高二物理競賽正則坐標(biāo)、聲子課件

正則坐標(biāo)、聲子NaqlN

l

N2 2

2lml

2

[1

cos(qla)]1、

正則坐標(biāo)、聲子一、

正則坐標(biāo)一維單原子鏈晶格，第

n個(gè)原子的第l

個(gè)振動(dòng)模式引起的位移：unl

Alei(naql

lt)umn

um

un0mnxnm

2mn

x

2

mn

Nmn

mnm(n)u

2U

U

0n n

12在諧振近似和最近鄰近似下:22012nnn nuU

U

n1n1

u

u

u

假設(shè):第

n個(gè)原子受到的總相互作用勢能：在諧振近似和最近鄰近似下，一維單原子鏈晶格總振動(dòng)能量：2121212122nnnn2nnnn2n(umumumn1

n2n1n1

u2

2u u

)

u )2E

nnnUu

1

(u動(dòng)能勢能交叉項(xiàng)引入坐標(biāo)變換：lllAei

t12Q(q)

(Nm)2

1

Q(q

)(Nm)Aellli

tNlNnlnllA

eu u l

1

l

1i(naq

t)NinaqlqllQ(q

)e

(Nm)2

1NlnqlinaqlQ(q

)eu

(Nm)2

1NlNinaqqlinaqlnNm)einaqQ(q

)e

1 Q(q

)e21212Q(q )einaqu

(Nm)

1

Q(q2

einaql(Nm)

1是晶格振動(dòng)的一個(gè)本征態(tài)。Ninaq

inaqinaqeNm

1

1

e ,

1 21

Nme ,,

Nm構(gòu)成

維態(tài)空間。nl為基矢的

N 維新坐標(biāo)系下的新坐標(biāo)，稱為正則坐標(biāo)。Q(q

)

可以看成是原子振動(dòng)位移

u2

einaql在以

(Nm)

1NlqlinaqlnQ(q

)e2

1u

(Nm)inaqllllqlliaq

eiaql

unqlQ(q

)e

(Nm)

eQ(q

)eu

(Nm)2

11)aqi(n2

1n1在正則坐標(biāo)系下，由于原子的位移是實(shí)數(shù)，所以:nnu

ulqlinaqln)eQ (q

(Nm)2

1un

的共軛復(fù)數(shù)：uinaqllnQ(q

)eu

(Nm)2

1

lqlinaqQ (ql

)e12Q(ql

)

Q(ql

)ql

un (Nm)得到：num2n21lll

ql qliqq

nan

qlinaq

qlinaq

N

1122N1Q

(ql)Q

(ql)

enlQ

(ql)eQ

(ql)e將變換帶入振動(dòng)總能量方程:動(dòng)能項(xiàng)：NNl lql

,qleN

1ina(qq

)1

1nq

nall

1

eiqN當(dāng)ql

ql

時(shí)，當(dāng)時(shí)，ql

ql

0

1Nn n1q

naNN

1

eiqNll1

ei

2s

/

N

1

e 1

e

i

2s

/

N i

2sei2s

/

N

nNaqlN

l

N2 2

2lll

l lllllll

lll

lllqll

lqlllqliq

aliq

alq qiq

aliq

alqlNiqaliq

al

nqiq

ainaqlqiq

ainaqlnnaqQq

Qq

eiqq

naQ

Qq

Qq

e Nm222ql

,ql

qln1n11

cosQ

q

1

e

Qq1

eQq1

e

1Qq

1

e

Nq 1

e2m

qle 1

e 1

e

1 2

u )22

Qq

1

22 m12

2m1

e

2m

1

1

(u勢能項(xiàng)：得到正則坐標(biāo)下，一維單原子晶格振動(dòng)總能量方程：qll2Q(q )

12l

l

ql2212

Qq 12

12nn2n(u

u )2n1 numE

晶格總能量表示為

N個(gè)獨(dú)立的簡諧振子能量之和。在正則坐標(biāo)下，實(shí)際空間坐標(biāo)下

N個(gè)相互作用的一維原子鏈的諧振等效為由本征態(tài)

(Nm)1/

2

einaql

為基矢構(gòu)成的態(tài)空間中

N個(gè)獨(dú)立的諧振子，使晶格振動(dòng)總能量表示為關(guān)于正則坐標(biāo)的平方項(xiàng)之和，簡化問題處理。lllAei

t12Q(q)

(Nm)結(jié)論：nlll