系統(tǒng)模型與模型化

1第4章系統(tǒng)模型與模型化4.1.概述

4.2.解釋結(jié)構(gòu)模型（ISM）4.3.主成分分析法4.4.聚類分析法

4.5.狀態(tài)空間模型（SS）（結(jié)合自學(xué)）24.1.概述1.基本概念及意義模型——對現(xiàn)實系統(tǒng)抽象表達的結(jié)果。應(yīng)能反映出（抽象或模仿）系統(tǒng)某個方面的組成部分（要素）及其相互關(guān)系。31.基本概念及意義模型化——構(gòu)建系統(tǒng)模型的過程及方法。要注意兼顧到現(xiàn)（真）實性和易處理性。意義及特點：對系統(tǒng)問題進行規(guī)范研究的基礎(chǔ)和標(biāo)志；經(jīng)濟、方便、快速、可重復(fù)，“思想”或“政策”試驗；經(jīng)過了分析人員對客體的抽象，因而必須再拿到現(xiàn)實中去檢驗。42.模型的分類與模型化的基本方法模型的分類：

A——

概念模型A1：（conceptualmodel）（思維或意識模型A11;字句模型A12;描述模型A13）定義：關(guān)于物理現(xiàn)象與過程的邏輯關(guān)系清楚的概念闡述模型。

符號模型A2：symbolicmodel（圖表模型A21;數(shù)學(xué)模型A22）定義：描述有聯(lián)系的對象相對性的數(shù)學(xué)表示。

仿真模型A3：仿真模型是被仿真對象的相似物或其結(jié)構(gòu)形式。它可以是物理模型或數(shù)學(xué)模型。5概述——模型的分類與模型化的基本方法形象模型A4（物理模型A41;圖像模型A42）類比模型A5B——分析模型B1[通常用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達]

仿真模型B2[主要基于“計算機導(dǎo)向”]

博弈模型B3[主要基于“人的行為導(dǎo)向”]

判斷模型B4[基于專家調(diào)查的判斷]C——結(jié)構(gòu)模型C1

數(shù)學(xué)模型C2

仿真模型C36D——實體模型D1（實物模型D11;模擬模型D12）抽象模型或符號模型D2（數(shù)學(xué)模型D21;

結(jié)構(gòu)模型D22；仿真模型D23;……）7模型化的基本方法：

機理法或分析方法（A22,B1,B3,C2,D21）（如果……，則……。由于……，所以……。）實驗方法：擬合法——“理論”導(dǎo)向經(jīng)驗法——“數(shù)據(jù)”導(dǎo)向（A22,B1,C2,D21）模擬法——“計算機”或“實物”導(dǎo)向（A3,A4,B2,C3,D1,D23）專家法（A21,B4,C1,D22）

……83.建模一般過程（1）明確建模目的和要求；（2）弄清系統(tǒng)或子系統(tǒng)中的主要因素及其相互關(guān)系；（3）選擇模型方法；（4）確定模型結(jié)構(gòu)；（5）估計模型參數(shù)；（6）模型試運行；（7）對模型進行實驗研究；（8）對模型進行必要修正。9幾種典型的系統(tǒng)模型ISM（InterpretativeStructuralModeling）

SS（StateSpace）SD（SystemDynamics）

CA（ConflictAnalysis）

新進展——軟計算或“擬人”方法（人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法、混沌理論等）；新型網(wǎng)絡(luò)技術(shù)（Petri網(wǎng)等）；

……104.2.解釋結(jié)構(gòu)模型（ISM）（一）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型化基礎(chǔ)概念1.結(jié)構(gòu)模型：定性表示系統(tǒng)構(gòu)成要素以及他們之間相互依賴、相互制約和關(guān)聯(lián)關(guān)系的模型。2.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型化：即建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型的過程，是系統(tǒng)認(rèn)識和準(zhǔn)確把握復(fù)雜問題并對問題建立數(shù)學(xué)模型、進行定量分析的基礎(chǔ)。3.遞階結(jié)構(gòu)模型：反應(yīng)系統(tǒng)中各要素間層次關(guān)系的結(jié)構(gòu)模型。11（一）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型化基礎(chǔ)比較有代表性的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析方法有：邏輯樹（如問題樹、目標(biāo)樹、決策樹）法、解釋結(jié)構(gòu)模型化（ISM）方法、系統(tǒng)動力學(xué)（SD）結(jié)構(gòu)模型化方法等。

