自動(dòng)控制原理 第四章 根軌跡法

第四章根軌跡法§4-1根軌跡§4-2繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則§4-3廣義根軌跡小結(jié)4-1根軌跡4.1.1根軌跡的基本概念

反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)。只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)響應(yīng)的變化規(guī)律就知道了。但是對(duì)于3階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個(gè)可變參數(shù)時(shí)，求根就更困難了。

1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法——根軌跡法。

在已知開(kāi)環(huán)傳函，即已知開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)，利用該圖解法就可以非常方便的確定閉環(huán)極點(diǎn)。

定義：當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡，就稱(chēng)作系統(tǒng)根軌跡。一般取開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)（根軌跡增益Kg）作為可變參數(shù)。式中，K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)比例系數(shù)。Kg

=2K稱(chēng)為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：舉例說(shuō)明：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析0<K<

，閉環(huán)特征根在s平面上的移動(dòng)路徑及其特征。

Ks(0.5s+1)﹣+R(s)C(s)

解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為一定要寫(xiě)成零極點(diǎn)表達(dá)式

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：s2+2s+Kg

=0

可求得閉環(huán)特征根為：(1)Kg=0：s1=0,s2=2,是根跡的起點(diǎn)(開(kāi)環(huán)極點(diǎn)),用“”表示。2

j

01(2)0<Kg<1：s1，s2均是負(fù)實(shí)數(shù)。Kgs1，s2。

s1從坐標(biāo)原點(diǎn)開(kāi)始沿負(fù)實(shí)軸向左移動(dòng)；s2從（2，j0）點(diǎn)開(kāi)始沿負(fù)實(shí)軸向右移動(dòng)。(3)

Kg=1：s1=s2=1，重根。閉環(huán)特征根s1，s2是Kg的函數(shù)，

隨著Kg的改變而變化。(4)

Kg>1：Kg=0s1Kg=0s2Kg=1KgKg

根據(jù)2階系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)，可以推得n階系統(tǒng)，會(huì)有如下的結(jié)論：（1）n階系統(tǒng)有n個(gè)根，根軌跡有n條分支；（2）每條分支的起點(diǎn)(Kg=0)位于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處；（3）各分支的終點(diǎn)(Kg)或?yàn)殚_(kāi)環(huán)零點(diǎn)處或?yàn)闊o(wú)限點(diǎn)；（4）重根點(diǎn)，稱(chēng)為分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)。2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg4.1.2

根軌跡與系統(tǒng)性能1.穩(wěn)定性當(dāng)Kg從0時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過(guò)虛軸進(jìn)入s右半平面，因此二階系統(tǒng)對(duì)所有的Kg值都是穩(wěn)定的。高階系統(tǒng)的根軌跡有可能會(huì)進(jìn)入s右半平面，如圖所示。此時(shí)根跡與虛軸交點(diǎn)處的Kg值，稱(chēng)為臨界開(kāi)環(huán)增益。下圖中臨界Kg=30，只有當(dāng)0<Kg<30時(shí)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。

2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKgKg=302.穩(wěn)態(tài)性能開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于I型系統(tǒng)，因而根跡上的K

值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。如果給定系統(tǒng)ess

的要求，則由根跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg3.動(dòng)態(tài)性能

由圖可見(jiàn)，當(dāng)0<Kg<1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)均位于負(fù)實(shí)軸上，系統(tǒng)為過(guò)阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程。

當(dāng)Kg=1時(shí)，閉環(huán)兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程。當(dāng)Kg>1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過(guò)程。Kgp%，但是ts不變。Why？

因此，根軌跡和系統(tǒng)性能之間有密切的關(guān)系，根據(jù)根軌跡可以對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。然而，對(duì)于高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)采用解析的辦法繪制根軌跡圖是不現(xiàn)實(shí)的，必須采用簡(jiǎn)易的方法。4.1.3根軌跡方程

研究下圖所示反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)±+H(s)該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:D(s)=1±

G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=±1若將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫(xiě)成如下形式：一定要寫(xiě)成零極點(diǎn)表達(dá)式

式中Kg為系統(tǒng)的根跡增益，zi為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，pj為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)特征方程又可寫(xiě)為：

