人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章測(cè)試題及答案解析

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章測(cè)試題及答案解析第三章圓錐曲線方程本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C．2 D．42．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)左焦點(diǎn)F1，作直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則三角形ABF2的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．15 C．20 D．253．以下幾個(gè)命題中，其中真命題的序號(hào)為（

）①過(guò)點(diǎn)且與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有兩條；②雙曲線的漸近線方程為；③在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)．A．①③ B．①④ C．③④ D．②④4．已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，A為拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)B恰好在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)N是的中點(diǎn)，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn)，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．8．已知點(diǎn)是橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上），為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；若是的角平分線上的一點(diǎn)，且丄，則丨丨的取值范圍為（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A，B．若P，Q兩點(diǎn)都在橢圓C上，且P，Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．|PQ|的最大值為B．為定值C．橢圓上不存在點(diǎn)M，使得D．若點(diǎn)P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為10．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為8 B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2C．的最大值為5 D．面積最大值為311．已知橢圓M：的左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，P是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．周長(zhǎng)為B．面積最大值為C．存在點(diǎn)P滿足：D．若面積為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則（

）A．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線的斜率與直線的斜率之積為1B．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則C．若P為焦點(diǎn)關(guān)于雙曲線C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)，則C的離心率為D．延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)Q，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為、，則三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線垂直于雙曲線的一條漸近線，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．14．已知，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，M，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積是______．15．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)長(zhǎng)軸在軸上，上頂點(diǎn)為左、右焦點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)分別為且是面積為的直角三角形．(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，使求的面積．18（12分）已知P為橢圓（）上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，且橢圓離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，求面積的最大值19（12分）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A，且，到C的漸近線的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知雙曲線與拋物線有共同的焦點(diǎn)F，雙曲線C與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求雙曲線C的離心率．(2)過(guò)F的直線（斜率存在）與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，MN的垂直平分線交x軸于P，證明：．21．（12分）如圖，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于另一點(diǎn).(1)若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)已知點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.22．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，．(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求證：為定值．答案解析版本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】：拋物線，即，則，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選：C2．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)左焦點(diǎn)F1，作直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則三角形ABF2的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】由題意橢圓的長(zhǎng)軸為，由橢圓定義知∴故選：C3．以下幾個(gè)命題中，其中真命題的序號(hào)為（

）①過(guò)點(diǎn)且與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有兩條；②雙曲線的漸近線方程為；③在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)．A．①③ B．①④ C．③④ D．②④【答案】D【解析】解：對(duì)①：過(guò)點(diǎn)且與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有3條，其中有兩條直線與拋物線相切，有一條與對(duì)稱軸平行，故命題①是假命題；對(duì)②：雙曲線的漸近線方程為，故命題②是真命題；對(duì)③：因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，點(diǎn)在直線上，所以到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡過(guò)定點(diǎn)垂直于直線的直線，不是拋物線，故命題③是假命題；對(duì)④：因?yàn)殡p曲線與橢圓的焦點(diǎn)都是，所以有共同的焦點(diǎn)，故命題④是真命題；故選：D.4．已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，A為拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)B恰好在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，，,其中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)；根據(jù)橢圓的定義可知，即，橢圓的離心率故選：A.5．已知，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)N是的中點(diǎn)，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠椒?，所以，因?yàn)?，所以，，由（或），得橢圓的離心率，又，所以橢圓的離心率的取值范圍是．故選：A．6．已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，即，要表示橢圓，需滿足，解得且，故A錯(cuò)誤；若E表示雙曲線，則不能為0，故化為，則，即或，故B正確；由B的分析知，時(shí)，，此時(shí)c不確定，故焦距不是定值，C錯(cuò)誤；若E的離心率為，則此時(shí)曲線表示橢圓，由A的分析知，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，故D錯(cuò)誤，故選：B7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn)，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線的定義知，是的中點(diǎn)且.在中，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.8．已知點(diǎn)是橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上），為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；若是的角平分線上的一點(diǎn)，且丄，則丨丨的取值范圍為（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）【答案】A【解析】如下圖，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，設(shè)點(diǎn)，由已知可得，，，則且，且有，，故，所以，.故選：A.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A，B．若P，Q兩點(diǎn)都在橢圓C上，且P，Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．|PQ|的最大值為B．為定值C．橢圓上不存在點(diǎn)M，使得D．若點(diǎn)P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為【答案】BD【解析】如圖所示：A.|PQ|的最大值為長(zhǎng)軸長(zhǎng)2，故錯(cuò)誤；B.易知是平行四邊形，則，因?yàn)?，所以，故正確；C.因?yàn)?，所以，則，故橢圓上存在點(diǎn)M，使得，故錯(cuò)誤；D.直線AB所在直線方程為：，即，設(shè)，則點(diǎn)P到直線AB的距離為，其最大值為，同理點(diǎn)Q到直線AB的最大值為，所以四邊形APBQ面積的最大值為，故正確.故選：BD10．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為8 B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2C．的最大值為5 D．面積最大值為3【答案】ACD【解析】解：由題可知，在橢圓中，，的周長(zhǎng)為,故A項(xiàng)正確；橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，代入，解得，故，所以的最大值為5，故C項(xiàng)正確；根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積最大，故,故D項(xiàng)正確.故選：ACD.11．已知橢圓M：的左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，P是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．周長(zhǎng)為B．面積最大值為C．存在點(diǎn)P滿足：D．若面積為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為【答案】BD【解析】由題意，，，短軸一個(gè)端點(diǎn)，由題知，故周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；利用橢圓的性質(zhì)可知面積最大值為，故B正確；因?yàn)?，所以，從而，而是橢圓上任一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí)最大，因此不存在點(diǎn)滿足，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，則，，故D正確．故選：BD．12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則（

