高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章統(tǒng)計線性回歸方程 2023版第2章線性回歸方程

線性回歸方程1．理解線性回歸的基本思想和方法，體會變量之間的相關(guān)關(guān)系．(難點(diǎn))2．會畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并會通過散點(diǎn)圖判斷這組數(shù)據(jù)是否具有線性關(guān)系．(重點(diǎn))3．會求數(shù)據(jù)的線性回歸方程，并根據(jù)線性回歸方程做出合理的判斷．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1變量間的關(guān)系閱讀教材P74的內(nèi)容，并完成下面的問題．1．變量間的關(guān)系(1)函數(shù)關(guān)系：變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示，是一種確定性函數(shù)關(guān)系．(2)相關(guān)關(guān)系：變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達(dá)．2．散點(diǎn)圖從一個統(tǒng)計數(shù)表中，為了更清楚地看出x與y是否有相關(guān)關(guān)系，常將x的取值作為橫坐標(biāo)，將y的相應(yīng)取值作為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2,3，…)，這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖．判斷正誤：(1)相關(guān)關(guān)系是一種不確定關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系．()(2)商品的銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)是函數(shù)關(guān)系．()(3)散點(diǎn)圖越集中，則相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)．()【解析】(1)√.由函數(shù)關(guān)系及相關(guān)關(guān)系的定義知正確．(2)×.是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，故錯誤．(3)×.只有當(dāng)散點(diǎn)圖呈規(guī)律性分布時才具有相關(guān)關(guān)系．故錯誤．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2線性回歸方程閱讀教材P75～P76“例1”上邊的內(nèi)容，并完成下列問題．1．線性相關(guān)關(guān)系如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線的附近，我們用直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a擬合散點(diǎn)圖中的這些點(diǎn)，像這樣能用直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系．2．線性回歸方程設(shè)有n對觀察數(shù)據(jù)如下：xx1x2x3…xnyy1y2y3…yn當(dāng)a，b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得最小值時，就稱eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a為擬合這n對數(shù)據(jù)的線性回歸方程，該方程所表示的直線稱為回歸直線．3．用回歸直線進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的一般步驟(1)作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近；(2)如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－\i\su(i＝1,n,x)i\i\su(i＝1,n,y)1,n\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－\i\su(i＝1,n,x)i2),a＝\o(y,\s\up6(－))－b\o(x,\s\up6(－))))或求出a，b，并寫出線性回歸方程．填空：(1)有一個線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2－，則變量x增加一個單位時，y平均個單位．(填“增加”或“減少”)【解析】∵b＝－，∴x每增加一個單位時y減少個單位．【答案】減少(2)過(3,10)，(7,20)，(11,24)三點(diǎn)的回歸直線方程是________．【解析】代入系數(shù)公式得b＝，a＝.代入直線方程．求得eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.【答案】eq\o(y,\s\up6(^))＝＋[小組合作型]相關(guān)關(guān)系的判斷(1)在下列兩個變量的關(guān)系中，具有相關(guān)關(guān)系的是________．(填序號)①正方形邊長與面積之間的關(guān)系；②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．(2)如圖2-4-1所示，表示兩個變量不具有相關(guān)關(guān)系的有________．(填序號)圖2-4-1【精彩點(diǎn)撥】(1)根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義判斷．(2)觀察散點(diǎn)是否分布在一條曲線(直線)附近，否則不具有相關(guān)關(guān)系．【自主解答】(1)①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系．③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因為人的年齡達(dá)到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系．④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．故填②④.(2)①是確定的函數(shù)關(guān)系；②中的點(diǎn)大都分布在一條曲線周圍；③中的點(diǎn)大都分布在一條直線周圍；④中點(diǎn)的分布沒有任何規(guī)律可言，x，y不具有相關(guān)關(guān)系．故填①④.【答案】(1)②④(2)①④1．函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系．2．判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的方法是繪制散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就具有線性相關(guān)關(guān)系，判斷時注意不要受個別點(diǎn)的位置的影響．[再練一題]1．如圖2-4-2所示的五組數(shù)據(jù)(x，y)中，去掉點(diǎn)________后，剩下的四組數(shù)據(jù)相關(guān)性增強(qiáng)．(填坐標(biāo))圖2-4-2【解析】去掉點(diǎn)(4,10)后，其余四個點(diǎn)大致在一條直線附近，相關(guān)性增強(qiáng)．【答案】(4,10)線性回歸方程的求法及應(yīng)用2023年元旦前夕，某市統(tǒng)計局統(tǒng)計了該市2023年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如下表：年收入x(萬元)24466677810年飲食支出y(萬元)(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖判斷年飲食支出(y)與年收入(x)是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程；(3)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：\i\su(i＝1,10,x)iyi＝，\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)＝406))【精彩點(diǎn)撥】eq\x(畫散點(diǎn)圖)→eq\x(判斷具有線性相關(guān)關(guān)系)→eq\x(求b，a，得方程)→eq\x(進(jìn)行預(yù)測)【自主解答】(1)畫出散點(diǎn)圖如下圖所示．(2)由散點(diǎn)圖知年飲食支出與家庭年收入具有線性相關(guān)關(guān)系．依題意可計算得eq\o(x,\s\up6(－))＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝，eq\o(x,\s\up6(－))2＝36，eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝，又∵eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝406，∴b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2)≈，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.