“-”號(hào)，對(duì)應(yīng)負(fù)反饋，“+”號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋。由于滿足上式的任何s都是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，所以當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如Kg在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，由上式制約的s在s平面上描畫(huà)的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱(chēng)之為系統(tǒng)的根軌跡方程。根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅角方程：式中，k=0，±1，±2，…（全部整數(shù)）。（1）通常稱(chēng)為180

根軌跡(負(fù)反饋)；（2）稱(chēng)作0根軌跡(正反饋和非對(duì)小相位系統(tǒng)—廣義根軌跡)。

根據(jù)這兩個(gè)條件，可完全確定s平面上根軌跡及根軌跡上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg值。幅角條件是確定s平面上根軌跡的充要條件，因此，繪制根軌跡時(shí)，只需要使用幅角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的Kg值時(shí)，才使用幅值條件?！?”號(hào)，對(duì)應(yīng)負(fù)反饋“+”號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋按幅角條件和幅值條件繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖及求Kg的方法。已知負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布如圖示。p2p3

j

0p1z1s11123

在s平面找一點(diǎn)s1

，畫(huà)出各開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量。

檢驗(yàn)s1是否滿足幅角條件：(s1z1)[(s1p1)+(s1p2)+(s1p3)]=1

123=(2k+1)？？

如果s1點(diǎn)滿足幅角條件，則是根軌跡上的一點(diǎn)。尋找在s平面內(nèi)滿足幅角條件的所有s1點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。反過(guò)來(lái)，如果s1是根軌跡上的點(diǎn)，則與這一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg按幅值條件確定。

例2：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的

用根軌跡法在s平面上找到閉環(huán)極點(diǎn)。解:p1=0，p2=-1，沒(méi)有零點(diǎn)，用試探法：j0-110.5-0.5–0.5–1–1.50.5p1p2s11）在[0，1]間任取一點(diǎn)s1，

∴s1在根軌跡上。2）在[-1，-∞]間任取一點(diǎn)s2，

s2∴s2不在根軌跡上。j0-110.5-0.5–0.5–1–1.50.5p1p2s1s23）在[0，∞]間任取一點(diǎn)s3，s3∴s3

不在根軌跡上。4）在復(fù)平面上取一點(diǎn)s4=-0.5+j，s4∴s4

在根軌跡上。j0-110.5-0.5–0.5–1–1.50.5p1p2s1s2s3s45）取一點(diǎn)s5∴s5不在根軌跡上。

在1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了用圖解法繪制根跡的一些基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，在根軌跡草圖的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可用幅角條件使其精確化，從而使整個(gè)根規(guī)跡的繪制過(guò)程大為簡(jiǎn)化。4.2繪制根軌跡的基本法則180o根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅角方程：

在本節(jié)的討論中，假定系統(tǒng)變化的參數(shù)是開(kāi)環(huán)根軌跡增益Kg(>0)，這種180o根軌跡習(xí)慣上稱(chēng)之為常規(guī)根軌跡。

Kg<0(正反饋和最小相位系統(tǒng))和其它參數(shù)變化時(shí)的根軌跡（廣義根軌跡）在后幾節(jié)討論。4.2.1繪制常規(guī)根軌跡的基本法則對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng),如果它的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)的實(shí)部小于或等于零,則稱(chēng)它是最小相位系統(tǒng).如果開(kāi)環(huán)傳遞函中有正實(shí)部的零點(diǎn)或極點(diǎn),或有延遲環(huán)節(jié),則稱(chēng)系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)【法則1】

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)

根軌跡起始于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。根軌跡上Kg=0的點(diǎn)為起點(diǎn)，Kg時(shí)的點(diǎn)為終點(diǎn)。1+G(s)H(s)=0證明：

當(dāng)Kg=0時(shí)，有

s=pj(j=1,2,…,n)

上式說(shuō)明Kg=0時(shí)，閉環(huán)特征方程的根就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。

當(dāng)Kg時(shí)，有

s=zi(i=1,2,…,m)

所以根軌跡必終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。在實(shí)際系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳函中mn，有m條根軌跡終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處，另有nm條根軌跡的終點(diǎn)將在無(wú)窮遠(yuǎn)處，可以認(rèn)為有nm

個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。將特征方程改寫(xiě)為：

由于閉環(huán)特征根是實(shí)數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的。利用這一性質(zhì)，只要繪制出實(shí)軸上部的根軌跡，實(shí)軸下部的根軌跡可由對(duì)稱(chēng)性繪出。n階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有n個(gè)根。當(dāng)Kg從0連續(xù)變化時(shí)，n個(gè)根將繪出有n條軌跡分支。因此根軌跡的條數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。【法則2】

