第四章-插值法及曲線擬合

1第四章插值與曲線擬合§1引言§2拉格朗日插值多項(xiàng)式§3牛頓插值多項(xiàng)式§4分段低次插值§5

最小二乘擬合2§1引言1.

1插值問(wèn)題的提法在生產(chǎn)和科研中出現(xiàn)的函數(shù)是多種多樣的。常遇到這種情況：在某個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù)在區(qū)間上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達(dá)式，只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)得到在有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來(lái)分析函數(shù)的性態(tài)、甚至直接求出其3它一些點(diǎn)上的函數(shù)值是非常困難的。在有些情況下，雖然可以寫(xiě)出函數(shù)的解析表達(dá)式，但由于結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，使用起來(lái)很不方便。面對(duì)這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解析表達(dá)式），構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)P(x)作為的近似。

插值法是解決此類問(wèn)題的一種比較古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)。4定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在n+1個(gè)不同的點(diǎn)上分別取值，在一個(gè)性質(zhì)優(yōu)良、便于計(jì)算的函數(shù)類φ

中，求一簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)，使

而在其它點(diǎn)上，作為f(x)的近似。稱區(qū)間為插值區(qū)間，點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，稱（1.1）為f(x)的插值條件，稱函數(shù)類φ

為插值函數(shù)類，稱p(x)為函數(shù)在(1.1)5節(jié)點(diǎn)處的插值函數(shù)。求插值函數(shù)p(x)的方法稱為插值法。插值函數(shù)類φ的取法不同，所求得的插值函數(shù)p(x)逼近f(x)的效果就不同它的選擇取決于使用上的需要。常用的有代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式和有理函數(shù)等。當(dāng)選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值問(wèn)題就稱為多項(xiàng)式插值。在多項(xiàng)式插值中，最常見(jiàn)、最基本的問(wèn)題是：求一次數(shù)不超過(guò)n的代數(shù)多項(xiàng)式6

(1.2)使其中為實(shí)數(shù)。滿足插值條件(1.3)的多項(xiàng)式(1.2)，稱為函數(shù)f(x)

在節(jié)點(diǎn)處的n次插值值多項(xiàng)式。

n次插值多項(xiàng)式的幾何意義：過(guò)曲線y=f(x)上的n+1個(gè)點(diǎn)作一條n次代數(shù)曲線，作為曲線y=f(x)的近似，如圖2-1。

(1.3)78

1.2插值多項(xiàng)式存在唯一性由插值條件（1.3）知，插值多項(xiàng)式的系數(shù)滿足線性方程組

（1.4）由線性代數(shù)知，線性方程組的系數(shù)行列式（記為V）是n+1階范德蒙（Vandermonde）行列式，且9

因是區(qū)間上的不同點(diǎn)，上式右端乘積中的每一個(gè)因子，于是，方程組（1.4）的解存在且唯一。故有下面的結(jié)論：定理1

若節(jié)點(diǎn)互不相同，則滿足插值條件（1.3）的n次插值多項(xiàng)式（1.2）存在且唯一。

10§2拉格朗日插值多項(xiàng)式在上一節(jié)里，我們不僅指出了插值多項(xiàng)式的存在唯一性，而且也提供了它的一種求法，即通過(guò)解線性方程組（1.4）來(lái)確定其系數(shù)，但是，這種作法的計(jì)算工作量大，不便于實(shí)際應(yīng)用，下面介紹幾種簡(jiǎn)便的求法。

2.1插值基函數(shù)先考慮一下簡(jiǎn)單的插值問(wèn)題：對(duì)節(jié)點(diǎn)中任一點(diǎn)

,作一n次多項(xiàng)式

,使它在該點(diǎn)上取值為1,而在其余點(diǎn)

上取值為零,即

（2.1）（2.1）表明n個(gè)點(diǎn)

都是n次多項(xiàng)式的零點(diǎn)，故可設(shè)11其中

為待定系數(shù)，由條件

可得故

(2.2)對(duì)應(yīng)于每一節(jié)點(diǎn)，都能求出一個(gè)滿足插值條件（2.1）的n次插值多項(xiàng)式（2.2），這樣，由（2.2）式可以求出n+1個(gè)n次插插多項(xiàng)式

。容易看出，這組多項(xiàng)式僅與節(jié)點(diǎn)的取法有關(guān)，稱它們?yōu)樵趎+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的n次基本插值多項(xiàng)式或n次插值基函數(shù)。12

