高二物理競賽量子力學(xué) 課件

第20章量子力學(xué)20.6多電子原子

20.5電子自旋20.4氫原子20.3勢壘隧道效應(yīng)20.1波函數(shù)20.2薛定諤方程Title第20章量子力學(xué)

前者：適用于高能粒子，是狄拉克于1928年將量子論與相對論結(jié)合在一起而建立的，該理論很自然地解釋了電子自旋和電子磁矩的存在，并預(yù)言了正負(fù)電子對的湮滅與產(chǎn)生.近代物理學(xué)：相對論和量子力學(xué)量子力學(xué)：研究微觀世界的基本規(guī)律分為：相對論量子力學(xué)和非相對論量子力學(xué)

后者：適用于微觀低能粒子，包括三種等價的研究方法——波動力學(xué)、矩陣力學(xué)、路徑積分方法，分別由薛定諤(1926年）、海森伯（1925年）、狄拉克和費曼（1933年）創(chuàng)立。

本章從波動力學(xué)出發(fā)，通過求解薛定諤波動方程，說明微觀粒子的運動特征。20.1波函數(shù)20.1.1波函數(shù)據(jù)德布羅意假設(shè)：一個能量為E,動量為p的自由粒子,其有對應(yīng)的物質(zhì)波頻率和波長為：用波函數(shù)描述微觀粒子的運動狀態(tài)是量子力學(xué)的基本原理之一.

類比于機(jī)械波（一維平面簡諧波）的波函數(shù)，一維自由運動粒子的波函數(shù)為：式中

當(dāng)粒子處于外場中時，其物質(zhì)波就不再是單色平面波了，相應(yīng)的波函數(shù)要根據(jù)具體問題求解。

采用復(fù)數(shù)表示

上式即為一維自由運動粒子的波函數(shù)，它是一個周期性函數(shù)，體現(xiàn)了自由粒子的波動性，同時又體現(xiàn)了粒子性的物理量---能量E和動量p.20.1波函數(shù)

1926年，玻恩對波函數(shù)提出了一種統(tǒng)計解釋20.1.2波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

以電子的多晶衍射實驗為例：經(jīng)過足夠長的時間，當(dāng)電子數(shù)目足夠多時，屏幕上將會呈現(xiàn)一定的衍射圖樣。顯示出電子的波動性。K狹縫U電子射線金屬箔20.1波函數(shù)

.....物質(zhì)波強(qiáng)度所以空間某點電子出現(xiàn)的概率密度：物質(zhì)波亦稱概率波.20.1波函數(shù)20.1.3波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件和歸一化條件標(biāo)準(zhǔn)條件：單值、有限、連續(xù)歸一化條件：描述的相對概率分布相同：表示同一概率波.20.1波函數(shù)例20-1一粒子沿x軸運動，其波函數(shù)為式中a為常數(shù)，c為歸一化因子.（1）試求歸一化波函數(shù);(2)粒子在何處出現(xiàn)的概率最大？（3）試求粒子在（0,∞）區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率.解（1）由歸一化條件，在一維空間20.1波函數(shù)歸一化波函數(shù)所以，歸一化因子（2）粒子在任意位置的概率密度令得x=0處概率最大20.1波函數(shù)（3）粒子在（0,∞）區(qū)間出現(xiàn)的概率20.1波函數(shù)則它們的線性疊加所得到的波函數(shù)

如果是體系的可能態(tài)，*20.1.4態(tài)疊加原理也是體系的一個可能態(tài).20.1波函數(shù)20.2薛定諤方程

波函數(shù)滿足薛定諤方程是量子力學(xué)的基本原理之一20.2.1薛定諤方程

若粒子的質(zhì)量為m，在外力場中作三維運動，相應(yīng)的勢能為U,則波函數(shù)滿足下列微分方程含時的薛定諤方程1、含時的薛定諤方程

薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，其正確性只能通過試驗加以驗證.2、定態(tài)薛定諤方程兩邊除以可得：