根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性0j

0jKgKgKg0

j

0

j-1-2j1

由于閉環(huán)特征根是實(shí)數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的。利用這一性質(zhì)，只要繪制出實(shí)軸上部的根軌跡，實(shí)軸下部的根軌跡可由對(duì)稱(chēng)性繪出。n階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有n個(gè)根。當(dāng)Kg從0連續(xù)變化時(shí)，n個(gè)根將繪出有n條軌跡分支。因此根軌跡的條數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)?！痉▌t2】

根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性

由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連續(xù)的，根軌跡當(dāng)然也是連續(xù)的。利用這一性質(zhì)，只要精確畫(huà)出幾個(gè)特征點(diǎn)，描點(diǎn)連線即可畫(huà)出整個(gè)根軌跡?！痉▌t3】

根軌跡的漸近線

根據(jù)法則1，當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中m<n時(shí)，將有nm條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為a，交點(diǎn)為a的一組漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有：(k=0,1,…,nm1)

0jKgKgKg0

j

【法則4】根軌跡在實(shí)軸上的分布

實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡?！捌媸桥疾皇恰弊C明：設(shè)零、極點(diǎn)分布如圖示：p2p3

j

0p1z1s111=023

在實(shí)軸上取一測(cè)試點(diǎn)s1

。

由圖可見(jiàn)，復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸s1點(diǎn)的向量幅角和為2，復(fù)數(shù)共軛零點(diǎn)亦是如此。因此在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的影響。

s1點(diǎn)左邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角均為零，也不影響實(shí)軸上根軌跡的幅角條件。而s1點(diǎn)右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角為。如果s1是根軌跡上的點(diǎn)，則只有當(dāng)零極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足幅角條件：ji

=(2k+1)即如果s1所在的區(qū)域?yàn)楦壽E，其右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和必須為奇數(shù)。p2p3

j

0p1z1s111=023例4-1

設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)根軌跡條數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線及根軌跡在實(shí)軸上的分布。

解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=1、p3=5。系統(tǒng)的根軌跡有三條分支，分別起始于系統(tǒng)的三個(gè)有限的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，由于不存在有限的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，當(dāng)Kg時(shí)，沿著三條漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處；三條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)0

j

實(shí)軸上的根軌跡分布在(0，1)和(5，)的實(shí)軸段上。60三條漸近線與正實(shí)軸上間的夾角：-2

1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法——根軌跡法。

在已知開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上(開(kāi)環(huán)傳函)，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)，利用根軌跡法求閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。

定義：當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡，就稱(chēng)作系統(tǒng)根軌跡。一般取開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)（根軌跡增益Kg）作為可變參數(shù)。一般把哪個(gè)參數(shù)作為可變參數(shù)？參數(shù)怎么變化？180o根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅角方程：根軌跡方程：S代表什么？用試探法畫(huà)根軌跡圖繪制根軌跡的法則法則4

漸近線法則1

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)法則2

根軌跡的分支數(shù)，對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性法則3

實(shí)軸上的根軌跡法則5

分離點(diǎn)分離點(diǎn)的性質(zhì)：

1）分離點(diǎn)是系統(tǒng)閉環(huán)重根；

2）由于根軌跡是對(duì)稱(chēng)的，所以分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上；

3）實(shí)軸上相鄰兩個(gè)開(kāi)環(huán)零（極）點(diǎn)之間（其中之一可為無(wú)窮零（極）點(diǎn)）若為根軌跡，則必有一個(gè)分離點(diǎn)；

4）在一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間若有根軌跡，該段無(wú)分離點(diǎn)或分離點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。

j

0【法則5】根軌跡分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）

兩條或兩條以上的根軌跡在s平面上相遇后立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱(chēng)為根軌跡的分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn))。0

jz1j1Ap1p2KgKgKg=0Kg=0分離點(diǎn)的性質(zhì)：

1）分離點(diǎn)是系統(tǒng)閉環(huán)重根；

2）由于根軌跡是對(duì)稱(chēng)的，所以分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上；

