高中數(shù)學(xué)人教B版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第1章集合的概念

1．1集合與集合的表示方法1．集合的概念1．通過(guò)實(shí)例了解集合的含義．(難點(diǎn))2．掌握集合中元素的三個(gè)特性．(重點(diǎn))3．體會(huì)元素與集合的“從屬關(guān)系”，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1元素與集合的相關(guān)概念閱讀教材P3～P4“第7行”的部分，完成下列問(wèn)題．1．集合：一般地，把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合(或集)，通常用英語(yǔ)大寫字母A，B，C，…來(lái)表示．2．元素：構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素(或成員)，通常用英語(yǔ)小寫字母a，b，c，…來(lái)表示．3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，記作?.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)本班的“帥哥”組成集合．()(2)漂亮的花組成集合．()(3)聯(lián)合國(guó)常任理事國(guó)組成集合．()【解析】(1)不正確．因?yàn)椤皫浉纭睕]有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，即元素不確定，不能組成集合．(2)不正確．因?yàn)槭裁礃拥幕ㄊ瞧恋幕ú淮_定，不能組成集合．(3)正確．因?yàn)槁?lián)合國(guó)常任理事國(guó)是確定的，所以能組成集合．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2元素與集合的關(guān)系閱讀教材P3“最后一行”～P4“第6行”以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A.2．不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A.用符號(hào)“∈”或“?”填空：0__________?，－eq\f(1,2)________Z，π__________Q，eq\r(4)________Q，|－4|________N*.【解析】根據(jù)常見數(shù)集及其記法進(jìn)行判斷．【答案】???∈∈教材整理3集合的特性及分類閱讀教材P4“思考與討論”以下～P4“練習(xí)A”以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．集合元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性．2．集合的分類(1)有限集：含有有限個(gè)元素的集合．(2)無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合．3．常用數(shù)集及符號(hào)表示名稱非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR已知集合A中含有三個(gè)元素0,1，x，且x2∈A，則實(shí)數(shù)x的值為()A．0 B．1C．－1 D．1或－1【解析】當(dāng)x＝0,1，－1時(shí)，都有x2∈A，但考慮到集合元素的互異性，x≠0，x≠1，故x＝－1.【答案】C[小組合作型]集合的概念下列所給的對(duì)象能構(gòu)成集合的是________．①所有的正三角形；②比較接近1的數(shù)的全體；③某校高一年級(jí)所有16歲以下的學(xué)生；④平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)的集合；⑤所有參加2023年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)的年輕運(yùn)動(dòng)員；⑥eq\r(2)的近似值的全體.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60210000】【精彩點(diǎn)撥】判斷一組對(duì)象能否組成集合的關(guān)鍵是看該組對(duì)象是否具有明確的標(biāo)準(zhǔn)，即給定的對(duì)象是“模棱兩可”還是“確定無(wú)疑”．【自主解答】①能構(gòu)成集合，其中的元素滿足三條邊相等；②不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤氨容^接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合；③能構(gòu)成集合，其中的元素是“某校高一年級(jí)16歲以下的學(xué)生”；④能構(gòu)成集合，其中的元素是“平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)”；⑤不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤澳贻p”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的、不確定的，故不能構(gòu)成集合；⑥不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤癳q\r(2)的近似值”未明確精確到什么程度，因此很難斷定一個(gè)數(shù)是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合．【答案】①③④判斷每個(gè)對(duì)象是否具有確定性是判斷其能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵，而判斷一個(gè)對(duì)象是不是確定的，關(guān)鍵就是要找到一個(gè)明確的衡量標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)還要注意集合中的元素的互異性、無(wú)序性.[再練一題]1．下列各組對(duì)象中不能構(gòu)成集合的是()A．佛岡中學(xué)高一班的全體男生B．佛岡中學(xué)全校學(xué)生家長(zhǎng)的全體C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【解析】A中，佛岡中學(xué)高一班的全體男生，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構(gòu)成集合；B中，佛岡中學(xué)全校學(xué)生家長(zhǎng)的全體，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構(gòu)成集合；C中，李明的所有家人，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構(gòu)成集合；D中，王明的所有好朋友，不滿足集合元素的確定性，故不可以構(gòu)成集合．