若作用在粒子上的勢場不顯含時間t時，薛定諤方程可用分離變量法求它的特解.20.2薛定諤方程把常數(shù)c歸到空間部分，薛定諤方程的特解為：定態(tài)波函數(shù)（1）（2）（2）式的解為定態(tài)薛定諤方程

由于空間變量與時間變量相互獨立，所以等式兩邊必須等于同一個常數(shù)，設(shè)常數(shù)為E，則有20.2薛定諤方程

處于定態(tài)下的粒子具有確定的能量E，粒子在空間的概率密度分布不隨時間變化，所以力學(xué)量測量值的概率分布和平均值都不隨時間變化.

具有這種形式的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱之為定態(tài)，其波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)，E是粒子的能量。對應(yīng)的概率密度與時間無關(guān)∴（1）式就稱為定態(tài)薛定諤方程.

20.2薛定諤方程20.2.3一維無限深勢阱粒子的勢能函數(shù)為：例如金屬中的電子；原子中的電子等.20.2薛定諤方程一維定態(tài)薛定諤方程為：即勢阱外U(x)=∞方程的解必處處為零：20.2薛定諤方程在阱內(nèi)U=0令

則其通解：代入邊界條件得：20.2薛定諤方程

阱內(nèi)的波函數(shù)：由歸一化條件歸一化的波函數(shù)為：20.2薛定諤方程（1）粒子在阱中各處出現(xiàn)的概率并不相同.稱為基態(tài)能量或零點能討論：粒子在阱勢內(nèi)各處出現(xiàn)的概率為（2）能量量子化（3）零點能20.2薛定諤方程例16--2試計算電子在一維無限深勢阱中運動時，相鄰能級的能量差ΔEn。勢阱寬度分別為a=10-9m,10-2m;若勢阱中粒子是質(zhì)量m=6×10-17kg的浮塵，結(jié)果又如何？解根據(jù)能級公式20.2薛定諤方程對于浮塵能量可認(rèn)為連續(xù)分布。因為所以量子化明顯20.2薛定諤方程

電子在金屬內(nèi)受到正離子點陣形成的電場的作用，電子的勢能為：*20.2.3電子的逸出功xoa金屬真空真空U00aUx20.2薛定諤方程

解薛定諤方程得，在勢阱中運動的電子，其能量仍然是量子化的，電子的最上層能級稱為臨界能級或費米邊界，要使電子從金屬中逸出，所需的最少能量為：此即電子的逸出功，即愛因斯坦光電效應(yīng)方程中的A.20.2薛定諤方程*20.3勢壘隧道效應(yīng)粒子在核表面（0<x<a）勢能為常數(shù)，稱為方勢壘。

原子核的α粒子衰變中放出的α粒子的動量約4~9MeV，原子核表面有40MeV的勢能，α粒子如何從核內(nèi)放射出來？20.3.1勢壘OIIIIII

求解薛定諤方程，并根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，可求得粒子的透射系數(shù)和反射系數(shù)。

IIIIII隧道效應(yīng)在經(jīng)典力學(xué)中,若粒子的能量E<U0,它不可能穿過勢壘。

在量子力學(xué)中,無論粒子的能量是大于還是小于U0

,都有一定的概率透過勢壘(也有一定的概率被反射)。這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。當(dāng)E<<U0，a不算小時，透射系數(shù)*20.3勢壘隧道效應(yīng)當(dāng)U0-E=1MeV時，勢壘的寬度為a=10-14m時，透射系數(shù)D=10-4；若a=10-13m時透射系數(shù)D=10-38

，隧道效應(yīng)在實際上已經(jīng)沒有意義了，量子概念過渡到經(jīng)典。IIIIII*20.3勢壘隧道效應(yīng)20.3.3掃描隧道顯微鏡樣品表面掃描探針橫向掃描電子云

