第5章被控對象的數(shù)學模型

控制系統(tǒng)的控制品質主要取決于系統(tǒng)的特性，而系統(tǒng)的特性取決于系統(tǒng)結構和系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的特性。系統(tǒng)特性—是指控制系統(tǒng)輸入輸出之間的關系。環(huán)節(jié)特性—是指環(huán)節(jié)本身輸入輸出之間的關系。第5章被控過程的數(shù)學模型給定值被控量干擾f

控制器變送器執(zhí)行器被控對象+e實測值－給定值被控量干擾f

控制器變送器執(zhí)行器被控對象+e實測值－前幾章的討論中，我們已知變送器和執(zhí)行器的特性是比例關系，控制器的特性由控制規(guī)律決定。本章討論被控對象的特性。被控對象xr(t)xc(t)

5.1被控過程數(shù)學模型的作用與要求被控對象大都是生產中的工藝設備，它是控制系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)。無論是設計、還是操作控制系統(tǒng)，都需要了解被控對象的特性。在經典控制理論中，被控對象的特性一般用單輸入、輸出的數(shù)學模型描述。最常用的是傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是指用拉氏變換式表示的對象特性。被控對象xr(t)xc(t)Xc(s)Xr(s)G

(s)=5.2建立被控過程數(shù)學模型的基本方法求對象的數(shù)學模型有兩條途徑：機理法：根據(jù)生產過程的內部機理，列寫出有關的平衡方程，從而獲取對象的數(shù)學模型。測試法：通過實驗測試，來識別對象的數(shù)學模型。由于影響生產過程的因素較多，單純用機理法建模較困難，一般用機理法的分析結論，指導測試結果的辨識。5.3機理法建模5.3.1機理法建模的基本原理通過分析生產過程的內部機理，找出變量之間的關系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化學反應定律、電路基本定律等，從而導出對象的數(shù)學模型。5.3.2單容過程建模當對象的輸入輸出可以用一階微分方程式來描述時，稱為單容過程或一階特性對象。大部分工業(yè)對象可以用一階特性描述。典型代表是水槽的水位特性。

5.3.2.1單容貯液箱液位過程I如圖是一個貯液箱（水槽），工藝上要求其液位h保持定值。設計控制系統(tǒng)時，水槽就是被控對象，液位h就是被控變量。如果想通過調節(jié)閥門1來控制液位，就應了解進水流量Q1和液位h之間的關系。

此時，對象特性的輸入量是流入水槽的流量Q1，對象特性的輸出量是液位h。G(S)Q1h設水槽在Ql0=Q20時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，液位穩(wěn)定在h0機理法建模步驟：從水槽的物料平衡關系考慮，找出表征h與Q1關系的方程式：h0閥門1閥門2Q10Q20A假定某一時刻，閥門1突然開大?μ1，

則Q1突然增大，不再等于Q2，于是h就發(fā)生變化。Q1與Q2之差被囤積在水槽中，造成液位上升。RS——閥門2阻力系數(shù)；Kμ——閥門1比例系數(shù)；μ1——閥門1的開度；A——水槽的底面積。式中：?Q1=Kμ?μ1h0閥門1閥門2Q1Q2?hA即解得寫成標準形式令：T=ARs——時間常數(shù)；K=KμRs——放大倍數(shù)。進行拉氏變換TSH(S)+H(S)=Kμ1(S)傳遞函數(shù)為：

階躍響應（飛升）曲線輸入量μ1作一階躍變化（Δμ1）時，其輸出（Δh）隨時間變化的曲線。因則時域表達式K、T稱對象的特性參數(shù)。Δμ1ttΔhKΔμ1T工藝對象對物質或能量的儲存能力和傳遞阻力，影響對象特性參數(shù)K、T的大小。在對象特性的研究中，可以用容量系數(shù)和阻力系數(shù)來表示這種能力。（1）容量系數(shù)——反映對象存儲能量的能力如水槽面積A，它影響時間常數(shù)T的大小。T=ARS

（2）阻力系數(shù)——反映對象對物料或能量傳遞的阻力。如閥門阻力系數(shù)RS，它影響放大系數(shù)K的大小。K=RS

1Δμ1ttΔhKT有很多對象特性屬于單容特性，如RC電路的充電特性：RCur(t)uR(t)uc(t)即傳遞函數(shù)為：如果ur(t)是階躍信號，則當t→∞時:uc(∞)=Uuc(t)=U(1－e–t/RC)t0URC電路的階躍響應ucturU0RCur(t)uR(t)uc(t)5.3.2.2被控過程的自衡特性與單容貯液箱液位過程II從一階慣性特性曲線可以看出，對象在擾動作用下，其平衡狀態(tài)被破壞后，在沒有人工干預或調節(jié)器干預下，能自動達到新的平衡狀態(tài)，這種特性稱為“自衡特性”。用自衡率ρ表征對象自衡能力的大小。1Δμ1ttΔhKT與放大系數(shù)K互為倒數(shù)如果ρ大，說明對象的自衡能力大。即對象能以較小的自我調整量Δh（∞），來抵消較大的擾動量Δμ1。并不是所有被控過程都具有自衡特性。同樣的單容水槽如果出水用泵抽出，則成為無自衡特性。1Δμ1ttΔhKT令ΔQ2

