2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步4.2空間圖形的公理(二)學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4.2空間圖形的公理（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握公理4及等角定理.2。掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角．知識(shí)點(diǎn)一平行公理(公理4）思考在平面內(nèi),直線a，b,c，若a∥b，b∥c，則a∥c。該結(jié)論在空間中是否成立？梳理平行公理(1）文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行．(2）符號(hào)表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a∥b,b∥c）)?a∥c.知識(shí)點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系思考在同一平面內(nèi)，兩條直線有幾種位置關(guān)系？觀察下面兩個(gè)圖形，你能找出既不平行又不相交的兩條直線嗎?梳理異面直線的概念(1)定義：不同在______________平面內(nèi)的兩條直線．（2)異面直線的畫(huà)法(襯托平面法)如圖（1)（2)所示，為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái)襯托．(3)判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交．（4)空間兩條直線的三種位置關(guān)系①?gòu)氖欠裼泄颤c(diǎn)的角度來(lái)分：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（沒(méi)有公共點(diǎn)\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（，）),有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)—-)）②從是否共面的角度來(lái)分:eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（在同一平面內(nèi)\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(,）)，不同在任何一個(gè)平面內(nèi)-—））知識(shí)點(diǎn)三等角定理思考觀察圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？梳理等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)________，則這兩個(gè)角________或________．知識(shí)點(diǎn)四異面直線所成的角思考在長(zhǎng)方體A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角"是否相等？梳理異面直線所成角的定義定義前提兩條異面直線a,b作法經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b結(jié)論我們把a(bǔ)′與b′所成的______________叫作異面直線a與b所成的角(或夾角）范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則________________．特殊情況當(dāng)θ＝________時(shí)，a與b互相垂直，記作：________.類型一公理4及等角定理的應(yīng)用例1在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別棱AD和A1D1的中點(diǎn)．求證：∠BMC＝∠B1M1C1.反思與感悟（1）空間兩條直線平行的證明：①定義法：即證明兩條直線在同一平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)．②利用公理4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2）“等角”定理的結(jié)論是相等或互補(bǔ),在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般是借助于圖形判斷是相等，還是互補(bǔ),還是兩種情況都有可能．跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中,M，N分別是棱CD,AD的中點(diǎn)．求證：（1)四邊形MNA1C1是梯形；(2）∠DNM＝∠D1A1C1.類型二異面直線eq\x(命題角度1異面直線的判定）例2(1）若a，b是異面直線,b,c是異面直線,則a，c的位置關(guān)系是（)A．異面 B．相交或平行C．平行或異面 D．相交、平行或異面(2）如圖，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線?反思與感悟判斷兩直線是否為異面直線,只需判斷它們是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是異面直線．跟蹤訓(xùn)練2(1)在四棱錐P－ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對(duì)．（2)如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對(duì)？分別是哪幾對(duì)？eq\x(命題角度2求異面直線所成的角）例3如圖所示，已知三棱錐A－BCD中,AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點(diǎn)M,N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角．反思與感悟（1）異面直線一般依附于某幾何體，所以在求異面直線所成的角時(shí)，首先將異面直線平移成相交直線,而定義中的點(diǎn)O常選取兩異面直線中其中一個(gè)線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)或幾何體中的某個(gè)特殊點(diǎn)．（2）求異面直線所成的角的一般步驟①作角:平移成相交直線．②證明：用定義證明前一步的角為所求．③計(jì)算：在三角形中求角的大小，但要注意異面直線所成的角的范圍．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E,F分別為平面A′B′C′D′與AA′D′D的中心,則EF與CD所成角的度數(shù)是______．1．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（)A．平行或異面 B．相交或異面C．異面 D．相交2．若OA∥O′A′,OB∥O′B′，且∠AOB＝130°,則∠A′O′B′為(）A．130°B．50°C．130°或50°D．不能確定3．下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是()①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②平行于同一直線的兩直線平行；③若直線a，b，c滿足a∥b,b⊥c，則a⊥c;④若直線l1，l2是異面直線,則與l1,l2都相交的兩條直線是異面直線．A．1B．2C．3D．44．