本部分要求大家主要學(xué)習(xí)和掌握ISM方法（實用化方法、規(guī)范方法）。12邏輯樹？邏輯樹又稱問題樹、演繹樹或分解樹等。麥肯錫分析問題最常使用的工具就是“邏輯樹”。邏輯樹是將問題的所有子問題分層羅列，從最高層開始，并逐步向下擴展。把一個已知問題當(dāng)成樹干，然后開始考慮這個問題和哪些相關(guān)問題或者子任務(wù)有關(guān)。每想到一點，就給這個問題（也就是樹干）加一個“樹枝”，并標(biāo)明這個“樹枝”代表什么問題。一個大的“樹枝”上還可以有小的“樹枝”，如此類推，找出問題的所有相關(guān)聯(lián)項目。邏輯樹主要是幫助你理清自己的思路，不進行重復(fù)和無關(guān)的思考。邏輯樹能保證解決問題的過程的完整性;它能將工作細分為一些利于操作的部分;確定各部分的優(yōu)先順序;明確地把責(zé)任落實到個人。某公司業(yè)務(wù)價值體系分解邏輯樹分類15（二）ISM實用化方法設(shè)定問題、形成意識模型找出影響要素要素關(guān)系分析（關(guān)系圖）建立可達矩陣(M)和縮減矩陣（M/）矩陣層次化處理(ML/)

繪制多級遞階有向圖建立解釋結(jié)構(gòu)模型分析報告比較/F學(xué)習(xí)初步分析規(guī)范分析綜合分析ISM實用化方法原理圖16ISM實用化方法舉例17影響部門執(zhí)行力因素分析

要素關(guān)系分析圖（圖1）

VVVVVV1、組織定位（使命）VVVAVV2、結(jié)構(gòu)及流程VAVA×AV3、組織文化AAAA4、工作計劃VVVV5、領(lǐng)導(dǎo)能力

VAVA6、成員素質(zhì)（責(zé)任心）VAV7、激勵與約束

A8、有效控制

V9、制度與規(guī)范10、配合與協(xié)調(diào)返回18注：V---表示方格中的行（或上位）要素直接影響到列（或下位）要素。A---表示列要素對行要素有直接影響。X---表示行列要素相互影響。19可達矩陣（圖2）111111111111111111111111111111111111111111111111

2

3

4

5

6

7

8

91012345678910VVVVVV1、組織定位（使命）VVVAVV2、結(jié)構(gòu)及流程VAVA×AV3、組織文化AAAA4、工作計劃VVVV5、領(lǐng)導(dǎo)能力

VAVA6、成員素質(zhì)（責(zé)任心）VAV7、激勵與約束

A8、有效控制

V9、制度與規(guī)范10、配合與協(xié)調(diào)返回20縮減矩陣（圖3）11111111111111111111111111111111111112345789106541751612

3

4

5

7

8

910

將具有強連接關(guān)系的一組要素看著一個要素，保留其中的一個代表要素，刪除掉其余要素及其在M中的行和列。返回21具有層次結(jié)構(gòu)的縮減矩陣（圖4）48103271954181101311112111117111111111111911111151111111返回22多級遞階有向圖（圖5）410836271594-工作計劃8-有效控制10-配合協(xié)調(diào)1-組織定位5-領(lǐng)導(dǎo)能力9-制度規(guī)范返回23解釋結(jié)構(gòu)模型工作計劃有效控制配合協(xié)調(diào)組織文化成員素質(zhì)結(jié)構(gòu)及流程激勵與約束制度規(guī)范領(lǐng)導(dǎo)能力組織定位返回24結(jié)論

