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試卷類2015年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(一數(shù)學(xué)(理科4,211501202B所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校以及自己的和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B2B應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;使用鉛筆和涂改液。2B參考公式:錐體的體積公式V1ShSh3122232 n2nn12n nN*.6,,,NMN
(UMN(UN已知向量a=34aN(UNA. C.
D.191, B.91,C.91.5, D.91.5,
88
420圖xay10x2y124A.相 B.相 C.相 D.不能確xy4y3x上存在點(diǎn)xy滿足約束條件2xy8x
則實(shí)數(shù)mC.,
222222D.,222222223
22 2 2222222222 已知aa1xxx1a B.必要不充分條C.充要條 D.既不充分也不必要條iCfCR滿足:z1z2C,以及任意R,fz11z2fz11fz2,則稱映射fP.給出如下映射:①f1:CR②f2:CR③f3:CR
f1zxy,zxyi(x,yR)2fzx2y,zxyi(x,yR)2f3z2xy,zxyi(x,yR)其中,PA.① B.① C.② D.①②76530(一)必做題(9~13題已知tan2,則tan2的值 已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若曲線yxex在點(diǎn)1,e處的切線斜率 已知 量X服從正態(tài)分布N2,1.若P1X30.6826,則PX等 fxxm22m3(mZ)為偶函數(shù),且在區(qū)間0f2的值 已知nkN*,且knkCknCk1 nC12C23C3 kCk nCnn(C
C1
n2n1
n
n kCn1n由此,可推出C122C232C3 kCn1n (二)選做題(14~15題,考生只能從中選做一題xOy中,曲線C和C的參數(shù)方程分別為xcossin(為參數(shù) ycosx2t(t為參數(shù).以原點(diǎn)Ox軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,則曲線y 與C2的交點(diǎn)的 AODAODC3BC是圓OBCE,BC2CE2E作圓OA為切點(diǎn),BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D 則DE的長(zhǎng) 圖16(本小題滿分12分f(xAsinxA0,0y 6 坐標(biāo)分別為x,2和x,2 f(x求sinx的值 4 17.(本小題滿分17.(本小題滿分12分袋子中裝有大小相同的白球和紅球共7個(gè),從袋子中任取217.X.X的分布列和數(shù)學(xué)期望PAGE20PAGE20.(本小題滿分14分如圖4,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,DAB60,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CD,CB的中點(diǎn),AC EFO,沿EF將△CEF翻折到△PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖5的五棱錐PABFED,且PB BDBAPO的正切值DEOFPDEOFPDOBFEAB圖 圖已知數(shù)列a的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為S,且滿足a1,
1,nN* 求a2的值求數(shù)列an的通項(xiàng)公式是否存在正整數(shù)k,使ak
S2k1
a4k成等比數(shù)列?若存在,求k的值;若不存在 C1的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩焦點(diǎn)分別為雙曲線C2:2
1x
2y與橢圓C1A,BA的坐標(biāo)為(2,1P是橢圓C1AB點(diǎn)QAQAP0BQBP0ABQ三點(diǎn)不共線求橢圓C1的方程求點(diǎn)Q求ABQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)PAGE21.PAGE21.(本小題滿分14分fxln1xax2xa02若fx0x0都成立,求a的取值范圍已知enN*
11n21
2122
ne22e e2015年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(一)854012345678BDCAACBB14~15題是選做題,考生只能選做一題.9.314.
2,4
10. 11. 12. 33
nn1 說明:第14題答案可以是22kkZ 68016(解:由題意可得A2, 1Txx 3 2 ∴T
4由2,得2 5f(x2sin2x 6 6 解:∵點(diǎn)x2f(x2sin2xy軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn) 6 062 7∴x 8 ∴sin
sin
9 4 4
10 1 2 3
11 17(
2 124 C 解:設(shè)袋子中有n(nN)個(gè)白球,依題意得,n 1C72C77nn即 1,化簡(jiǎn)得,n2n60, 27 2解得,n3或n2(舍去 3∴袋子中有3個(gè)白球 4解:由(1)得,袋子中有4個(gè)紅球,3個(gè)白球 5X的可能取值為0,1,2,3 6PX047
PX1342 PX23244PX33214 10 XX0123P472741 11EX041224313 12 18(證明EF分別是邊CDCBBDEF 1ABCD∴EFACEFAOEFPO 2∵AO平面POA,PO平面POA, POO∴EF平面 3∴BD平面1∵DAB60
BOPABD為等邊三角形∴BD4,BH2,HA
HOPO .……5分33D33RtBHOBO
7 BH2BH2在△PBO中,BO2PO210PB2 6POEF BOOEFBFEDBOBFED∴PO平面BFED 7HHGAP,垂足為GBG由(1)BHPOAAPPOA∴BHAP ∴AP平面BHG 8BGBHGAPBG 9∴BGH為二面角BAPO的平面角 10AO2在Rt△POA中,AP AO2RtPOARtHGAPOAHGA90PAOHAG∴RtPOA~Rt ∴POPA 3232∴HG
125RtBHGtanBGHBH
5
13BAPO3
14 ,連接∵DAB60ABD為等邊三角形∴BD4,BH2,HA
33HOPO 533BH2在Rt△BHO中,BOBH2PBO中BO2PO210PB2 6POEF BOOEFBFEDBOBFED∴PO平面BFED 7以O(shè)OFxAOyOPz建立空間直角坐標(biāo)系OxyzA0330B2