如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．（填序號(hào))5．如圖所示,在正方體ABCD—A1B1C1D1中．（1)求A1C1與B1C所成角的大??；(2）若E,F分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。?．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．2．在研究異面直線所成角的大小時(shí)，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．將空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化,這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強(qiáng)調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°,90°]，解題時(shí)經(jīng)常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線所成角的大?。鳟惷嬷本€所成的角．可通過(guò)多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法:①直接平移法（可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補(bǔ)形平移法（在已知圖形中,補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線）．答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考成立．知識(shí)點(diǎn)二思考平行與相交．教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線；六角螺母中直線AB與CD.梳理(1）任何一個(gè)(4）①平行異面相交②平行相交異面知識(shí)點(diǎn)三思考從圖中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.梳理平行相等互補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)四思考相等．梳理銳角（或直角)0°〈θ≤90°90°a⊥b題型探究例1證明在正方形ADD1A1中，M，M1分別為AD,A1D1的中點(diǎn),∴A1M1綊AM，∴四邊形AMM1A1是平行四邊形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B,∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM。由平面幾何知識(shí)可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角．∴∠BMC＝∠B1M1C1。跟蹤訓(xùn)練1證明（1）如圖，連接AC，在△ACD中，∵M(jìn),N分別是CD,AD的中點(diǎn)，∴MN是△ACD的中位線，∴MN∥AC，MN＝eq\f（1，2)AC.由正方體的性質(zhì)得AC∥A1C1，AC＝A1C1?！郙N∥A1C1,且MN＝eq\f（1,2）A1C1,即MN≠A1C1,∴四邊形MNA1C1是梯形．(2）由（1）可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)．而∠DNM與∠D1A1C1均為銳角，∴∠DNM＝∠D1A1C1。例2D[異面直線不具有傳遞性，可以以長(zhǎng)方體為載體加以說(shuō)明a、b異面，直線c的位置可如圖所示．］(2)解由異面直線的定義可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線．跟蹤訓(xùn)練2(1)8解析與AB異面的有側(cè)棱PD和PC,同理，與底面的各條邊異面的都有兩條側(cè)棱，故共有異面直線4×2＝8(對(duì)）．(2）解還原的正方體如圖所示．異面直線有三對(duì)，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.例3解如圖，取AC的中點(diǎn)P，連接PM,PN,因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以PM∥AB，且PM＝eq\f（1,2）AB；PN∥CD，且PN＝eq\f(1，2）CD，所以∠MPN（或其補(bǔ)角）為AB與CD所成的角．所以∠PMN(或其補(bǔ)角）為AB與MN所成的角．因?yàn)橹本€AB與CD成60°角，所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°。又因?yàn)锳B＝CD，所以PM＝PN。（1)若∠MPN＝60°，則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN＝60°，即AB與MN所成的角為60°.（2）若∠MPN＝120°，則易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即AB與MN所成的角為30°。綜上，直線AB與MN所成的角為60°或30°。跟蹤訓(xùn)練345°解析連接B′D′,則E為B′D′的中點(diǎn)，連接AB′，則EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB為異面直線EF與CD所成的角，即∠B′AB＝45°.當(dāng)堂訓(xùn)練1．B［如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,AA1與BC是異面直線，又AA1∥BB1，AA1∥DD1,顯然BB1∩BC＝B，DD1與BC是異面直線，故選B.］2．C［根據(jù)定理,∠A′O′B′與∠AOB相等或互補(bǔ)，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]3．B[①④均為錯(cuò)誤命題．①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直．④如圖甲所示，c、d與異面直線l1、l2交于四個(gè)點(diǎn)，此時(shí)c、d異面；當(dāng)點(diǎn)A在直線l1上運(yùn)動(dòng)(其余三點(diǎn)不動(dòng)）時(shí)，會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)A與B重合的情形,如圖乙所示,此時(shí)c、d共面相交．]4．②④解析①中，∵G，M是中點(diǎn),∴AG綊BM，∴GM綊AB綊HN，∴GH∥MN，即G，H,M，N四點(diǎn)共面；②中，∵H,G，N三點(diǎn)共面，且都在平面HGN內(nèi)，而點(diǎn)M顯然不在平面HGN內(nèi)，∴H，G，M，N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面；③中，∵G,M是中點(diǎn)，∴GM綊eq\f(1,2）CD,∴GM綊eq\f（1，2)HN，即GMNH是梯形，則GH,MN必相交,∴H，G，M，N四點(diǎn)共面;④中，同②，G，H，M，N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面．5.解(1）如圖所示，連接AC,AB1.由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴AC∥A1C1，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．在△AB1C中，