高中數(shù)學人教A版2第一章導數(shù)及其應用 第一章定積分的概念

第一章導數(shù)及其應用定積分的概念1.5.3定積分的概念A級基礎鞏固一、選擇題1．已知eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx＝6，則eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)6f(x)dx＝()A．6B．6(b－a)C．36D．不確定解析：eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)6f(x)dx＝6eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(答案：C2．設f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx，x∈（0，π]，,ex，x∈（－∞，0]，))則eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－1)f(x)dx＝()\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－1)sinxdx \a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,－1)exdx\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－1)sinxdx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)exdx \a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－1)exdx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)sinxdx解析：由定積分的性質知選項D正確．答案：D3．下列式子中不成立的是()解析：由定積分的幾何意義知eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(π,0)sinxdx＞0，eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(π,0)cosxdx＝0，所以C不成立．答案：C4．由函數(shù)y＝－x的圖象(圖略)，直線x＝1、x＝0、y＝0所圍成的圖形的面積可表示為()\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(－x)dx \a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)|－x|dx\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,1)xdx D．－eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)xdx解析：由定積分的幾何意義可知，所求圖形面積S＝－eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(－x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)|－x|dx.答案：B5．下列命題不正確的是()A．若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝0B．若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(a,0)f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上連續(xù)且恒正，則eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx＞0D．若f(x)在[a，b]上連續(xù)且eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx＞0，則f(x)在[a，b]上恒正解析：對于選項A，因為f(x)是奇函數(shù)，所以圖象關于原點對稱，所以x軸上方的面積和x軸下方的面積相等，故積分是0，所以A正確；對于選項B，因為f(x)是偶函數(shù)，所以圖象關于y軸對稱，故圖象都在x軸下方(或上方)且面積相等，故B正確；C顯然正確；D選項中f(x)也可以小于0，但必須有大于0的部分，且f(x)＞0的曲線圍成的面積比f(x)＜0的曲線圍成的面積大．答案：D二、填空題6．(2023·湖南卷)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(x－1)dx＝________．解析：由定積分的幾何意義可得eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(x－1)dx＝0.答案：0\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,1)|x－2|dx＝________．解析：根據(jù)定積分的幾何意義，所求定積分表示的是y＝|x－2|和x＝3，x＝1及y＝0所圍成的圖形的面積，即圖中陰影部分面積．因此，eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,1)|x－2|dx＝eq\f(1,2)×1×1＋eq\f(1,2)×1×1＝1.答案：18．用定積分表示下列陰影部分的面積(不要求計算)：圖①圖②圖③(1)S1＝________________(圖①)；(2)S2＝________________(圖②)；(3)S3＝________________(圖③)．答案：三、解答題9．已知eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)xdx＝eq\f(e2,2)，eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)x3dx＝eq\f(e4,4)，求下列定積分：(1)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)(2x＋x3)dx；(2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)(2x3－x＋1)dx.解：(1)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)(2x＋x3)dx＝2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)xdx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)x3dx＝e2＋eq\f(e4,4).(2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)(2x3－x＋1)dx＝2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)x3dx－eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)xdx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,0)1dx＝eq\f(e4,2)－eq\f(e2,2)＋e.10．用定積分的幾何意義求eq\r(1－x2)dx.解：由y＝eq\r(1－x2)可知，x2＋y2＝1(y≥0)的圖象如圖，由定積分的幾何意義知eq\r(1－x2)dx等于圓心角為120°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和．弓形CED面積為S1＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)π·12－eq\f(1,2)×1×1×sinπ＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),4)，矩形ABCD面積為S2＝2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),4).B級能力提升1．已知t＞0，若eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(t,0)(2x－2)dx＝8，則t＝()A．1B．2C．3D．4解析：作出函數(shù)f(x)＝2x－2的圖象與x軸交于點A(1，0)，與y軸交于點B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，因為eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(t,0)(2x－2)dx＝8，且eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(2x－2)dx＝－1，所以t＞1，所以S△AEF＝eq\f(1,2)|AE||EF|＝eq\f(1,2)×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，所以t＝4.答案：D2．已知f(x)是一次函數(shù)，其圖象過點(3，4)且eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)f(x)dx＝1，則f(x)的解析式為________．解析：設f(x)＝ax＋b(a≠0)，因為f(x)圖象過(3，4)點，所以3a＋b＝4.又eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)f(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(ax＋b)dx＝aeq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)xdx＋eq\a\vs4\al(∫)10bdx＝eq\f(1,2)a＋b＝1.②①②聯(lián)立方程組，解得a＝eq\f(6,5)，b＝eq\f(2,5).所以f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5).答案：f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5)3．利用定積分的幾何意義，求eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,－2)f(x)dx＋sinxcosxdx，其中f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1（x≥0），,3x－1（x＜0）.))解：eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,－2)f(x)dx＋sinxcosxdx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－2)(3x－1)dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(2x－1)dx＋sinxcosxdx，因為y＝sinxcosx為奇函數(shù)，所以sinxcos