3）實(shí)軸上相鄰兩個(gè)開(kāi)環(huán)零（極）點(diǎn)之間（其中之一可為無(wú)窮零（極）點(diǎn)）若為根軌跡，則必有一個(gè)分離點(diǎn)；

4）在一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間若有根軌跡，該段無(wú)分離點(diǎn)或分離點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。

j

0

證明：根軌跡在s平面上相遇，說(shuō)明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)，設(shè)s=d處為分離點(diǎn)。確定分離點(diǎn)位置的方法（需驗(yàn)證）：式中，zi

、pj

是系統(tǒng)的有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。

分離點(diǎn)上，根軌跡的切線與正實(shí)軸的夾角稱(chēng)為根軌跡的分離角，用下式計(jì)算：k為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)。公式法設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為d，則d滿足如下公式：牢記！[證畢]例4-2

求例4-1系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。

解：根據(jù)例4-1，系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡段（1，0），位于兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間，該軌跡段上必然存在根軌跡的分離點(diǎn)。設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為d，則注：若沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，應(yīng)?。?d2+12d+5=0

d1=0.472d2=

3.53(不在根軌跡上，舍去，也可代入幅值方程看Kg>0否？)分離點(diǎn)上根軌跡的分離角為±90°。0j

如果方程的階次高時(shí)，可用試探法確定分離點(diǎn)。d1=0.472

例4-3

已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：0jd=2.5左=0.67右=0.4d=2.01左=0.99右=99.49d=2.25左=0.8右=3.11d=2.47左=0.68右=0.65d=2.47【法則6】

根軌跡的起始角(出射角)與終止角(入射角)根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱(chēng)為出射角(起始角)，用

根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱(chēng)為入射角(終止角)，用

表示；求出這些角度可按如下關(guān)系表示?！唉屑恿闳ビ鄻O”“π加極去余零”0

jz1j1Ap1p2KgKgKg=0Kg=0pxPx+1

j

0s1

由于s1無(wú)限接近px，因此，除px外，所有其它開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角，都可以用它們到px的向量幅角來(lái)代替，而px到s1點(diǎn)的向量幅角即為起始角。根據(jù)s1點(diǎn)必滿足幅角條件，應(yīng)有移項(xiàng)后，立即得到法則中的公式。

[證畢]

證明：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)px,x+1

。在十分靠近待求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)px的根軌跡上取一點(diǎn)s1

。0

j-1-2j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：例4-4

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為起始角與終止角123132=180+1+2+31

23=180+56.5+19+59

108.5

37

90=790

j-1-2j1=180

117

90+153+63.5+119+121=149.5【法則7】根軌跡與虛軸交點(diǎn)若根軌跡與虛軸相交（臨界穩(wěn)定狀態(tài)），則交點(diǎn)上的坐標(biāo)（包括閉環(huán)極點(diǎn)和臨界增益）可按下述兩種方法求出：

方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s)=0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。

方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。例4-5

求例4-1系統(tǒng)的根軌跡與s平面虛軸的交點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：方法一：s3+6s2+5s+Kg=0令s=jω，則

(jω)3+6(jω)2+5(jω)+Kg=0ω3+5ω=06ω2+Kg=0Kg=0(起點(diǎn)，舍去)，Kg=30方法二：s3+6s2+5s+Kg=0勞斯表為s315s26Kgs1(30

Kg)/6s0Kg

當(dāng)Kg=30時(shí)，s1行全零，勞斯表第一列不變號(hào)，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求出：

6s2+Kg=0(jω)3+6(jω)2+5(jω)+Kg=0

0

d=0.472

0

j

d=0.472

Kg=30KgKgKgj2.24Kg=30試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)

p1=0、p2,3=1±j

漸近線：

3條0

j例4-6設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

根軌跡與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

s3+2s2+2s+Kg=0

勞斯表s312s22Kgs1(4

Kg)/2s0Kg

令s1系數(shù)為0，得Kg=4代入輔助方程2s2+Kg=0

實(shí)軸上根軌跡：(，0)，即整個(gè)負(fù)實(shí)軸。起始角：繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。0

j12KgKgKgj1.414Kg=4-45°[法則8]根之和繪制根軌跡，或利用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)性能分析時(shí)，可利用該法則。若開(kāi)環(huán)傳函分母階次n比分子階次m高2次或2次以上，即nm

2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于其開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和=常數(shù)。證明：式中(韋達(dá)定理)根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關(guān)系式，若nm

