高二物理競賽晶體能帶理論（能帶論）課件

第四章

晶體能帶理論（能帶論）1、晶體能帶論的基本理論基本假定和近似（絕熱近似、單電子近似、周期性勢場假定）；2、周期性勢場中單電子一般特性布洛赫定理、波矢空間、能帶及能帶表示3、晶體能帶論的自由電子近似模型、求解、結(jié)論及討論；4、晶體能帶論的緊束縛近似模型、求解、結(jié)論及討論；5、晶體中電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動平均速度、加速度、有效質(zhì)量；6、固體導(dǎo)電特性的能帶論解釋固體導(dǎo)電特性的能帶解釋、空穴

；7、固體電子的能態(tài)密度R

n

a

n

a

n

an 1 1 2 2 3 31 2 3(n,n

,

n

0,1,2,3,)1a3 a2a離子實(shí)價電子價電子§4.1 晶體能帶論的基本理論1、

晶體電子模型和薛丁諤方程晶體電子的共有化運(yùn)動原子孤立原子中庫侖電勢分布及電子能級原子0V=-q/rr孤立原子中的電子在該原子的核和其它電子的勢場中運(yùn)動，電子按能級分布，由四個量子數(shù)決定。原子中的電子分布在一系列能級上，用電子波函數(shù)解釋，就是電子在對應(yīng)能級的運(yùn)動軌道上出現(xiàn)的幾率最大。晶體由大量原子周期性重復(fù)排列而成，每個原子包含原子核和許多電子，當(dāng)原子結(jié)合成晶體時，內(nèi)層電子狀態(tài)變化很小，外層電子（價電子）狀態(tài)變化很大，其勢壘高度和勢壘寬度都變小，通過隧道效應(yīng)穿越勢壘進(jìn)入另一個原子，被整個晶體原子共有。將內(nèi)層電子和原子核等效為離子實(shí)，價電子在離子實(shí)周期性勢能場中運(yùn)動（共有化運(yùn)動）。avax內(nèi)電子能級一維晶體周期性勢場分布共有化電子能級離子實(shí)周期性變化勢場3s3s3s3s2p2p2p2p硅晶體原子中價電子共有化運(yùn)動示意圖：硅原子核KLM硅原子殼層結(jié)構(gòu)：（幾率波）與這個粒子2

V

E2m薛定諤方程2中運(yùn)動的一個粒子，有一個波函數(shù)

r

對薛定諤方程的理解：對于質(zhì)量為m并在勢能為V

的勢場的穩(wěn)定狀態(tài)相聯(lián)系，這個波函數(shù)滿足薛定諤方程。薛定諤方程的每一個解

r

，表示粒子運(yùn)動的某一個穩(wěn)定狀態(tài)，稱為本征解（本征函數(shù)）。與這個解相應(yīng)的常數(shù)

E

，就是粒子在這個穩(wěn)定狀態(tài)的能量，稱為本征值。為了使波函數(shù)是合理的，必須要求波函數(shù)滿足單值、有限、連續(xù)、歸一化。如果電子和離子實(shí)的位置矢量分別用方程（1023/cm3個)

：晶體電子的薛定諤方程假定在體積為V

的晶體中有

N個帶正電荷

Ne

的離子實(shí)，相應(yīng)有NZ

個價電子（電子）。電子與電子、電子與原子實(shí)、原子實(shí)與原子實(shí)之間存在著相互作用i和

rRn表示，則晶體多粒子體系的薛定諤r

xi

yj

z

ki i i i

Rn

Rnxi

Rnyj

Rnzk

N

個離子實(shí)動能、相互作用能離子實(shí)與價電子之間的相互作用能22

2

2x2 y2 z2

r

（拉普拉斯算符）電子質(zhì)量：m

9.11031kgM

m氫原子核質(zhì)量：M

1.661027

kg２、能帶論的基本假定和近似Ａ、絕熱近似相對于電子運(yùn)動，離子實(shí)不動（離子實(shí)處于平衡位置），電子在固定不動的離子實(shí)產(chǎn)生的周期性勢場中運(yùn)動。B、平均場近似（單電子近似）假定每個價電子所處的勢場都相同，每個電子與其他電子之間的相互作用勢能只與該電子的位置有關(guān)，與其他電子的位置無關(guān)。得到：NZji

i ii1 j

ie212

(r)

4

0

r

ri

rNZ

NNZ0 r iZe2

i i i1 i1

n1u(r)

4

r

Rn?21i2n

i

(ri

)

ui

(ri

)Hi

2多粒子系統(tǒng)的薛定諤方程簡化為：NZi( ri

,2mRn

)

Rn

2NZ

i

(ri

)i1i1) E

NZui

(ri

)

(rii12令：2NZi( ri

,2mRn

)2i1

) E

i

(ri

)

ui

(ri

)

(ri

Rn

第

i

個電子的哈密頓算符NZH?

H?ii1?12i2nV

(ri)2Hi

V

ri

i

(ri

)

ui

(ri

)i薛定諤方程：H?

(r1

ri

)

E

(r1

ri

)由分離變量法，令電子波函數(shù)：

(r1

ri

)

1

(r1

)

2

(r2

)

i

(ri

)

II

i

(ri

)H?

(r1

ri

)

H?i

i

(ri

)

H?i

i

(ri

)

Ei

i

(ri

)

Eii i i i i i i即：H?i

i(ri)

Ei

i(ri)所有電子都滿足同樣的薛定諤方程，晶體多電子問題簡化為單電子問題。22m

(r)

V

(r)

(r)

E2NRni i n10 r iZe2u(r)

4

rC、周期性勢場近似離子實(shí)對電子的相互作用勢能：具有與晶格相同的周期性NN0 r iZe2RnZe2

ui(ri)ui(ri

R )

n10 r i Rnm n1

4

r

4

r

Rm在定態(tài)下，是恒定量：V

(r)

V

(r

Rn

)R

n

a

n

a

n

an 1 1 2 2 3 3(n1,

n2

,

n