通過上述分析，我們認(rèn)為一個組織執(zhí)行力的提高，從長期性和根本上來說，取決于這個組織的戰(zhàn)略定位（1）、制度與規(guī)范的建設(shè)能力（9）和領(lǐng)導(dǎo)者的素質(zhì)、修養(yǎng)及能力（5），從短期性和直接性來說，與工作計劃（4）、有效控制（8）和組織成員間的相互配合與協(xié)調(diào)能力（10）等要素直接相關(guān)，而組織文化與成員素質(zhì)（責(zé)任心）則直接影響以上三個要素。所以我們提出了根據(jù)組織戰(zhàn)略定位，加強組織文化建設(shè)，提高組織成員素質(zhì)（責(zé)任心），優(yōu)化工作流程，加強工作制度建設(shè)，全面提高本部門執(zhí)行力的初步方案（措施）。

25方法小結(jié)（1）該方法的核心是對系統(tǒng)要素間的關(guān)系（尤其是因果關(guān)系）進行層次化處理，最終形成具有多級遞階關(guān)系和解釋功能的結(jié)構(gòu)模型（圖）。

第1步：找出影響系統(tǒng)問題的主要因素，通過方格圖判斷要素間的直接（相鄰）影響關(guān)系；

第2步：考慮因果等關(guān)系的傳遞性，建立反映諸要素間關(guān)系的可達矩陣（該類矩陣屬反映邏輯關(guān)系的布爾矩陣）；

第3步：考慮要素間可能存在的強連接（相互影響）關(guān)系，僅保留其中的代表要素，形成可達矩陣的縮減矩陣；26方法小結(jié)（2）第4步：縮減矩陣的層次化處理，分為兩步：（1）按照矩陣每一行“1”的個數(shù)的少與多，從前到后重新排列矩陣，此矩陣應(yīng)為嚴(yán)格的下三角矩陣；（2）從矩陣的左上到右下依次找出最大單位矩陣，逐步形成不同層次的要素集合。第5步：作出多級遞階有向圖。作圖過程為：

（1）按照每個最大單位子矩陣框定的要素，將各要素按層次分布；（2）將第3步被縮減掉的要素隨其代表要素同級補入，并標(biāo)明其間的相互作用關(guān)系；（3）用從下到上的有向弧來顯示逐級要素間的關(guān)系；（4）補充必要的越級關(guān)系。第6步：經(jīng)直接轉(zhuǎn)換，建立解釋結(jié)構(gòu)模型。27（三）建立遞階結(jié)構(gòu)模型的規(guī)范方法建立反映系統(tǒng)問題要素間層次關(guān)系的遞階結(jié)構(gòu)模型，可在可達矩陣M的基礎(chǔ)上進行，一般要經(jīng)過區(qū)域劃分、級位劃分、骨架矩陣提取和多級遞階有向圖繪制等四個階段。這是建立遞階結(jié)構(gòu)模型的基本方法?，F(xiàn)以例4-1所示問題為例說明：28例4-1某系統(tǒng)由七個要素（S1，S2，…，S7）組成。經(jīng)過兩兩判斷認(rèn)為：S2影響S1，S3影響S4，S4影響S5，S7影響S2，S4和S6相互影響。這樣，該系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)可用要素集合S和二元關(guān)系集合Rb來表達，其中：S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}29圖1例4-1有向圖5162374S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}30可達矩陣12345671234567

M=與圖1對應(yīng)的可達矩陣（其中將Si簡記為i）為：311.區(qū)域劃分區(qū)域劃分即將系統(tǒng)的構(gòu)成要素集合S，分割成關(guān)于給定二元關(guān)系R的相互獨立的區(qū)域的過程。首先以可達矩陣M為基礎(chǔ)，劃分與要素Si（i=1，2，…，n）相關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)要素的類型，并找出在整個系統(tǒng)（所有要素集合S）中有明顯特征的要素。有關(guān)要素集合的定義如下：32可達集R（Si）。系統(tǒng)要素Si的可達集是在可達矩陣或有向圖中由Si可到達的諸要素所構(gòu)成的集合，記為R（Si）。其定義式為：