2，則

利用上述基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對(duì)需要準(zhǔn)確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精確化，一般而言，靠近虛軸或原點(diǎn)附近的根軌跡對(duì)分析系統(tǒng)的性能至關(guān)重要，應(yīng)盡可能的準(zhǔn)確繪制?？偨Y(jié)見(jiàn)P145表4-1[證畢]

-a1稱(chēng)為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)或開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的重心。表明當(dāng)Kg變化時(shí)，一些根增大時(shí)，另一些必然減??；即一些根軌跡右行，一些必然左行，重心保持不變。因此：

1）根的分量之和是一個(gè)與Kg無(wú)關(guān)的常數(shù)；

2）各分支要保持總和平衡，走向左右對(duì)稱(chēng)。繪制根軌跡法則小結(jié)法則5

漸近線法則1

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)法則2

根軌跡的分支數(shù)，對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性法則3

實(shí)軸上的根軌跡法則4

根之和法則6

分離點(diǎn)法則7

與虛軸交點(diǎn)法則8

出射角/入射角試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。

解：例4-7

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為一定要寫(xiě)成零極點(diǎn)表達(dá)式0

j-1-2j1d=0.59(舍去)

d=3.41

結(jié)論：由兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點(diǎn)沒(méi)有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間，當(dāng)K從0時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。d要求：1）試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2）如果改變反饋通路傳遞函數(shù)，使H(s)=1+2s，討論H(s)的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解：1）

例4-8設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為漸近線：a=(0+0

25)/4=

7/4

a=(2k+1)/4=45,1350

j-1-4-2

j1與虛軸交點(diǎn)：s4+7s3

+10s2+K=0

特征方程式中s1缺項(xiàng)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。可求得：與虛軸的交點(diǎn)：Kg=0,s=0，即坐標(biāo)原點(diǎn)。分離點(diǎn)：4d2+21d+20=0d=4d=1.25(舍去)實(shí)軸上的根跡：[52]漸近線：3條a=[(0+0

25)(0.5)]/3=2.17

a=(2k+1)/3=60,1802)實(shí)軸上的根跡：[-2,0.5][-,-5]0

j-1-5-2j2.55

K=22.75可由勞斯判據(jù)求得：與虛軸的交點(diǎn)：K=22.75,s=j2.55。s4110Ks372Ks2(702K)/7Ks1K(914K)/(702K)s0K要使系統(tǒng)穩(wěn)定

：

702K>0914K>0K>0求得：0<K<22.75當(dāng)K=22.75時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

[(702K)/7]s2

+

K=0s=j2.55與虛軸交點(diǎn)：

s4+7s3

+10s2+2Ks+K=0

勞斯表0

j-1-5-2j2.55K=22.750

j-1-4-2

j1

當(dāng)H(s)=1+2s時(shí)（微分負(fù)反饋），使系統(tǒng)由結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定變?yōu)闂l件穩(wěn)定的系統(tǒng)，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

0

j-1-4-2

j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：

例4-9

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為漸近線：a=2

a=45,135分離點(diǎn)：d=2

d=2j2.45與虛軸交點(diǎn)：Kg=260s=j3.164.3.10根軌跡若系統(tǒng)為正反饋，則其特征方程式為

D(s)=1

G(s)H(s)=0或此時(shí)的根軌跡稱(chēng)為0根軌跡。4.3廣義根軌跡根軌跡的幅角方程：根軌跡的幅值方程：

顯然0根軌跡的幅值方程與180根軌跡的完全相同，只是幅角相差一個(gè)π，因此只要把180根軌跡法則中，與幅角相關(guān)的項(xiàng)進(jìn)行修正，即可獲得繪制0根軌跡的基本法則?！痉▌t1】

根軌跡的起點(diǎn)(Kg=0)和終點(diǎn)(Kg)

：根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)?！痉▌t2】

根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱(chēng)性：系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)為n，根軌跡是連續(xù)的并且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。繪制0根軌跡的基本法則如下：【法則3】

根軌跡的漸近線當(dāng)開(kāi)環(huán)傳函中m<n時(shí)，有nm條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為a，交點(diǎn)為a的一組漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有：(k=0,1,…,nm1)【法則4】實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡?！芭际瞧娌皇恰薄痉▌t5】根軌跡分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)同180根軌跡【法則6】