故選D.【答案】D元素與集合的關(guān)系給出下列6個(gè)關(guān)系：①eq\f(\r(2),2)∈R，②eq\r(3)∈Q，③0?N，④eq\r(4)∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|?Z.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1【精彩點(diǎn)撥】首先明確字母R、Q、N、Z的意義，再判斷所給的數(shù)與集合的關(guān)系是否正確．【自主解答】R、Q、N、Z分別表示實(shí)數(shù)集、有理數(shù)集、自然數(shù)集、整數(shù)集，所以①④正確，因?yàn)?是自然數(shù)，eq\r(3)，π都是無(wú)理數(shù)，所以②③⑤⑥不正確．【答案】C1．判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合中的元素，關(guān)鍵是判斷這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合的元素的共同特性．2．解決本例及類似問(wèn)題要準(zhǔn)確記憶數(shù)集Q，N，R及Z的含義，防止因混淆其含義而出現(xiàn)失誤．[再練一題]2．用符號(hào)“∈”或“?”填空．若A表示第一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的集合，則點(diǎn)(0,0)________A，(1,1)________A，(－1,1)________A.【解析】第一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的集合可以用直線y＝x表示，顯然(0,0)、(1,1)都在直線y＝x上，(－1,1)不在直線上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1)?A.【答案】∈∈?[探究共研型]集合中元素的特性探究1“北京市的高樓”能否組成一個(gè)集合？“北京市高于100米的樓能否組成一個(gè)集合？集合的定義中“某些確定的”含義是什么？【提示】“北京市的高樓”不能組成一個(gè)集合，因?yàn)椤案邩恰睕]有明確的標(biāo)準(zhǔn)，而“北京市高于100米的樓能組成一個(gè)集合，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)是確定的．集合的定義中“某些確定的”含義是集合中的元素必須是確定的，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．探究2“小于4的自然數(shù)”構(gòu)成的集合中有哪些元素？甲同學(xué)的答案是0,1,2,3；乙同學(xué)的答案是3,2,1,0，他們的回答都正確嗎？由此說(shuō)明什么？【提示】?jī)蓚€(gè)同學(xué)的回答都是正確的．由此說(shuō)明集合中的元素是沒有先后順序的，這就是集合中元素的無(wú)序性．探究3若a和a2都是集合A中的元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？【提示】因?yàn)閍和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.若集合A中的三個(gè)元素分別是a－3,2a－1，a2－4，a∈Z且－3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．【精彩點(diǎn)撥】按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三類分別求解實(shí)數(shù)a的值，注意驗(yàn)證集合A中元素是否滿足互異性．【自主解答】(1)若－3＝a－3，則a＝0，此時(shí)集合A中的三個(gè)元素分別是－3，－1，－4，滿足題意；(2)若－3＝2a－1，則a＝－1，此時(shí)集合A中的三個(gè)元素分別是－4，－3，－3，不滿足題意；(3)若－3＝a2－4，則a＝±1.當(dāng)a＝1時(shí)，集合A中的三個(gè)元素分別是－2,1，－3，滿足題意；當(dāng)a＝－1時(shí)，由(2)知，不滿足題意．綜上可知，a＝0或a＝1.1．本題按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4為標(biāo)準(zhǔn)分類，從而做到“不重不漏”；在解含字母的問(wèn)題中，常常采用分類討論的思想，注意分類標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一和明確．2．本題在求解的過(guò)程中，常因忽視檢驗(yàn)集合中元素的互異性，導(dǎo)致產(chǎn)生增解－1.[再練一題]3．若將本例中的條件“－3∈A”換成“a∈A”，求相應(yīng)問(wèn)題．【解】∵a∈A且a∈Z，∴a＝a－3或a＝2a－1或a＝a2－4，解得a＝1，此時(shí)集合A中有三個(gè)元素－2,1，－3，符合題意．故所求a的值為1.1．下列對(duì)象不能構(gòu)成集合的是()①我國(guó)近代著名的數(shù)學(xué)家；②所有的歐盟成員國(guó)；③空氣中密度大的氣體．A．①② B．②③C．①②③ D．①③【解析】研究一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的問(wèn)題，首先要考查集合中元素的確定性．①中的“著名”沒有明確的界限；②中的研究對(duì)象顯然符合確定性；③中“密度大”沒有明確的界限．故選D.【答案】D2．下列三個(gè)關(guān)系式：①eq\r(5)∈R；②eq\f(1,4)?Q；③0∈Z.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】①正確；②因?yàn)閑q\f(1,4)∈Q，錯(cuò)誤；③0∈Z，正確．【答案】B3．已知集合A中只有一個(gè)元素1，若|b|∈A，則b等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60210001】A．1 B．－1C．±1 D．0【解析】由題意可知|b|＝1，∴b＝±1.【答案】C4．a(chǎn)，b，c，d為集合A的四個(gè)元素，那么以a，b，c，d為邊長(zhǎng)構(gòu)成