R（Si）={Sj|Sj∈S，mij

=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n

先行集A（Si）。系統(tǒng)要素Si的先行集是在可達矩陣或有向圖中可到達Si的諸要素所構(gòu)成的集合，記為A（Si）。其定義式為：

A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n共同集C（Si）。系統(tǒng)要素Si

的共同集是Si在可達集和先行集的共同部分，即交集，記為C（Si）。其定義式為：

C（Si）={Sj|Sj∈S，mij

=1，mji=1，

j=1，2，…，ni=1，2，…，n}33SiA（Si）C（Si）R（Si）圖2可達集、先行集、共同集關(guān)系示意圖

系統(tǒng)要素Si的可達集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si）之間的關(guān)系如圖2所示：34起始集B（S）和終止集E（S）。系統(tǒng)要素集合S的起始集是在S中只影響（到達）其他要素而不受其他要素影響（不被其他要素到達）的要素所構(gòu)成的集合，記為B（S）。

B（S）中的要素在有向圖中只有箭線流出，而無箭線流入，是系統(tǒng)的輸入要素。其定義式為：

B（S）={Si

|Si

∈S，C（Si）=A（Si）

}

E（S）={Si|Si∈S，C（Si）=R（Si）}

，i=1，2，…，n如在于圖1所對應(yīng)的可達矩陣中，B（S）={S3，S7}。當(dāng)Si為S的起始集（終止集）要素時，相當(dāng)于使圖2中的陰影部分C（Si）覆蓋到了整個A（Si）（R（Si））區(qū)域。這樣，要區(qū)分系統(tǒng)要素集合S是否可分割，只要研究系統(tǒng)起始集B（S）中的要素及其可達集（或系統(tǒng)終止集E（Si）中的要素及其先行集要素）能否分割（是否相對獨立）就行了。35利用起始集B（S）判斷區(qū)域能否劃分的規(guī)則如下：在B（S）中任取兩個要素bu、bv：如果R（bu）∩

R（bv）≠ψ（ψ為空集），則bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素屬同一區(qū)域。若對所有u和v均有此結(jié)果（均不為空集），則區(qū)域不可分。如果R（bu）∩

R（bv）=ψ，則bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不屬同一區(qū)域，系統(tǒng)要素集合S至少可被劃分為兩個相對獨立的區(qū)域。

利用終止集E（S）來判斷區(qū)域能否劃分：“只要判定“A（eu）∩

A（ev）”（eu、ev為E（S）中的任意兩個要素）是否為空集即可。區(qū)域劃分的結(jié)果可記為：∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk為第k個相對獨立區(qū)域的要素集合）。經(jīng)過區(qū)域劃分后的可達矩陣為塊對角矩陣（記作M（P））。36表1可達集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（Si）C（Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737

為對給出的與圖1所對應(yīng)的可達矩陣進行區(qū)域劃分，可列出任一要素Si（簡記作i，i=1，2，…，7）的可達集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si），并據(jù)此寫出系統(tǒng)要素集合的起始集B（S），如表1所示：51623743734561273456127M（P）=P1P2

因為B（S）={S3，S7},且有R（S3）∩

R（S7）={S3，S4，S5，S6}

∩{S1，S2，S7}=ψ，所以S3，S4，

S5，

S6與

S1，

S2，

S7分屬兩個相對獨立的區(qū)域，即有：

∏（S）=P1，P2={S3，S4，S5，S6}

∩{S1，S2，S7}。

這時的可達矩陣M變?yōu)槿缦碌膲K對角矩陣：OOúúúúúúúúú?ùêêêêêêêêê?é1110110011110010011101111382.級位劃分級位劃分:即確定某區(qū)域內(nèi)各要素所處層次地位的過程。這是建立多級遞階結(jié)構(gòu)模型的關(guān)鍵工作。

設(shè)P是由區(qū)域劃分得到的某區(qū)域要素集合，若用L1，L2，…，Li表示從高到低的各級要素集合（其中i為最大級位數(shù)），則級位劃分的結(jié)果可寫出：∏（P）=L1，L2