=0

h0閥門1Q1Q2?h單容無自衡特性若閥門1突然開大?μ1，

則Q1增大，Q2不變化。

?Q1=Kμ?μ1—稱飛升速度則：傳函：即：

Δh（t）=∫εΔμ1dt—又稱積分特性若閥門1階躍增大?μ1，

則Δh(t)持續(xù)增長。

tΔμ1h0tΔh圖5.5非自衡單容液位控制過程階躍響應曲線μ0h0閥門1Q1Q2?h5.3.3多容過程建模有一個以上貯蓄容量的過程稱為多容過程。5.3.3.1多容液位過程如圖所示為雙容對象。由兩個一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)起來，操縱變量是Δμ1，被控變量是第二個水槽的水位h2。Δμ1C2可以求出傳遞函數(shù)：由兩個一階慣性特性乘積而成。又稱二階慣性。式中：T1＝A1R2T2＝A2R3K＝KμR3Δμ1C2A1A2R2R3Kμ當輸入量是階躍增量Δμ1

時，二階慣性對象的被控變量Δh2的響應曲線呈S型。

所謂滯后是指輸出量的變化落后于輸入量的變化。為簡化數(shù)學模型，可以用帶滯后的單容過程模型來近似雙容過程模型。0tΔh2（∞）Δh20tΔh2（∞）Δh2τ

0tτcT0Δh2（∞）在S形曲線的拐點上作一切線，若將它與時間軸的交點近似為反應曲線的起點，則曲線可表達為帶滯后的一階特性：?h2(t)=K?μ1

(1－e)t≥τc

-(t－τc)T0t<τcτc

稱為容量滯后Δh(∞)OtΔhn=1n=2n=3n=4n=55.3.3.2容量滯后與純滯后1.容量滯后將對象的容量特性造成的微小響應區(qū)域近似成滯后τc

。是切線在時間軸上截出的時間段。對象的容量系數(shù)C越大，則τc越大；容量個數(shù)越多（階數(shù)n越多），τc也越大。0tτcTΔhΔh（∞）2.純滯后由信號或能量的傳輸時間造成的滯后現(xiàn)象，是純粹的滯后。如圖是一個蒸汽加熱系統(tǒng)。蒸汽進入點與水溫測量點相距l(xiāng)，設水的流速為v，蒸汽量階躍增大引起的水溫升高，要滯后τ0才反應出來。0tτ0℃有些對象容量滯后與純滯后同時存在，很難嚴格區(qū)分。常把兩者合起來，統(tǒng)稱為滯后時間τ

τ=τo+τc0tτcT0Δh2τ0Δh2（∞）?h2(t)=K?μ1

(1－e)t≥τ—(t－τ)T0t<τ5.4測試法建模根據(jù)工業(yè)過程中某對因果變量的實測數(shù)據(jù)，進行數(shù)學處理后得到的數(shù)學模型。測定對象特性的實驗方法主要有三種：（1）時域法——輸入階躍或方波信號，測對象的飛升曲線或方波響應曲線。（2）頻域法——輸入不同頻率的正弦波，測對象的頻率特性。（3）統(tǒng)計相關法——輸入隨機噪音信號，測對象輸出參數(shù)的變化。5.4.1階躍響應曲線法建模給對象輸入階躍信號或方波信號測其輸出響應。1．階躍響應曲線的直接測定在對象處于開環(huán)、穩(wěn)態(tài)時，將選定的輸入量做一階躍變化（如將閥門開大），測試記錄輸出量的變化數(shù)據(jù)，所得到的記錄曲線就是被控過程的階躍響應曲線。LT閥門1閥門2Q1Q2有些工藝對象不允許長時間施加較大幅度的擾動，那么施加脈寬為△t的方波脈沖，得到的響應曲線稱為“方波響應”。２．矩形脈沖法測定被控過程的階躍響應曲線