2.2拉格朗日插值多項(xiàng)式利用插值基函數(shù)立即可以寫(xiě)出滿足插值條件（1.3）的n次插值多項(xiàng)式

（2.3）事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù)

都是n次多項(xiàng)式，故其線性組合（2.3）必是不高于n次的多項(xiàng)式，同時(shí)，根據(jù)條件（2.1）容易驗(yàn)證多項(xiàng)式（2.3）在節(jié)點(diǎn)

處的值為

，因此，它就是待求的n次插值多項(xiàng)式。形如(2.3)的插值多項(xiàng)式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式，記為

（2.4)13

作為的特例，令n=1，由（2.4）即得兩點(diǎn)插值公式即這是一個(gè)線性函數(shù)，用線性函數(shù)

近似代替函數(shù)，在幾何上就是通過(guò)曲線

上兩點(diǎn)

作一直線

近似代替曲線(見(jiàn)圖2-2)，故兩點(diǎn)插值又名線性插值。

若令n=2，由（2.4）又可得常用的三點(diǎn)插值公式

（2.5）

（2.6）（2.7）))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL----+----+----=14這是一個(gè)二次函數(shù)，用二次函數(shù)近似代替函數(shù)，在幾何上就是通過(guò)曲線上的三點(diǎn)，作一拋物線近似地代替曲線（圖2-3），故三點(diǎn)插值(二次插值)。例1

已知分別用線性插值和拋物插值求的值。x0y圖2-215解

因?yàn)?15在100和121之間，故取節(jié)點(diǎn)x0=100，x1=121相應(yīng)地有

y0=10，y1=11，于是，由線性插值公式（2.5）可得故用線性插值求得的近似值為圖2-3yx016仿上，用拋物插值公式（2.7）所求得的近似值為將所得結(jié)果與的精確值10.7238…相比較，可以看出拋物插值的精確度較好。為了便于上機(jī)計(jì)算，我們常將拉格朗日插值多項(xiàng)式（2.4）改寫(xiě)成公式（2.8）的對(duì)稱形式可用二重循環(huán)來(lái)完成值的計(jì)算，先通過(guò)內(nèi)循環(huán)，即先固定k，令j從0到，累乘求得

（2.8）17

然后再通過(guò)外循環(huán)，即令k從0到n，累加得出插值結(jié)果。

2.3插值余項(xiàng)在插值區(qū)間[a,b]上用插值多項(xiàng)式近似代替，除了在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒(méi)有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在有誤差的。若記則

就是用近似代替時(shí)所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差，稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。

18

的n次插值多項(xiàng)式，則對(duì)于任何，有其中且依賴于。

（2.9）關(guān)于誤差有如下定理2中的估計(jì)式。定理2

設(shè)在區(qū)間上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，為區(qū)間上n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)，為滿足條件:19例2

在例1中分別用線性插值和拋物插值計(jì)算了的近似值，試估計(jì)它們的截?cái)嗾`差。解

用線性插值求的近似值，其截?cái)嗾`差由插值余項(xiàng)公式（2.9）知

現(xiàn)在x0=100，x1=121，x=115，故20

當(dāng)用拋物插值求

的近似值時(shí)，其截?cái)嗾`差為

將代入，即得

§3牛頓插值多項(xiàng)式由線性代數(shù)可知，任何一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式，都可表示成函數(shù)的線性組合，即可將滿足插值條件的n次多項(xiàng)式寫(xiě)成形式其中為待定系數(shù)。這種形式的插值多項(xiàng)式稱為牛頓﹙Newton﹚插值多項(xiàng)式，我們把它記成Νn﹙x﹚,即

（3.1)21

22

因此，牛頓插值多項(xiàng)式是插值多項(xiàng)式的另一種表示形式,與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算機(jī)工作必須重新開(kāi)始”﹙見(jiàn)例1﹚的缺點(diǎn)，而且可以節(jié)省乘﹑除法運(yùn)算次數(shù)。同時(shí)，在牛頓插值多項(xiàng)式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其它方面有著密切的關(guān)系.3.1向前差分與牛頓插值公式設(shè)函數(shù)?﹙x﹚在等距節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為已知，其中h是正常數(shù)，稱為步長(zhǎng)，稱兩個(gè)相鄰點(diǎn)和處函數(shù)值之差為函數(shù)?﹙x﹚在點(diǎn)處以h為步長(zhǎng)的一階向前差分﹙簡(jiǎn)稱一階差分﹚，記作，即于是，函數(shù)?﹙x﹚在各節(jié)點(diǎn)處的一階差分依次為