掃描隧道顯微鏡（STM）的基本原理是利用量子理論中的隧道效應(yīng)。將原子線度的極細(xì)探針和被研究物質(zhì)的表面作為兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時（通常小于1nm），在外加電場的作用下，電子會穿過兩個電極之間的勢壘流向另一電極。這種現(xiàn)象即是隧道效應(yīng)。

當(dāng)探針在樣品表面上方的恒定高度進(jìn)行橫向掃描時，測出電流的變化即可知道樣品表面結(jié)構(gòu)。*20.3勢壘隧道效應(yīng)20.4氫原子

氫原子是最簡單的原子，是量子力學(xué)中少數(shù)可以得到精確解的體系之一。20.4.1氫原子的波函數(shù)

氫原子核外只有一個電子，作為一級近似，認(rèn)為核是靜止的，電子的勢能函數(shù)為：其定態(tài)薛定諤方程為：

Z=1氫原子,Z=2,3,4,...,He+，Li++，Be+++等類氫原子.主量子數(shù)角量子數(shù)磁量子數(shù)

當(dāng)三個量子數(shù)一定時，確定，電子出現(xiàn)的概率密度確定。因此，氫原子中電子的狀態(tài)由量子數(shù)n,l和ml確定。據(jù)計算，在能量E<0的情況下，為滿足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件,E只能取量子化的值：20.4氫原子

20.4.2能量量子化由能量公式，知氫原子的能量與量子數(shù)n有關(guān)，是量子化的.

除基態(tài)外，各激發(fā)態(tài)都不穩(wěn)定，都傾向于向低能態(tài)躍遷，壽命約10-10~10-8s20.4氫原子玻爾的氫原子理論（1913年）：（1）定態(tài)假設(shè)：原子只能處在一系列的分離的能量狀態(tài)E1,E2,…,En,這些狀態(tài)稱為定態(tài)。（2）頻率假設(shè)：（3）角動量量子化假設(shè)由玻爾理論得到的氫原子定態(tài)能量與量子力學(xué)的結(jié)果完全相同。20.4氫原子當(dāng)電子從高能態(tài)En躍遷到低能態(tài)Ek時,輻射的電磁波頻率:稱為里德伯常量20.4氫原子126534賴曼系巴耳末系帕邢系布喇開系普豐德系20.4氫原子例20-3把氫原子中的電子從n=3的激發(fā)態(tài)電離出去，至少需要多少能量？解由能級公式，有因此，電子電離時至少需要的能量為20.4氫原子例20-4以動能E=12.5eV的電子與氫原子碰撞，最高可以把氫原子激發(fā)到哪一能級？當(dāng)原子向低能級躍遷時，可能產(chǎn)生哪些譜線？解設(shè)氫原子處于基態(tài)，全部吸收電子的動能后躍遷到第n個能級，則據(jù)能量守恒得：解得：n=3.5

原子從n=3的能級向低能級躍遷時，可產(chǎn)生3條譜線。

∵n只能取整數(shù)，n=320.4氫原子n=3n=2n=120.4氫原子20.4.3角動量量子化

式中l(wèi)為角量子數(shù)，它決定了電子在核外運動的角動量大小。當(dāng)主量子數(shù)n一定時，l有n個可能的取值，這表明當(dāng)原子的能量En一定時，電子有n種可能的繞核運動。

量子力學(xué)的計算表明，電子在核外運動的軌道角動量L也是量子化的，其大小為20.4氫原子20.4.4角動量的空間量子化Lz由磁量子數(shù)ml決定。當(dāng)l一定時ml有(2l+1)個可能的值，即角動量L在空間有(2l+1)個可能的取向。角動量L在任一方向的分量Lz也是量子化的oLm=0m=1m=-2m=-1m=2BZ20.4氫原子*20.4.5氫原子核外電子的概率分布

根據(jù)量子力學(xué)的計算，原子中的電子并不是沿一定的軌道運動，而是按一定的概率分布出現(xiàn)在原子核周圍，這種概率分布可以形象地稱為電子云。用電子云的疏密反映電子出現(xiàn)概率的大小。20.4氫原子20.5電子自旋