根軌跡的出射角與入射角“0加零去余極”“0加極去余零”【法則7】根軌跡與虛軸交點(diǎn)的確定方法同180根軌但要注意：D(s)=1-G(s)H(s)=0

若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的坐標(biāo)可按下述兩種方法求出：

方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s)

=

0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出?！痉▌t8】根之和

若開(kāi)環(huán)傳函分母階次n比分子階次m高2次或2次以上，即nm

2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于其開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和。

1）根的分量之和是一個(gè)與Kg無(wú)關(guān)的常數(shù)；

2）各分支要保持總和平衡，走向左右對(duì)稱(chēng)。例4-10設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，繪制根軌跡。解：最小相位系統(tǒng)，正反饋，按0根軌跡的法則繪制。有2個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：-2，-4；1個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：-1。m=1,n=2

根據(jù)法則1：根軌跡有2條分支，起始于2個(gè)極點(diǎn)，1條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，1條終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。根據(jù)法則2：根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的連續(xù)曲線。根據(jù)法則3，根軌跡有1條漸近線。0

j-1-2Aj1.414-4d2d1根據(jù)法則4和5，實(shí)軸上的根軌跡為存在2個(gè)分離點(diǎn)，由下式求得分離角＝±90°根據(jù)法則7，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)0

j-1-2Aj1.414-4d2d1

根據(jù)上述結(jié)論，可繪制出根軌跡如圖所示，箭頭為kg增大的方向。

結(jié)論：由兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點(diǎn)沒(méi)有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間，當(dāng)K從0時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。當(dāng)Kg

<6時(shí)，正反饋閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果此系統(tǒng)為負(fù)反饋系統(tǒng)，則系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。4.3.2參變量系統(tǒng)的根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=GH(s,A)

式中A為系統(tǒng)Kg以外的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(s)=1+G(s)H(s)=1+GH(s,A)=0進(jìn)行有效變換，可整理為

式中，GH’(s)為等效系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。根軌跡化為常規(guī)根軌跡。例4-11

已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制參數(shù)a從零變化到正無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解:系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3

+s2+0.25s+0.25a=0于是，等效系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為把a(bǔ)視為根跡增益，可繪制出a變化時(shí)系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。0

j0.51漸近線：σa=1/3a=π/3，5π/3，π。根軌跡與虛軸的交點(diǎn):a=1s=j/2a

j0.5a

=1分離點(diǎn)：

d1=1/6,d2=1/2。a試確定系統(tǒng)根軌跡的類(lèi)型。

解：系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)都在s平面右半部具有一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)z=1。所以，系統(tǒng)均屬非最小相位系統(tǒng)。4.3.3非最小相位系統(tǒng)的根軌跡

在s平面右半部具有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和（或）極點(diǎn)的反饋系統(tǒng)稱(chēng)為非最小相位系統(tǒng)。繪制方法同最小相位系統(tǒng)，但必須將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)根軌跡方程才能確定按180根軌跡還是0根軌跡的法則繪制。例4-12設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其根軌跡方程為可按180o根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。對(duì)系統(tǒng)(2)，其閉環(huán)特征方程為此時(shí)按0o根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。對(duì)系統(tǒng)(1)，其閉環(huán)特征方程為4.3.4.開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響

試?yán)L制如下幾種情況下Kg從零連續(xù)變化到無(wú)窮大時(shí)系統(tǒng)的根軌跡：（1）b→∞,a為有限量；（2）b>a；（3）b=a

（4）b<a;（5）b=0，a為有限量。1.開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

例4-13設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為解：（1）b→∞,a為有限量時(shí)，系統(tǒng)的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡始終位于右半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。0

jaa/3相當(dāng)于沒(méi)有零點(diǎn)！

（2）b>a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于右半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。0

ja(ba)/20

jb

（3）b=a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡為與虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。p=-a和z=-b構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子。

j0

jb=-a

（4）b<a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于左半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。0

ja(ba)/20

jb

（5）b=0，a為有限量時(shí)，系統(tǒng)為沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。

j0

j-a-a/2

從上例可以看出，增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：（1）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。零點(diǎn)越靠近虛軸影響越大（2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。（3）使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。（4）開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)重合或相近時(shí)，二者構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子,抵消有損系統(tǒng)性能的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的不利影響。

2.開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響增加一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：（1）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。（2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。（3）使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，使得