選修反證法課件

2.2.2反證法反證法2.2直接證明與間接證明本節(jié)重點(diǎn)：反證法概念的理解以及反證法的解題步驟．本節(jié)難點(diǎn)：應(yīng)用反證法解決問題．教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能結(jié)合實(shí)例的間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程與特點(diǎn)．2．過程與方法了解反證法的特點(diǎn)、增強(qiáng)應(yīng)用反證法證明的能力．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．復(fù)習(xí)1.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本證法的推證過程和特點(diǎn)：由因?qū)Ч麍?zhí)果索因3、在實(shí)際解題時(shí)，兩種方法如何運(yùn)用？通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程綜合法已知條件結(jié)論分析法結(jié)論已知條件前言：推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。反證法是繼前面學(xué)習(xí)完推理知識(shí)后，證明方法中的一種（間接證明問題的）基本方法，它彌補(bǔ)了直接證明的不足，完善了證明方法，有利于培養(yǎng)逆向思維能力。將9個(gè)球分別染成紅色或白色。那么無論怎樣染，至少有5個(gè)球是同色的。你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？假設(shè)有某種染法使紅色球和白色球的個(gè)數(shù)都不超過4，則球的總數(shù)不應(yīng)超過8，這與球的總數(shù)是9相矛盾假設(shè)不正確，因此，無論怎樣染至少有5個(gè)球是同色的思考：探究：思考1：掀起你的蓋頭來——認(rèn)識(shí)反證法1．反證法的定義一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過

，最后得出

，因此說明假設(shè)

，從而證明了原命題

，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是

的一種基本方法．2．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與

矛盾，或與

矛盾，或與定義、公理、

、

矛盾等．正確的推理矛盾錯(cuò)誤成立間接證明已知條件假設(shè)定理事實(shí)反證法的思維方法：正難則反1．反證法證明數(shù)學(xué)命題的四個(gè)步驟：第一步：分清命題的條件和結(jié)論；第二步：做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；第三步：由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所做的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明了命題為真．2.常見的主要矛盾有：(1)與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論相矛盾；(2)與假設(shè)矛盾；(3)與公認(rèn)的簡單事實(shí)矛盾．探究2：深度挖掘——了解反證法3．反證法適宜證明存在性、唯一性、帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的一些數(shù)學(xué)問題．4．用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面為“<”；“≤”的反面為“>”；“>”的反面為“≤”；“<”的反面為“≥”；“≠”的反面為“＝”；“＝”的反面為“≠”或“>及<”．5．反證法屬于邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”；第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”．反證法屬于“間接證明方法”，書寫格式易錯(cuò)之處是“假設(shè)”錯(cuò)寫成“設(shè)”．常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x成立至少有n個(gè)至多有n－1個(gè)p∨q(?p)∧(?q)至多有n個(gè)至少有n＋1個(gè)p∧q(?p)∨(?q)例1（課本例題7）已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。分析：要說明兩個(gè)方面存在性和唯一性；唯一性時(shí)可以用反證法探究3常見典型題目類型總結(jié)：證明；(存在性）a≠0，方程ax=b至少有一個(gè)根x=b/a。（以下為唯一性）[補(bǔ)例2]求證：一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.[證明]

假設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.

相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.

這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假設(shè)不能成立，從而一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.[說明]

(1)反證法是利用原命題的否定不成立則原命題一定成立來進(jìn)行證明的，在使用反證法時(shí)，必須在假設(shè)中羅列出與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的．(2)對(duì)于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至多”、“至少”、“不可能”等字樣時(shí)，常用反證法．練習(xí)變形練習(xí)題講解：練習(xí)

假設(shè)可以成等差數(shù)列1、直接證明困難，原因何在？原因：①情況很多，分類討論②條件太少直接證明找不到突破口反證法主要用于以下兩種情形：1、要證的結(jié)論和條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰。2、如果從正面證明，需要分成多種情況進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形。對(duì)于“不可能，至少，唯一性”等題目常用課堂小結(jié)：我來告訴你

1.存在性問題2.否定性問題3.唯一性問題4.至多、至少類問題5.一些基本命題、基本定理哪些問題適宜用反證法總之，直接證明比較困難的命題大家議一議！[規(guī)律方法]

當(dāng)結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法．例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾．名家情系反證法反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具。牛頓說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。英國?shù)學(xué)家哈代也曾這樣稱贊它：“反證法是數(shù)學(xué)家最有力的一件武器，比起象棋開局時(shí)犧牲一子以取得優(yōu)勢(shì)的讓棋法，它還要高明。象棋對(duì)弈者不外乎犧牲一卒或頂多一子，數(shù)學(xué)家索性把全局拱手讓給對(duì)方！”

---德國數(shù)學(xué)家希爾伯特說，禁止數(shù)學(xué)家使用反證法，就象禁止拳擊家使用拳頭。同學(xué)們，學(xué)了這節(jié)課，你們有何體會(huì)？反思與收獲你能談?wù)勁e反例與反證法的聯(lián)系和區(qū)別嗎？當(dāng)堂達(dá)標(biāo)練習(xí)題一、選擇題1．實(shí)數(shù)a、b、c不全為0的條件為(

)A．a(chǎn)、b、c均不為0B．a(chǎn)、b、c中至多有