)算二重積分：dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)

tol

為計(jì)算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f(x,y)

可以由inline

定義，或通過(guò)一個(gè)函數(shù)句柄傳遞

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，[c,d]是第二積分變量

的積分區(qū)間按字母順序，大寫(xiě)字母排在小寫(xiě)字母的前面二重積分的計(jì)算21>>

f=inline('4*x*y+3*y^2');>>

I=dblquad(f,-1,1,0,2)

f(x,y)

中關(guān)于第一自變量的運(yùn)算是數(shù)組運(yùn)算，

即把x

看成是向量，y

看成是標(biāo)量。也可以全部采用數(shù)組運(yùn)算例2：計(jì)算二重積分>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)X例1：計(jì)算二重積分dblquad舉例22例：計(jì)算二重積分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分別是第一和第二積分變量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被積函數(shù)f(x,y)

的另一種定義方法：匿名函數(shù)dblquad舉例23int(f,a,b)

計(jì)算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]。int(f)

計(jì)算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的不定積分。int(f,v,a,b)

計(jì)算函數(shù)f

關(guān)于自變量v

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]int(f,v)

計(jì)算函數(shù)

f

關(guān)于自變量

v

的不定積分findsym(f,1)符號(hào)積分：

intint符號(hào)積分24>>

symsxy;>>

f=y*sin(x);>>

int(f,x)>>

int(f,y)>>

int(f)>>

int('a+b')ans=-y*cos(x)ans=1/2*y^2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b^2例：指出下面各條語(yǔ)句的輸出結(jié)果int舉例25例：用int

函數(shù)計(jì)算定積分：解：>>

symsx;>>

f=1/(1+x^2);>>

int(f,x,0,1)>>

f=sym('1/(1+x^2)');>>

int(f,x,0,1)>>

int('1/(1+x^2)',x,0,1)或>>

int('1/(1+x^2)',0,1)或或int舉例26double(a)將a

轉(zhuǎn)化為雙精度型，若a

是字符，則取對(duì)應(yīng)的ASCII碼>>

a=3;>>

double(a)>>

double('a')例：ans=3ans=97其它相關(guān)函數(shù)27>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)梯形法：拋物線法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)符號(hào)積分法：>>

syms

x>>

int('exp(x^(-2))',x,1,2)例1：用Matlab

函數(shù)近似計(jì)算積分?jǐn)?shù)值實(shí)驗(yàn)28拋物線法：>>

dblquad(inline('x+y^2')),0,2,-1,1)符號(hào)積分法：>>

f=int('x+y^2','y',-1,1);>>

int(f,0,2)數(shù)值實(shí)驗(yàn)例2：用Matlab

函數(shù)近似計(jì)算二重積分29

用蒙特卡羅(MonteCarlo)法近似計(jì)算n=100000;%總模擬次數(shù)m=0;%記錄有利實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變量初始化fori=1:n%開(kāi)始模擬實(shí)驗(yàn)

x=rand(1);%產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn)

y=rand(1);%產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn)

if(1/(x^2+1)>=y)%判斷試驗(yàn)點(diǎn)是否落在積分線下方

m=m+1;%有利實(shí)驗(yàn)次數(shù)加1endendfprintf('面積的近似值為：%f\n',m/n)蒙特卡羅法近似計(jì)算定積分-投點(diǎn)法30蒙特卡羅法近似計(jì)算定積分-樣本平均值法設(shè)g(x)是(a,b)上的一個(gè)密度函數(shù)，改寫(xiě)基本原理：對(duì)積分其中，X是服從g(x)的隨機(jī)變量．可見(jiàn)，積分可以表示為X的函數(shù)的期望。由矩法，若有n個(gè)來(lái)自g(x)的觀測(cè)值x1,…,xn，則可給出的一個(gè)矩估計(jì)。31特別地，若a，b有限，可取g(x)為[a,b]上均勻分布．此時(shí),設(shè)x1,…,xn是來(lái)自U(a,b)的隨機(jī)數(shù)，則的一個(gè)估計(jì)為具體步驟為注可證是的無(wú)偏估計(jì)。一般而言，樣本均值法要比隨機(jī)投點(diǎn)法更有效。具體步驟為32例3

計(jì)算定積分事實(shí)上，其精確解為樣本平均值法求解：注增加樣本數(shù)目，可提高計(jì)算精度，但計(jì)算時(shí)間也會(huì)提高。

ybjzf(0,4,1000)result=7.1854ybjzf(0,4,10000)result=7.2