高中數(shù)學蘇教版第一章解三角形 第1章正弦定理余弦定理的應用

第1章解三角形正弦定理、余弦定理的應用A級基礎鞏固一、選擇題1．在某測量中，設點A在點B的南偏東34°27′，則點B在點A的()A．北偏西34°27′ B．北偏東55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′答案：A2.如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B的距離，繪出下列數(shù)據(jù)，其中不能唯一確定A，B兩點間的距離的是()A．角A，B和邊bB．角A，B和邊aC．邊a，b和角CD．邊a，b和角A解析：根據(jù)正弦定理和余弦定理可知，當知道兩邊和其中一邊的對角解三角形時，得出的結(jié)果不一定唯一，故選D.答案：D3．一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()\f(17\r(6),2)nmile B．34eq\r(6)nmile\f(17\r(2),2)nmile D．34eq\r(2)nmile解析：如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，所以MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6).所以v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(nmile/h)．答案：A4．某人向正東方向走xkm后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好eq\r(3)km，那么x的值為()\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3)D．3解析：依題意可得，32＋x2－2×3·xcos30°＝(eq\r(3))2.解得x＝2eq\r(3)或x＝eq\r(3).答案：C5．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，A．10eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．20eq\r(30)m D．30m解析：設炮臺頂部為A，兩條船分別為B、C，炮臺底部為D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分別在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.答案：D6．有一長為10m的斜坡，傾斜角為75°，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延長的長度(單位：mA．5B．10C．10eq\r(2)D．10eq\r(3)解析：如圖所示，設將坡底加長到B′時，傾斜角為30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的長度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m由正弦定理，得BB′＝eq\f(ABsin45°,sin30°)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2)(m)．所以斜坡的傾斜角變?yōu)?0°時，坡底延伸10eq\r答案：C二、填空題7．某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40m后，望見塔在正北，若路途測得塔的最大仰角為30°，則塔高為________解析：設塔高為AB，某人由C前進到D，依題意可得CD＝40m，∠ACD＝90°－60°＝30°，作AE⊥CD于點E，則∠AEB＝30°，則AD＝CDsin30°＝20AE＝ADsin60°＝10eq\r(3)，所以AB＝AEtan30°＝10eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝10m.答案：108．一樹干被臺風吹斷，折斷部分與殘存樹干成30°角，樹干底部與樹尖著地處相距5m，解析：如圖所示，AB＝AC·tan60°＝5eq\r(3)，BC＝eq\f(AC,sin30°)＝10，所以AB＋BC＝(5eq\r(3)＋10)m.答案：(10＋5eq\r(3))m三、解答題9.如圖所示，一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°，解：如題圖所示，由正弦定理得，eq\f(BC,sin（90°－60°）)＝eq\f(15×4,sin45°)，所以BC＝30eq\r所以此時船與燈塔的距離為30eq\r10．如下圖所示，在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，在它的南偏東60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，AB的距離是84m，解：設塔高CD＝xm，則AD＝xm，DB＝eq\r(3)xm.在△ABD中，利用余弦定理得842＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,tan45°)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,tan30°)))eq\s\up12(2)－2eq\r(3)·x2cos(90°＋60°)，解得x＝±12eq\r(7)(負值舍去)，故塔高為12eq\r(7)m.B級能力提升一、選擇題11．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°解析：如題圖所示，結(jié)合題意得∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.因為AC＝BC，所以∠ABC＝50°，α＝60°－50°＝10°.答案：B12．若水平面上，點B在點A南偏東30°方向上，則在點A處測得點B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°解析：根據(jù)方位角的意義，可得點B的方位角是180°－30°＝150°.答案：C13．當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ＋30°角的方向沿直線前往B處營救，則sinθ的值為()\f(\r(21),7)\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)\f(5\r(7),14)解析：連接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，所以BC＝10eq\r(7)，再由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sinθ)，所以sinθ＝eq\f(\r(21),7).答案：A二、填空題14．(2023·課標全國Ⅰ卷)如圖所示，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，測山高MN＝________解析：根據(jù)圖示，AC＝100eq\r在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，所以MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．答案：15015．甲船在島B的正南A處，AB＝10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時，乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ敿住⒁覂纱嗑嘧罱鼤r，它們所航行的時間是________小時．解析：設行駛xh后甲到點C，乙到點D，兩船相距ykm，則∠DBC＝180°－60°＝120°.所以y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,14)))eq\s\up12(2)－eq\f(25,7)＋100.所以當x＝eq\f(5,14)時，y2有最小值，即兩船相距最近．答案：eq\f(5,14)三、解答題16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2eq\r(7)，B＝60°，a＋c＝10.(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋30°))；(2)若D為△ABC外接圓中弦AC所對劣弧上的一點且2AD＝DC，求四邊形ABCD的面積．解：(1)由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(4\r(7),\r(3))，因為a＋c＝10，所以sinA＋sinC＝eq\f(5\r(3),2\r(7)).因為B＝60°，所以C＝120°－A，所以sinA＋sin(120°－A)＝sinA＋sin120°cosA－cos120°sinA＝eq\f(5\r(3),2\r(7))，于是得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋30°))＝eq\f(5\r(7),14).(2)因為A，B，C，D共圓，B＝60°，所以D＝120°.在△ADC中，由余弦定理可得cosD＝eq\f(AD2＋DC2－b2,2AD·DC)＝－eq\f(1,