又稱一階差分的差分為二階差分。23一般地，定義函數(shù)?﹙x﹚在點(diǎn)處的m階差分為

為了便于計(jì)算與應(yīng)用，通常采用表格形式計(jì)算差分，如表2-1所示。表2-124

在等距節(jié)點(diǎn)情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項(xiàng)式﹙3.1﹚

的系數(shù)，并將所得公式加以簡(jiǎn)化。事實(shí)上，由插值條件

立即可得

再由插值條件可得由插值條件可得

一般地，由插值條件可得

25

于是，滿足插值條件的插值多項(xiàng)式為

令,并注意到，則可簡(jiǎn)化為

這個(gè)用向前差分表示的插值多項(xiàng)式，稱為牛頓向前插值公式，簡(jiǎn)稱前插公式。它適用于計(jì)算表頭附近的函數(shù)值。由插值余項(xiàng)公式﹙2.9﹚，可得前插公式的余項(xiàng)為：﹙3﹒2﹚26

（3.3)例4

從給定的正弦函數(shù)表﹙表2-2左邊兩列﹚出發(fā)計(jì)算,并估計(jì)截?cái)嗾`差。表2—20.10.20.30.40.50.60.295520.198670.099830.479430.389420.564640.098840.096850.093900.090010.08521-0.00389-0.00295-0.00094-0.00096-0.00480-0.00091-0.0019927解

因?yàn)?.12介于0.1與0.2之間，故取，此時(shí)。為求,構(gòu)造差分表2—2。表中長(zhǎng)方形框中各數(shù)依次為在處的函數(shù)值和各階差分。若用線性插值求sin﹙0.12﹚的近似值，則由前插公式﹙3.2﹚立即可得用二次插值得用三次插值得：28

因很接近，且由差分表2—2可以看出，三階差分接近于常數(shù)（即接近于零），故取作為的近似值，此時(shí)由余項(xiàng)公式（3.3）可知其截?cái)嗾`差

3.2向后差分與牛頓向后插值公式在等距節(jié)點(diǎn)下，除了向前差分外，還可引入向后差分和中心差分，其定義和記號(hào)分別如下：在點(diǎn)處以h為步長(zhǎng)的一階向后差分和m階向后差分分別為29

在點(diǎn)處以為步長(zhǎng)的一階中心差分和m階中心差分分別為其中

各階向后差分與中心差分的計(jì)算，可通過(guò)構(gòu)造向后差分表與中心差分表來(lái)完成?參見(jiàn)表2－２?。利用向后差分，可簡(jiǎn)化牛頓插值多項(xiàng)式（３.1），導(dǎo)出與牛頓前插公式?3.2?類似的公式，即，若將節(jié)點(diǎn)的排列次序看作，那么?３.1)可寫(xiě)成

30根據(jù)插值條件,可得到一個(gè)用向后差分表示的插值多項(xiàng)式其中t<0，插枝多項(xiàng)式(3.4)稱為牛頓向后插值公式，簡(jiǎn)稱后插公式。它適用于計(jì)算表尾附近的函數(shù)值。由插值余項(xiàng)公式（２.9），可寫(xiě)出后插公式的余項(xiàng)(3.4)31(3.5)例５已知函數(shù)表同例４，計(jì)算，并估算截?cái)嗾`差。解因?yàn)椋?58位于表尾附近，故用后插公式（3.4）計(jì)算sin(0.58)的近似值。一般地為了計(jì)算函數(shù)在處的各階向后差分，應(yīng)構(gòu)造向后差分表。但由向前差分與向后差分的定義可以看出，對(duì)同一函數(shù)表來(lái)說(shuō)，構(gòu)造出來(lái)的向后差分表與向前差分表在數(shù)據(jù)上完全相同。因此，表２-２用“——”線標(biāo)出的各數(shù)依次給出了在處的函數(shù)值和向后差分值。因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計(jì)算，且，于是由后插公式（3.4）得32

因?yàn)樵谡麄€(gè)計(jì)算中，只用到四個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，故由余項(xiàng)公式（３.5）知其截?cái)嗾`差333.3差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)非等距分布時(shí)，就不能引入差分來(lái)簡(jiǎn)化牛頓插值多項(xiàng)式，此時(shí)可用差商這個(gè)新概念來(lái)解決。設(shè)函數(shù)在一串互異的點(diǎn)上的值依次為

