高中數(shù)學(xué)北師大版3第三章統(tǒng)計案例 第3章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①回歸分析②獨立性檢驗③相關(guān)系數(shù)④相互獨立事件回歸分析分析兩個變量線性相關(guān)的常用方法：(1)散點圖法，該法主要是用來直觀地分析兩變量間是否存在相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)系數(shù)法，該法主要是從量上分析兩個變量間相互聯(lián)系的密切程度，|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小．下表是一位母親給兒子作的成長記錄：年齡/周歲3456789身高/cm年齡/周歲10111213141516身高/cm(1)年齡和身高之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系？(2)如果年齡(3周歲～16周歲之間)相差5歲，其身高有多大差異？(3)如果身高相差20cm，其年齡相差多少？【精彩點撥】本例考查對兩個變量進行回歸分析．首先求出相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小判斷其是否線性相關(guān)，由此展開運算．【規(guī)范解答】(1)設(shè)年齡為x，身高為y，則eq\x\to(x)＝eq\f(1,14)(3＋4＋…＋15＋16)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(1,14)＋＋…＋＋≈7，eq\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1491，eq\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝252，eq\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))xiyi＝18，14eq\a\vs4\al(\x\to(x))eq\a\vs4\al(\x\to(y))≈17，∴eq\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)－14(eq\x\to(x))2＝，eq\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)－14(eq\x\to(y))2≈9，eq\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))xiyi－14eq\a\vs4\al(\x\to(x))eq\a\vs4\al(\x\to(y))＝1，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))xiyi－14\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－14\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))y\o\al(2,i)－14\x\to(y)2))＝eq\f(1,\r×\r(9)≈7.因此，年齡和身高之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系．(2)由(1)得b＝eq\f(\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))xiyi－14\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up16(14),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－14\x\to(x)2)＝eq\f(1,≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝7－×≈72，∴x與y的線性回歸方程為y＝＋72.因此，如果年齡相差5歲，那么身高相差×5＝(cm)．(3)如果身高相差20cm，年齡相差eq\f(20,≈≈3(歲)．[再練一題]1．某運動員訓(xùn)練次數(shù)與運動成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：次數(shù)x3033353739444650成績y3034373942464851(1)作出散點圖；(2)求出回歸直線方程；(3)計算相關(guān)系數(shù)并進行相關(guān)性檢驗；(4)試預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次及55次的成績．【解】(1)作出該運動員訓(xùn)練次數(shù)x與成績y之間的散點圖，如圖所示，由散點圖可知，它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)列表計算：次數(shù)xi成績yixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi30309009009003334108911561122353712251369129537391369152114433942152117641638444619362116202446482116230422085051250026012550由上表可求得eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝12656，eq\i\su(i＝1,8,y)eq\o\al(2,i)＝13731，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝13180，∴b＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)≈5，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝－88，∴回歸直線方程為y＝5x－88.(3)計算相關(guān)系數(shù)r＝7，因此運動員的成績和訓(xùn)練次數(shù)兩個變量有較強的相關(guān)關(guān)系．(4)由上述分析可知，我們可用回歸直線方程y＝5x－88作為該運動員成績的預(yù)報值．將x＝47和x＝55分別代入該方程可得y≈49和y≈57.故預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次和55次的成績分別為49和57.獨立性檢驗獨立性檢驗問題的基本步驟為：(1)找相關(guān)數(shù)據(jù)，作列聯(lián)表．(2)求統(tǒng)計量χ2.(3)判斷可能性，注意與臨界值做比較，得出事件有關(guān)的可信度．考察黃煙經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：在試驗的470株黃煙中，經(jīng)過藥物處理的黃煙有25株發(fā)生青花病，60株沒有發(fā)生青花?。晃唇?jīng)過藥物處理的有185株發(fā)生青花病，200株沒有發(fā)生青花病．試推斷經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病是否有關(guān)系．【精彩點撥】提出假設(shè)，根據(jù)2×2列聯(lián)表求出χ2，從而進行判斷．【規(guī)范解答】由已知得到下表：藥物處理未經(jīng)過藥物處理總計青花病25185210無青花病60200260總計85385470假設(shè)經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病無關(guān)．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得χ2＝eq\f(470×25×200－185×602,210×260×85×385)≈.因為χ2＞，所以我們有%的把握認為經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病是有關(guān)系的．[再練一題]2．某學(xué)校高三年級有學(xué)生1000名，經(jīng)調(diào)查研究，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為A類同學(xué))，另外250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為B類同學(xué))．現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、B類分兩層)從該年級的學(xué)生中共抽查100名同學(xué)，如果以身高達165cm作為達標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100名學(xué)生，得到以下列聯(lián)表：體育鍛煉與身高達標(biāo)2×2列聯(lián)表身高達標(biāo)身高不達標(biāo)總計積極參加體育鍛煉40不積極參加體育鍛煉15總計100(1)完成上表．(2)請問體育鍛煉與身高達標(biāo)是否有關(guān)系(χ2值精確到?參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).【解】(1)身高達標(biāo)身高不達標(biāo)總計積極參加體育鍛煉403575不積極參加體育鍛煉101525總計5050100(2)根據(jù)列聯(lián)表得χ2＝eq\f(100×40×15－35×102,75×25×50×50)≈＜，所以沒有充分的理由說明體育鍛煉與身高達標(biāo)有關(guān)系.1．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān)D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)【解析】因為y＝－＋1的斜率小于0，故x與y負相關(guān)．因為y與z正相關(guān)，可設(shè)z＝by＋a，b>0，則z＝by＋a＝－＋b＋a，故x與z負相關(guān)．【答案】C2．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)支出y(萬元)根據(jù)上表可得回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元【解析】由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴a＝8－×10＝，∴當(dāng)x＝15時，y＝×15＋＝(萬元)．【答案】B3．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y－－－得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則()A．a(chǎn)＞0，b＜0 B．a(chǎn)＞0，b＞0C．a(chǎn)＜0，b＜0 D．a(chǎn)＜0，b＞0【解析】作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b＜0，當(dāng)x＝0時，eq\o(y,\s\up6(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】A4．如圖3-1是我國2023年至2023年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2023～2023.圖3-1(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到，預(yù)測2023年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))yi＝，eq\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))tiyi＝，eq\r(\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))\o()yi－\x\to(y)2)＝，eq\r(7)≈.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))\o()ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))\o()ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))\o()yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up16(^))＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b＝eq\f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))\o()ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))\o()ti－\x\to(t)2)，a＝eq\o(y,\s\up16(－))－beq\a\vs4\al(\x\to(t)).【解】(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))\o()yi－\x\to(y)2)＝，eq\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))tiyi－eq\x\to(t)eq\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))yi＝－4×＝，∴r≈eq\f,×2×≈.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\x\to(y)＝eq\f,7)≈及(1)得b＝eq\f(\o(∑,\s\up16(7),\s\do