，…，Li。某系統(tǒng)要素集合的最高級要素即該系統(tǒng)的終止集要素。級位劃分的基本做法是：找出整個系統(tǒng)要素集合的最高級要素（終止集要素）后，將它們?nèi)サ?；再求剩余要素集合（形成部分圖）的最高級要素，將它們?nèi)サ?；依次類推，直到確定出最低一級要素集合（即Li）。3940為此，令LO=ψ（最高級要素集合為L1，沒有零級要素），則有：L1={Si|Si∈P-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，…，n}L2={Si|Si∈P-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），i<n}Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），i<n}

（3-3）

式（3-3）中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-…-Lk-1中的要素形成的子矩陣（部分圖）求得的共同集和可達集。經(jīng)過級位劃分后的可達矩陣變?yōu)閰^(qū)域塊三角矩陣，記為M（L）。41表2級位劃分過程表要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）=R（S）∏（P1）P1-L034563，4，5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6√L1={S5}P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6√√L2

={S4，S6}P1-L0-L1-L2

3333√L3

={S3}如對例4-1中P1={S3，S4，S5，S6}進行級位劃分的過程示于表2中。4254631275463127M（L）=L1L2L3L1L2L300對該區(qū)域進行級位劃分的結(jié)果為：

∏（P1）=L1，L2

，L3={S5}，{S4，S6}，{S3}

同理可得對P2={S1，S2，S7}進行級位劃分的結(jié)果為：

∏（P）=L1，L2

，L3=

{S1}，{S2}，{S7}

這時的可達矩陣為：433.提取骨架矩陣（1）543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L300

提取骨架矩陣，是通過對可達矩陣M（L）的縮約和檢出，建立起M（L）的最小實現(xiàn)矩陣，即骨架矩陣A’。這里的骨架矩陣，也即為M的最小實現(xiàn)多級遞階結(jié)構(gòu)矩陣。對經(jīng)過區(qū)域和級位劃分后的可達矩陣M（L）的縮檢共分三步，即：

1.檢查各層次中的強連接要素，建立可達矩陣M（L）的縮減矩陣M’（L）。如對原例M（L）中的強連接要素集合{S4，S6}作縮減處理（把S4作為代表要素，去掉S6）后的新的矩陣為：44

543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300

2.去掉M’（L）中已具有鄰接二元關(guān)系的要素間的越級二元關(guān)系，得到經(jīng)進一步簡化后的新矩陣M’’（L）。如在原例的M’（L）中，已有第二級要素（S4，S2）到第一級要素（S5，S1）和第三級要素（S3，S7）到第二級要素的鄰接二元關(guān)系，即S4RS5、S2RS1和S3RS4、S7RS2，故可去掉第三級要素到第一級要素的超級二元關(guān)系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即將M’（L）中3→5和7→1的“1”改為“0”，得：45

543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300

3.進一步去掉M’’（L）中自身到達的二元關(guān)系，即減去單位矩陣，將M’’（L）主對角線上的“1”全變?yōu)椤?”，得到經(jīng)簡化后具有最小二元關(guān)系個數(shù)的骨架矩陣A’。如對原例有：464.繪制多級遞階有向圖D（A’）根據(jù)骨架矩陣A’，繪制出多級遞階有向圖D（A’），即建立系統(tǒng)要素的遞階結(jié)構(gòu)模型。繪圖一般分為如下三步：分區(qū)域從上到下逐級排列系統(tǒng)構(gòu)成要素。同級加入被刪除的與某要素（如原例中的S4）有強連接關(guān)系的要素（如S6），及表征它們相互關(guān)系的有向弧。按A’所示的鄰接二元關(guān)系，用級間有向弧連接成有向圖D（A’）。47S1S2S7S3S4S5S6第1級第2級第3級區(qū)域劃分級位劃分強連接要素縮減剔除超級關(guān)系去掉自身關(guān)系繪圖（塊三角）（區(qū)域塊三角）（區(qū)域下三角）結(jié)束