。我們稱函數(shù)值之差與自變量之差的比值為函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的一階差商，記作例如

34稱一階差商的差商為函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的二階差商（簡(jiǎn)稱二階差商），記作，例如一般地，可通過(guò)函數(shù)的m-1階差商定義的m階差商如下：35

差商計(jì)算也可采用表格形式（稱為差商表），如表2—3所示，表2—3

一階差商二階差商三階差商36差商具有下列重要性質(zhì)（證明略）：（1）

函數(shù)的m階差商可由函數(shù)值的線性組合表示，且（2）差商具有對(duì)稱性，即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序，不影響差商的值。例如（３）當(dāng)在包含節(jié)點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間上存在時(shí)，在之間必有一點(diǎn)使37（４）在等距節(jié)點(diǎn)情況下，可同時(shí)引入階差分與差商，且有下面關(guān)系：引入差商的概念后，可利用差商表示牛頓插值多項(xiàng)式（３.1）的系數(shù)。事實(shí)上，從插值條件出發(fā)，可以象確定前插公式中的系數(shù)那樣，逐步地確定（３.1）中的系數(shù)故滿足插值條件的n次插值多項(xiàng)式為38

（3.6）（3.6）稱為牛頓基本插值多項(xiàng)式，常用來(lái)計(jì)算非等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。例６試用牛頓基本插值多項(xiàng)式按例１要求重新計(jì)算的近似值。解先構(gòu)造差商表。由上表可以看出牛頓基本插值多項(xiàng)式(3.6)中各系數(shù)依次為一階商差二階商差10012111100.0434780.047619-0.0000941441239

故用線性插值所得的近似值為用拋物插值所求得的近似值為

所得結(jié)果與例1相一致。比較例1和例6的計(jì)算過(guò)程可以看出，與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是明顯的。由插值多項(xiàng)式的存在唯一性定理知，滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項(xiàng)式（2.4）與牛頓基本插值多項(xiàng)式（3.6）是同一多項(xiàng)式。因此，余項(xiàng)公式（2.9）也適用于牛頓插值。但是在實(shí)際計(jì)算中，有時(shí)也用差商表示的余項(xiàng)公式40

（3.7）來(lái)估計(jì)截?cái)嗾`差（證明略）。注意：上式中的n+1階商差與的值有關(guān)，故不能準(zhǔn)確地計(jì)算出的精確值，只能對(duì)它作一種估計(jì)。例，當(dāng)四階差商變化不大時(shí)，可用近似代替。

分段線性插值Runge現(xiàn)象給定函數(shù)取等距插值節(jié)點(diǎn)建立10次插值多項(xiàng)式43

-101xy

1y=1/(1+25x2)y=L5(x)圖2-5y=L10(x)分段線性插值

分段線性插值就是通過(guò)插值節(jié)點(diǎn)用折線段連接起來(lái)逼近f(x)。

設(shè)f(x)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為,在每個(gè)小區(qū)間(k=0,1,…，n）上作線性插值，得在幾何上就是用折線替代曲線,如右圖所示若用插值基函數(shù)表示,則在a,b上

其中顯然，是分段線性連續(xù)函數(shù)，且

稱S(x)為f(x)的分段線性插值函數(shù)。由線性插值的余項(xiàng)估計(jì)式知,f(x)在每個(gè)子段上有誤差估計(jì)式其中例5.19已知f(x)在四個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值如下表所示

304560901求f(x)在區(qū)間30,90上的分段連續(xù)線性插值函數(shù)S(x)

解將插值區(qū)間30,90分成連續(xù)的三個(gè)小區(qū)間

30,45,45,60,60,90則S(x)在區(qū)間30,45上的線性插值為

S(x)在區(qū)間45,60上的線性插值為

S(x)在區(qū)間60,90上的線性插值為將各小區(qū)間的線性插值函數(shù)連接在一起，得

三次Hermite插值問(wèn)題:已知函數(shù)f(x)在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)x0,x1上的函數(shù)值分別為y0,y1

及一階導(dǎo)數(shù)值分別為m0,m1構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)H3(x)，使?jié)M足條件