一個是在t=0時加入的正階躍信號x1（t）另一個是在t=Δt

時加入的負階躍信號x2（t）x（t）=x1（t）+x2（t）其中，x2（t）=-x1（t-Δt）方波響應可以轉換成階躍響應。原理：方波信號是兩個階躍信號的代數(shù)和。＋ΔtΔttttxxxx0x0x0=根據(jù)此式，方波響應曲線可逐點拆分為階躍響應曲線y1（t）和y2（t）。對應的響應也為兩個階躍響應之和：y（t）=y1（t）+y2（t）=y1（t）-y1（t-Δt）ty2(t)OtxOO

tΔtΔtx1(t)x2(t)=—x1(t-Δt)Δtxy1(t)y(t)y(t)5.4.1.2由階躍響應曲線確定被控過程傳遞函數(shù)大多數(shù)工業(yè)對象的特性可以用具有純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)來近似描述：xtty0tyττ00對于少數(shù)無自衡特性的對象，可用帶滯后的積分特性近似描述：

xtty0tyττ00由對象的階躍響應曲線基本可以辨識對象的特性模型結構和特性參數(shù)。1、由階躍響應確定一階慣性加滯后模型的特性參數(shù)一階對象的特性參數(shù)都具有明顯的物理意義。因此，可以在階躍響應曲線上確定特性參數(shù)值。滯后時間τ的物理意義加入輸入后，輸出沒有響應的時間段，就是滯后時間τttx0y(∞)yxτa.若階躍響應是帶純滯后的一階慣性曲線ttx0y(∞)yx放大倍數(shù)K的物理意義K表明了穩(wěn)態(tài)時，輸出對輸入的放大倍數(shù)。為了簡便，可將滯后時間切去：K越大，表示對象的輸入對輸出的影響越大。y(∞)=K

x0則：K=y(∞)/

x0起點的斜率時間常數(shù)的物理意義對象受到階躍輸入后，若輸出保持初始速度變化，到新的穩(wěn)態(tài)值所需時間就是時間常數(shù)。曲線的斜率ttx0y(∞)yxT以此斜率在起點作直線，與y(∞)相交時所需時間正好等于T。作圖法求T：在階躍響應起點上作切線，這條切線與h（∞）相交時所需時間正好等于T?；颍簩ο笫艿诫A躍輸入后，輸出達到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時間，等于時間常數(shù)T。tT0.632y∞)y計算法求T：取階躍響應穩(wěn)態(tài)變化幅值的63.2%，所對應的時間正好等于T。在相同的階躍輸入作用下，對象的時間常數(shù)不同時，被控變量的響應曲線如圖所示。

T反映了對象輸出對輸入的響應速度T越大，響應越慢。如水槽對象中T=ARS

，說明水槽面積越大，水位變化越慢。T也反映了響應時間被控變量變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時間理論上需要無限長。當t→∞時，才有y＝Kx0，但是當t=3T時，便有：

即：經過3T時間，輸出已經變化了滿幅值的95％。這時，可以近似地認為動態(tài)過程基本結束。tTy∞)3Tb.若階躍響應是一條S形單調曲線用有純滯后的一階環(huán)節(jié)模型近似描述時：

作圖法：1）在響應曲線的拐點處作一條切線，該切線與時間軸的交點切出τ；2）以τ為起點，與y(∞)的交點切出的時間段為T；3）K=y(∞)/x00tTy（∞）τy將y（t）轉換成無量綱的形式y(tǒng)*（t）0tKx0y(t)為了簡化計算，先消去y(t)中的系數(shù)KX0計算法：根據(jù)曲線上已知的兩點坐標解方程，求T、τ。又稱兩點法：0t1y*(t)對有滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，單位階躍響應為：

0t<τ

t≥τy*(t)=y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)在無量綱飛升曲線上，選取t1、t2兩時刻的響應y*（t）的坐標值：

解方程組

得

y*（t1）=0.39y*（t2）=0.63τ=2t1–t2T=2（t1-t2）y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)為計算方便，取特殊兩點：則2.由階躍響應曲線確定二階及高階模型特性參數(shù)若用一階慣性加滯后環(huán)節(jié)近似被控過程傳遞函數(shù)不能滿足精度要求，則可用高階模型描述。Oty(t)圖5.16根據(jù)階躍響應確定二階滯后環(huán)節(jié)時間常數(shù)T1、T2t2t1τy*(t)y(∞)0.80.4例如用二階慣性加滯后模型描述圖5.16曲線時，靜態(tài)放大系數(shù)K仍用穩(wěn)態(tài)幅值計算。純滯后時間τ可用作圖法確定。然后在時間軸上截去純滯后τ，并化為無量綱形式的階躍響應y*(t)。此時，簡化為：（T2>T1)階躍響應：從響應曲線上取兩點列方程組，求T1、T2y*（t1）=0.4

y*（t2）=0.8Oty(t)圖5.16根據(jù)階躍響應確定二階滯后環(huán)節(jié)時間常數(shù)T1、T2t2t1τy*(t)y(∞)0.80.4可以求出近似解：若適當選取y*（t）的值，取5.4.2測定動態(tài)特性的頻域法對象的頻率特性反映了對象對不同頻率信號的響應特性。方法：在對象的輸入端加特定頻率的正弦信號，同時記錄輸入和輸出的穩(wěn)定波形（幅度與相位）。在