）A．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線的斜率與直線的斜率之積為1B．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則C．若P為焦點(diǎn)關(guān)于雙曲線C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)，則C的離心率為D．延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)Q，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為、，則【答案】ABD【解析】由題意知，，設(shè)，對(duì)于A，若雙曲線C為等軸雙曲線，則，則，又，則，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，由A選項(xiàng)知，即，又，，故，解得，即，B正確；對(duì)于C，易得雙曲線的漸近線方程為，若P為焦點(diǎn)關(guān)于雙曲線C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)，則有，解得，代入可得，即，解得，則C的離心率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于三點(diǎn)，由切線長(zhǎng)定理知，則，又，可得，則和重合，即的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，同理可得的內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)也為，則軸，且，作于，則即為切點(diǎn)，作于，則，，，在中，可得，即，整理得，D正確.故選：ABD.三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線垂直于雙曲線的一條漸近線，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意，雙曲線的漸近線為，若過(guò)的直線與直線垂直，垂足為，直線與直線交于，，因?yàn)?，所以在，之間，如圖所示，直線的方程為，由，得，由，得，由，可得，所以，所以，所以雙曲線的離心率．同理，過(guò)的直線與直線垂直時(shí)，雙曲線的離心率．綜上所述，雙曲線的離心率為，故答案為：.14．已知，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，M，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積是______．【答案】72【解析】由可知，因?yàn)镸，N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形的面積,故答案為：7215．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】22【解析】根據(jù)雙曲線，得，，由雙曲線的定義可得：①，②，①+②可得：，由于過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線交雙曲線的左支于，兩點(diǎn)，可得，即有．則，當(dāng)是雙曲線的通徑時(shí)最小，故.故答案為：2216．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是，則其離心率的值是______；若點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn)，滿足，，則雙曲線C的方程為_(kāi)_____．【答案】

##1.5

【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又，，，，.雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線C的方程為.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)長(zhǎng)軸在軸上，上頂點(diǎn)為左、右焦點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)分別為且是面積為的直角三角形．(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，使求的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，是的直角三角形，，為直角，從而，即，，，在中，，，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）知，由題意，直線的傾斜角不為，故可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，消元可得①，設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)，①可化為，，的面積．18（12分）已知P為橢圓（）上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，且橢圓離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，求面積的最大值【答案】(1)(2)【解析】(1)由P為橢圓（）上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，可得，，所以，又，則，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)由題意可知過(guò)的直線l斜率存在且，可設(shè)其方程為，，，則，由得：，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，面積的最大值為.19（12分）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A，且，到C的漸近線的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值，【解析】（1）由題意得，，漸近線方程為，則到漸近線的距離為，又因?yàn)?，所以，，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線：，，，，聯(lián)立方程組得，所以，.因?yàn)橹本€的方程為，所以的坐標(biāo)