1°H3(x)是次數(shù)3的多項(xiàng)式

2°H3(x0)=y0,H3(x1)=y1,H'3(x0)=m0

H'3(x1)=m1

稱這類插值問(wèn)題為三次Hermite插值問(wèn)題.首先求做三次多項(xiàng)式h0(x),h1(x),h0(x),h1(x),使其滿足

h0(x0)=1,h0(x1)=0,h'0(x0)=0,h'0(x1)=0h1(x0)=0,h1(x1)=1,h'1(x0)=0,h'1(x1)=0

h0(x0)=0,h0(x1)=0,h'0(x0)=1,h'0(x1)=0

h1(x0)=0,h1(x1)=0,h'1(x0)=0,h'1(x1)=1設(shè)

由h0(x0)=1，得a=1,再由h'0(x0)=0，得，于是同理有設(shè)

由h'0(x0)=1，得a=1,于是同理有顯然H3(x)=y0h0(x)+y1h1(x)+m0h0(x)+m1h1(x)其中三次Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)定理3

設(shè)H3(x)

是以x0,x1為插值節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值多項(xiàng)式，若f(x)C3[a,b]，f(4)(x)在(a,b)上存在，其中

[a,b]是包含(x0,x1)的任一區(qū)間，則對(duì)任意給定的x[a,b]

，總存在一點(diǎn)(a,b)（依賴于x）使

曲線擬合的最小二乘法

如果已知函數(shù)f(x)在若干點(diǎn)xi(i=1,2,…,n)處的值yi,便可根據(jù)插值原理來(lái)建立插值多項(xiàng)式作為f(x)的近似。但在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，往往會(huì)遇到這樣一種情況，即節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值并不是很精確的，這些函數(shù)值是由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)，不可避免地帶有測(cè)量誤差，如果要求所得的近似函數(shù)曲線精確無(wú)誤地通過(guò)所有的點(diǎn)(xi,yi),就會(huì)使曲線保留著一切測(cè)試誤差。當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí),插值效果顯然是不理想的。此外,由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)提供的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)往往很多,如果用插值法,勢(shì)必得到次數(shù)較高的插值多項(xiàng)式，這樣計(jì)算起來(lái)很煩瑣。為此,我們希望從給定的數(shù)據(jù)(xi,yi)出發(fā),構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù),不要求函數(shù)完全通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)，如圖5-7所示。圖5-7曲線擬合示意圖

換句話說(shuō):求一條曲線,使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線的上方或下方不遠(yuǎn)處,所求的曲線稱為擬合曲線,它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布,又不至于出現(xiàn)局部較大的波動(dòng),更能反映被逼近函數(shù)的特性,使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來(lái)說(shuō)其偏差按某種方法度量達(dá)到最小,這就是曲線擬合。

與函數(shù)插值問(wèn)題不同,曲線擬合不要求曲線通過(guò)所有已知點(diǎn),而是要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的基本關(guān)系。在某種意義上,曲線擬合更有實(shí)用價(jià)值。在對(duì)給出的實(shí)驗(yàn)(或觀測(cè))數(shù)據(jù)作曲線擬合時(shí),怎樣才算擬合得最好呢？一般希望各實(shí)驗(yàn)(或觀測(cè))數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差的平方和最小,這就是最小二乘原理。

兩種逼近概念:

插值:在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同.

擬合:在數(shù)據(jù)點(diǎn)處誤差平方和最小函數(shù)插值是插值函數(shù)P(x)與被插函數(shù)f(x)在節(jié)處函數(shù)值相同,即而曲線擬合函數(shù)不要求嚴(yán)格地通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn),也就是說(shuō)擬合函數(shù)在xi處的偏差(亦稱殘差）

不都嚴(yán)格地等于零。但是,為了使近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì),要求按某種度量標(biāo)準(zhǔn)最小。若記向量,即要求向量某種范數(shù)最小,如的1-范數(shù)或∞-范數(shù)即或

最小。為了便于計(jì)算、分析與應(yīng)用，通常要求的2-范數(shù)即為最小。這種要求誤差（偏差）平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。

（1）直線擬合設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn),分布大致為一條直線。作擬合直線,該直線不是通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn),而是使偏差平方和為最小，其中每組數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差為根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)取和使有極小值，故和應(yīng)滿足下列條件：即得如下正規(guī)方程組

(5.45)例設(shè)有某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：12341.361.371.952.2814.09416.84418.47520.963

用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)解:把表中所給數(shù)據(jù)畫(huà)在坐標(biāo)紙上,將會(huì)看到數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布可以用一條直線來(lái)近似地描述,設(shè)所求的

擬合直線為記x1=1.36,x2=1.37,x3=1.95x4=2.28,y1=14.094,y2=16