∴所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(3)當(dāng)x＝9時，eq\o(y,\s\up6(^))＝×9＋＝(萬元)，可估計大多數(shù)年收入為9萬元的家庭每年飲食支出約為萬元．1．求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：(1)計算平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)求和eq\i\su(i＝1,n,x)iyi，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)；(3)計算b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))；(4)寫出線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.2．利用線性回歸方程可對變量進(jìn)行預(yù)測，但要注意預(yù)測的結(jié)果只是一個估計值，而不是精確值．[再練一題]2．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料：【導(dǎo)學(xué)號：11032052】使用年限x23456維修費(fèi)用y若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：(1)線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的回歸系數(shù)a、b；(2)估計使用年限為10年時，維修費(fèi)用是多少？【解】(1)由條件知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(2＋3＋4＋5＋6)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)＋＋＋＋＝5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝22＋32＋42＋52＋62＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.由公式可得b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f－5×4×5,90－5×42)＝eq\f,10)＝.a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝5－×4＝.(2)由(1)知回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，當(dāng)x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝×10＋＝＋＝，即估計使用10年時，維修費(fèi)用是萬元．[探究共研型]對線性回歸方程的認(rèn)識探究1對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用“最小平方法”是否都可以求得“回歸方程”？此時的“回歸方程”是否都具有實際意義？【提示】對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的．因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點(diǎn)圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程．探究2對于同一總體而言，由不同的樣本數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程是否一樣？【提示】回歸方程被樣本數(shù)據(jù)唯一確定，各樣本點(diǎn)大致分布在回歸直線附近．對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機(jī)性．探究3在線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中，b的意義是什么？【提示】回歸方程中的系數(shù)b反映了變量y隨x的變化趨勢及變化幅度，即當(dāng)x變化一個單位時，y隨著變化|b|個單位．當(dāng)b>0時，y隨x的增大而增大，此時y與x具有正相關(guān)關(guān)系；當(dāng)b<0時，y隨x的增大而減小，此時y與x具有負(fù)相關(guān)關(guān)系．(1)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則下列結(jié)論中正確的是________．(填序號)①y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系；②回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))；③若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加kg；④若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為kg.(2)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．【精彩點(diǎn)撥】(1)根據(jù)回歸直線中系數(shù)b的含義逐一判斷；(2)根據(jù)方程中系數(shù)的含義解答．【自主解答】(1)①中，由于>0，故y與x有正相關(guān)關(guān)系，故正確；②中，由公式a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))知eq\o(y,\s\up6(－))＝beq\o(x,\s\up6(－))＋a，因此回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a一定過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，所以正確；③中，由>0知正確；④中，回歸方程的預(yù)測值只是一個估計值，故不正確．(2)由回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中系數(shù)b的意義知，年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加萬元，故填.【答案】(1)①②③(2)由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a不一定經(jīng)過散點(diǎn)，但回歸直線一定經(jīng)過樣本中心，即點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(^))).[再練一題]3．由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，那么下列說法不正確的序號是________．(填序號)①直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a必經(jīng)過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))；②直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點(diǎn)；③直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率為eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)；④直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a和各點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差eq\i\su(i＝1,n,[)yi－(bxi＋a)]2是該坐標(biāo)平面上所有直線與這些點(diǎn)偏差中最小的．【解析】回歸直線不一定經(jīng)過散點(diǎn)，故②的說法不對；對一組觀測值(xi，yi)而言，只有當(dāng)散點(diǎn)集中分布在一條直線附近時，所反映的變量y和x才是線性相關(guān)關(guān)系，此時的回歸直線才能真實反映y和x的線性相關(guān)關(guān)系；否則，當(dāng)散點(diǎn)圖不是集中分布在某一條直線附近時，則表示的不是線性相關(guān)關(guān)系，此時的回歸方程是毫無意義的．①③④都正確．【答案】②1．下列具有相關(guān)性的是________．(填序號)①某地區(qū)的降水量與地下水位；②人的年齡與血壓；③某天的天氣情況與股市的漲跌情況；④學(xué)生的學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)成績．【解析】某天的天氣情況與股市的漲跌無任何關(guān)系，不具有相關(guān)性．【答案】①②④2．工人工資(元)依勞動生產(chǎn)率(千元)變化的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝80x＋50，下列判斷正確的是________．(填序號)①勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為130元；②勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資平均提高80元；③勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高130元；④當(dāng)月工資為210元時，勞動生產(chǎn)率為200