3,0,P0,0,3,H0,
3 8zPDEH BFx∴AP0,33,3,AB2,23,zPDEH BFxPAB的法向量為nxyzA由nAPn
ABAB
3z……92x23yy1z3x3∴平面PAB的一個(gè)法向量為n3,1,3 10由(1)知平面PAO的一個(gè)法向量為BH2,0,0 11BAPO的平面角為則cos
nBHn
213213∴sin
130tansin 131cos2 1cos2BAPO319(
14(1)解a11an1
∴a2
1
13 1(2)1:由an1
1,得Sn1Sn
1, 2Sn1
12 3∵an0,∴Sn0 ∴數(shù)列
Sn是首項(xiàng)
1,公差為1的等差數(shù)列 1n1n 5Snn2 6當(dāng)n2時(shí),anSnSn1n2n122n1, 8a11an2n 92:由an1
1,得a 124S 2 當(dāng)n2時(shí),a12 ∴a 12a124S ∴a2a2∴a2a2∴an1an2a0an20 ∵an0∴an1an2 ∴數(shù)列an從第2項(xiàng)開始是以a23為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列 7an32n22n1n2. a11an2n 93:由已知及(1)得a11a23猜想an2n 2①當(dāng)n1,2時(shí),由已知a11211,a23221,猜想成 3k ②假設(shè)nkk2時(shí),猜想成立,即ak2kk 由已知ak1 k故a12 k
1,得a 124S∴ak112ak124SkSk14ak 5k
a2
2a20 kk∴ak1akak1ak2 kk∵ak0,ak10ak1ak20 7ak1ak22k122k1 8故當(dāng)nk1時(shí),猜想也成立由①②知,猜想成立,即an2n 9解:由(2)知
2n
Sn12n1n2 假設(shè)存在正整數(shù)k,ak
S2k1
a4k成等比數(shù)列2k
10即2k142k18k1 11∵k∴2k10∴2k138k∴8k312k26k18k
4k36k2k0 12∵k0∴4k26k1066243解得k66243 ∴不存在正整數(shù)k,ak
S2k1
a4k成等比數(shù) 14 1C2:2
20F2(20 1C1F1(20F2(20 y設(shè)橢圓C1a2
1ab0C1A
2,1)∴2a
AF1
4,得a2 2∴b2a2222 3x2y2∴橢圓C1的方程為
4 2C2:2
1
20F2(20 1C1F1(20F2(20 y設(shè)橢圓C
1ab0a2 C1A
2,1)∴2
2.∵a2b22 3由①②解得a24C1
b22x2y2
41:設(shè)點(diǎn)Qx,yP(x1,y1),A
2,1及橢圓C1B(2,1∴AQ(x
2,y1),AP(x1
2,y11)BQBQ(x 2,y1),BP(x12,y11)AQAP0AQAP0
2)(x1
5即(x
2)(x1
同理,BQBP0,
(x
2)(x1
6 ①②得(x22)(x22)(y21)(y21) 7 P在橢圓C上,
1x242y2
2(y21)(x22)(y21)(y21) 1y210時(shí),有2x2y25 11y210P(2,1P(21,此時(shí)點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為(211(2,1),其坐標(biāo)也滿足方程2x2y25 8PAP
2,1,由②得y
2x32x2y2 解方程組y
2x
得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
2,1或
2,2同理,PB重合時(shí),可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
2,22,1或 2,2∴點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2y25,除去四個(gè)點(diǎn)
2,1,2,2,
2,1 2,2 9 2:設(shè)點(diǎn)Qx,yP(x1,y1),A
2,1及橢圓C1B(2,1 ∴APAQ,BPBQx1 ∴x1
y1x
1x1
2 52x1 y2x1
y1x2y22
1x1y2
2. 6①②得 71x2 x21
∵點(diǎn)P在橢圓C1上
1
1y12111 2
1 y21
21
1, 1, 化簡(jiǎn)
2x2y251x2 x21
x2P(2,1P(21,此時(shí)點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為(21(2,1),其坐標(biāo)也滿足方程2x2y25 8PAP
2,1,由②得y
2x32x2y2 解方程組y
2x
得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
2,1或
2,2同理,PB重合時(shí),可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
2,22,1或 2,2∴點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2y25,除去四個(gè)點(diǎn)
2,1,2,2,
2,1 2,2 9 x 23x 2(3)解法1:點(diǎn)Qx,y到直線AB:x 2x 23x 2(2 2)2(2 2)2x2x22y22
103x3
2y
11 2而22xy2(2x)( )2
(當(dāng)且僅當(dāng)2x 222x22x22y22當(dāng)且僅當(dāng)2x
xx2y4x2 22時(shí),等號(hào)成立2
.……125x25x252522xy2由
x解得
22 x 22 或
13
y5
yQ
,此時(shí),2
的坐標(biāo)為2,2或22.…14解法2:AB
222223故當(dāng)點(diǎn)Q到直線AB的距離最大時(shí),△ABQ的面積最大 10設(shè)與直線AB平行的直線為x 2ym0由
2ym0x,得5y242my2c2502x2y252由32m2202m250,解得m 522若m52,則y2,x ;若m52,則y2,x 2.…122 故當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)
或
22ABQ2,2 2221221212212 2
5521((1)解fxln1xax2x,其定義域?yàn)?2fx1ax1xaxa1 11 1①當(dāng)a0時(shí),fx x,當(dāng)x0,時(shí),fx01fx在區(qū)間0,fxf00,不符合題意…2②當(dāng)0a1fx0x0x1a0 x0,1a時(shí),fx0,則fx在區(qū)間0,1a上單調(diào)遞減 a a 此時(shí),fxf00,不符合題意 3③
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