實驗表明，自旋和靜止質(zhì)量、電荷等物理量一樣，是基本粒子的固有屬性。

當(dāng)一束角動量為零（L=0)的射線通過非均勻磁場時，射線發(fā)生分離，分成了兩束。20.5.1.施特恩—格拉赫實驗

直接驗證電子具有自旋的實驗是1921年，施特恩和格拉赫為了檢驗電子角動量的空間量子化而進(jìn)行的實驗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)了另外的現(xiàn)象。

因軌道角動量為0，在外磁場中的取向只能是一個，所以無法用軌道角動量的空間量子化來解釋。SN施特恩—格拉赫實驗原子射線SN20.5電子自旋20.5.2電子自旋

1925年，25歲的大學(xué)生烏倫貝克和高德斯密特為了解釋以上現(xiàn)象以及光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)，提出了電子自旋的假設(shè)。

認(rèn)為電子除了有軌道運動以外，還存在著由自身屬性所決定的固有運動，稱為自旋運動。相應(yīng)角動量稱為自旋角動量S，它在空間任一方向上的投影SZ只能取兩個值：

稱為自旋磁量子數(shù)與軌道角動量滿足的規(guī)律相似，自旋角動量s稱為自旋量子數(shù)20.5電子自旋主量子數(shù)決定電子的能量:角量子數(shù)決定電子軌道角動量來描述。氫原子的狀態(tài)由四個量子數(shù)磁量子數(shù)決定軌道角動量的空間取向:自旋磁量子數(shù)決定自旋角動量的空間取向:

20.5電子自旋

1、費米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)。例：電子、質(zhì)子和中子等。

20.5.3費米子與玻色子

實驗表明：不僅電子有自旋，其他基本粒子也同樣具有自旋，不同的粒子自旋量子數(shù)不同。根據(jù)自旋量子數(shù)的不同，把基本粒子分成了兩大類：例：電子、質(zhì)子、中子這些粒子的自旋量子數(shù)為1/2，

光子的自旋量子數(shù)為1，粒子的自旋量子數(shù)為0。20.5電子自旋

由費米子組成的粒子系統(tǒng)，服從費米—狄拉克統(tǒng)計，遵從泡利不相容原理的約束，一個量子態(tài)只能有一個粒子占據(jù)。

由玻色子組成的粒子系統(tǒng)，服從玻色---愛因斯坦統(tǒng)計，可以由多個粒子處于同一量子態(tài)，且粒子數(shù)不受限制。2、玻色子：自旋量子數(shù)s=0,1,2……為零或整數(shù)的粒子。

例：光子、π介子、氫原子以及

粒子等。

20.5電子自旋20.6多電子原子

對于多電子原子，薛定諤方程不能精確求解，但可以利用單電子近似方法求得足夠精確的解。其結(jié)果是，在原子中每個電子的狀態(tài)仍可以用n,l,ml和ms四個量子數(shù)來確定。1)主量子數(shù)n2）角量子數(shù)ln=1,2,3,…，它決定電子能量的主要部分。l=0，1，2，…,n-1,它決定電子的軌道角動量大小，對能量也有稍許影響，按（n+0.7l）的數(shù)值決定能級的高低。20.6.1多電子原子的電子狀態(tài)4）自旋磁量子數(shù)msms=+1/2,-1/2,它決定電子自旋角動量的空間取向或在外磁場中的取向。3）磁量子數(shù)mlml=0，±1，±2，…….,±l,它決定電子軌道角動量的空間取向或在外磁場中的取向。20.6多電子原子1.泡利不相容原理(1925年)

在一個原子系統(tǒng)中,不可能有兩個或兩個以上的電子處于相同的量子態(tài)，即它們不可能具有完全相同的四個量子數(shù)（n，l，ml

，ms

）。

20.6.2原子的殼層結(jié)構(gòu)

原子處于正常狀態(tài)時，它的每