第五節(jié)極限的運(yùn)算法則

由于初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成，而微積分以極限為工具研究初等函數(shù)，故在微積分中主要討論極限的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算。由極限與無(wú)窮小的關(guān)系，極限運(yùn)算的討論可歸結(jié)為無(wú)窮小運(yùn)算的討論。本節(jié)概要第五節(jié)極限的運(yùn)算法則Contents極限運(yùn)算法則1求極限方法舉例2復(fù)合函數(shù)求極限3一、極限運(yùn)算法則定理1注①此定理對(duì)于數(shù)列同樣成立②(1),(2)可推廣到任意有限個(gè)具有極限的函數(shù)③(2)有兩個(gè)重要的推論推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2④定理的條件：存在商的情形還須加上分母的極限不為0⑤定理簡(jiǎn)言之即是：和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商定理2證由定理1(1),由保號(hào)性定理,即故有有

注意應(yīng)用四則運(yùn)算法則時(shí),要注意條件:參加運(yùn)算的是有限個(gè)函數(shù),它們的極限商的極限要求分母的極限不為0.不要隨便參加運(yùn)算,因?yàn)椴皇菙?shù),它是表示函數(shù)的一種性態(tài).都存在,二、求極限舉例解例

小結(jié)則有則有

x=3時(shí)分母為

0

例3.解例

消去零因子法再求極限.

方法分子,分母的極限都是零.

先約去不為零的無(wú)窮小因子解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,例得例解抓大頭法分子,分母的極限均為無(wú)窮大.

方法先用去除分子分母,分出無(wú)窮小,再求極限.先將分子、分母同除以x

的最高次冪,抓大頭法再求極限.求有理函數(shù)當(dāng)?shù)臉O限時(shí),

小結(jié)例解例解先作恒等變形,和式的項(xiàng)數(shù)隨著n在變化,再求極限.使和式的項(xiàng)數(shù)固定,原式=不能用運(yùn)算法則.

方法例解“根式轉(zhuǎn)移”法化為型不滿足每一項(xiàng)極限都存在的條件,不能直接應(yīng)用四則運(yùn)算法則.

分子有理化練習(xí)解原式=解原式=設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成,有定義,若則有定理3(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則))]([xgfy=)(ufy=)(xgu=)]([xgfy=三、復(fù)合函數(shù)求極限例.求交換函數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算次序求極限

解例7.求解:方法

1則令∴原式方法

2四、小結(jié)極限求法：(1)多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;(2)消去零因子法求極限;（0/0型）（因式分解）(3)利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;(4)利用通分方法求極限;（∞-∞型）(5)分子分母同除最大項(xiàng)(抓大頭法)。（∞/∞型）(7)直接利用無(wú)窮大的概念判斷;(6)根式轉(zhuǎn)移法;(8)利用左右極限求分段函數(shù)極限.(9)利用夾逼定理;