原例的遞階結(jié)構(gòu)模型：原例遞階結(jié)構(gòu)模型與模型建立過程M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L)→A’→D（A’）以可達矩陣M為基礎(chǔ)，以矩陣變換為主線的遞階結(jié)構(gòu)模型的建立過程：484.3.主成分分析法主成分分析也稱主分量分析，旨在利用降維的思想，把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)。在實證問題研究中，為了全面、系統(tǒng)地分析問題，我們必須考慮眾多影響因素。這些涉及的因素一般稱為指標(biāo)或變量。因為每個指標(biāo)都在不同程度上反映了所研究問題的某些信息，并且指標(biāo)之間彼此有一定的相關(guān)性，因而所得的統(tǒng)計數(shù)據(jù)反映的信息在一定程度上有重疊。什么是主成分分析？我們來看一個例子：

小學(xué)學(xué)生的綜合成績可以用下面各科成績來評估：a1×語文＋a2×數(shù)學(xué)＋a3×自然＋a4×社會科學(xué)

確定權(quán)重系數(shù)的過程就可以看作是主成分分析的過程，得到的加權(quán)成績總和就相對于新的綜合變量——主成分50在用統(tǒng)計方法研究多變量問題時，變量太多會增加計算量和增加分析問題的復(fù)雜性，人們希望在進行定量分析的過程中，涉及的變量較少，得到的信息量較多。因此，人們會很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？51主成分分析的主要目的

主成分分析法是一種數(shù)學(xué)變換的方法,它把給定的一組相關(guān)變量通過線性變換轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量，這些新的變量按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學(xué)變換中保持變量的總方差不變，使第一變量具有最大的方差，稱為第一主成分，第二變量的方差次大，并且和第一變量不相關(guān)，稱為第二主成分。依次類推，I個變量就有I個主成分。三變量主成分分析示意圖PC1=a1xi1+a2xi2+a3xi3PC2=b1xi1+b2xi2+b3xi3對三維空間下的一組樣本（設(shè)樣本數(shù)為n），其原始變量的坐標(biāo)系為x1,x2,x3，在對原始坐標(biāo)系經(jīng)過坐標(biāo)平移、尺度伸縮、旋轉(zhuǎn)等變換后,得到一組新的、相互正交的坐標(biāo)軸v1,v2，可使原始變量在新坐標(biāo)系上的投影值（分別稱為第一、第二主成分）的方差達到最大。其中v1,v2稱為第一、第二載荷軸。

對于m維空間，載荷軸的個數(shù)最多為m。54一、主成分分析的基本原理

假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個n×p階的數(shù)據(jù)矩陣（4.3.1）

基本概念協(xié)方差(covariance)

方差標(biāo)準(zhǔn)差基本概念相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)協(xié)方差數(shù)據(jù)矩陣的每一列對應(yīng)一個變量的n個量測值，任意兩列之間可以計算兩變量間的協(xié)方差cov(i,j),i=j時，協(xié)方差矩陣58定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(biāo)(4.3.2)

系數(shù)lij的確定原則：①

zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無關(guān)；59②

z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者；

……

zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP，的所有線性組合中方差最大者。

則新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。

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從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2，…，

p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷載

lij（

i=1，2，…，m；

j=1，2，…，p）。從數(shù)學(xué)上容易知道，從數(shù)學(xué)上可以證明，它們分別是原系數(shù)矩陣的m個較大的特征值所對應(yīng)的特征向量。

61二、計算步驟

（一）計算相關(guān)系數(shù)矩陣

rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計算公式為：（4.3.3）

（4.3.4）

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（二）計算特征值與特征向量：

①解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小順序排列：

②

分別求出對應(yīng)于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示向量的第i個分量。63③

計算主成分貢獻率及累計貢獻率

▲貢獻率:▲累計貢獻率:

一般取累計貢獻率達85—95%的特征值所對應(yīng)的第一、第二、…、第m（m≤p）個主成分。

64

④

計算主成分載荷

⑤各主成分的得分：

（4.3.5）

（4.3.6）

例1：8個樣品中苯和二甲苯的含量見下表：#BTBmc

Tmc14826131224420963402451043818345329-3-56286-7-87265-9-98244-11-10mean35