第二講多屬性決策分析+物元

多屬性決策分析多目標決策與多屬性決策的劃分多目標決策(multi-objectivedecisionmaking)

決策變量是連續(xù)型的（即備選方案有無限多個），求解這類問題的關(guān)鍵是向量優(yōu)化，即數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。多屬性決策(multi-attributedecisionmaking)

。 決策變量是離散型的（即備選方案數(shù)量為有限多個），求解這類問題的核心是對各備選方案進行評價后排定各方案的優(yōu)劣次序，再從中擇優(yōu)。多屬性決策指標體系多屬性多指標綜合評價有兩個顯著特點:指標間的不可公度性 即多屬性指標之間沒有統(tǒng)一量綱，難用同一標準進行評價。指標之間的矛盾性 提高了這個指標值，可能損害另一指標值。問題： 如何解決指標間的不可公度性和矛盾性？多屬性決策指標體系指標體系的基本概念多屬性決策的指標體系

由多個相互聯(lián)系、相互依存的評價指標，按照一定層次結(jié)構(gòu)組合而成，具有特定評價功能的有機整體。 單一的評價指標只能反映社會經(jīng)濟系統(tǒng)的某一具體特征，要全面、準確地評價一個系統(tǒng)，首先要構(gòu)建合理的指標體系。社會經(jīng)濟系統(tǒng)常用的評價指標

經(jīng)濟性指標

社會經(jīng)濟系統(tǒng)常用的評價指標

社會性指標

技術(shù)性指標

資源性指標

政策性指標

基礎(chǔ)設(shè)施指標

其他指標產(chǎn)值、收入、成本、稅金、投資額、投資回收期、固定資產(chǎn)等等人員素質(zhì)、社會福利、生態(tài)環(huán)境、就業(yè)機會等產(chǎn)品性能、可靠性、工藝水平、人員素質(zhì)等礦產(chǎn)資源、水源、土地、人力等國家和地方的政策、法令、計劃等交通、供水、供電等特定決策系統(tǒng)的特有指標，如凈現(xiàn)值多屬性決策指標體系指標體系設(shè)置的原則系統(tǒng)性原則指標體系應(yīng)反映系統(tǒng)的整體性能和綜合情況，指標體系的整體評價功能應(yīng)大于各指標的簡單總和。指標體系應(yīng)層次清晰，結(jié)構(gòu)合理，相互關(guān)聯(lián)，協(xié)調(diào)一致。應(yīng)抓住主要因素，既能反映直接效果，又能反映間接效果，保證決策的全面性和可信度。多屬性決策指標體系指標體系設(shè)置的原則可比性原則決策指標和評價標準的制定應(yīng)客觀實際，便于比較。指標間應(yīng)避免顯見的包含關(guān)系，隱含的相關(guān)關(guān)系應(yīng)以適當?shù)姆椒右韵２煌烤V的指標應(yīng)按特定的規(guī)則作標準化處理，化為無量綱指標，以便于整體綜合評價。指標處理中應(yīng)保持同趨勢化，以保證指標間的可比性。多屬性決策指標體系指標體系設(shè)置的原則科學(xué)性原則定性分析與定量分析相結(jié)合。定量指標應(yīng)注意絕對量和相對量的結(jié)合使用。實用性原則指標應(yīng)涵義明確，數(shù)據(jù)規(guī)范，口徑一致，資料收集可靠。指標設(shè)計應(yīng)符合國家和地方的政策法規(guī)，口徑和計算應(yīng)與通用的會計、統(tǒng)計、業(yè)務(wù)核算協(xié)調(diào)一致，便于統(tǒng)計和計算。多屬性決策指標體系決策指標的標準化

將不同量綱的指標，通過適當?shù)淖儞Q，化為無量綱的標準化指標。決策指標的變化方向效益型（正向）指標：越大越優(yōu)成本型（逆向）指標：越小越優(yōu)中立型指標：在某中間點最優(yōu) （如人的體重）多屬性決策指標體系決策指標的標準化

設(shè)有 n個決策指標fj（1≤j≤n）

m個可行方案ai（1≤i≤m）m個方案n個指標構(gòu)成決策矩陣：多屬性決策指標體系決策指標的標準化

向量歸一化法

令：稱矩陣Y＝(yij)m×n為向量歸一標準化矩陣。矩陣Y的列向量模等于1，即注：向量歸一標準化后

①0≤yij≤1； ②正、逆向指標的方向沒有發(fā)生變化。決策指標的標準化

線性比例變換法在決策矩陣X中，對于正向指標fj，?。毫睿簩τ谪撓蛑笜薴j，?。毫睿悍Q矩陣Y＝(yij)m×n為線性比例標準化矩陣。注：經(jīng)線性比例變換后①0≤yij≤1；②所有指標均化為正向指標；③最優(yōu)值為1。決策指標的標準化

極差變換法在決策矩陣X中，對于正向指標fj，取：對于負向指標fj，取：令：稱矩陣Y＝(yij)m×n為極差變換標準化矩陣。注：經(jīng)極差變換后①0≤yij≤1；②所有指標均化為正向指標；③最優(yōu)值為1，最劣值為0。決策指標的標準化

標準樣本變換法在決策矩陣X中，令：其中：稱矩陣Y＝(yij)m×n為標準樣本變換矩陣。注：經(jīng)標準樣本變換后標準化矩陣的樣本均值為0，方差為1。決策指標的標準化定性指標量化處理方法

將定性指標依問題的性質(zhì)劃分為若干級別，每一級別分別賦以不同的量值。如：分五級賦以分值等級指標很低低一般高很高正向指標13579逆向指標97531分值【例1】某航空公司欲購買飛機

按6個決策指標對不同型號的飛機進行綜合評價。這6個指標是，最大速度(f1)、最大范圍(f2)、最大負載(f3)、價格(f4)、可靠性(f5)、靈敏度(f6)?，F(xiàn)有4種型號的飛機可供選擇，具體指標值如下表：

指標(fj)機型(ai)

最大速度(馬赫)最大范圍(公里)最大負載(千克)費用(106美元)可靠性靈敏度a12.01500200005.5一般很高a22.52700180006.5低一般a31.82000210004.5高高a491800200005.0一般一般【例1】寫出決策矩陣，并進行標準化處理。解：第一步，劃分各類指標 正向指標：f1、f2、f3；負向指標：f4； 定性指標：f5、f6。第二步，將定性指標化為定量指標，得到如下決策矩陣:【例1】解：第三步，進行標準化處理向量歸一化法

令：【例1】解：第三步，進行標準化處理線性比例變換法極差變換法決策指標的標準化

極差變換法的改進在決策矩陣X中，對于正向指標fj，?。簩τ谪撓蛑笜薴j，?。毫睿鹤儞Q后①1≤yij≤100；②所有指標均化為正向指標；③最優(yōu)值為100，最劣值為1。多屬性決策指標體系決策指標權(quán)重的確定指標權(quán)重

表示各指標相對于決策目標的重要性程度，或表示一種效益替換另一種效益的比例系數(shù)。確定指標權(quán)重的方法

主觀賦權(quán)法：根據(jù)主觀經(jīng)驗和判斷，用某種特定法則測算出指標權(quán)重的方法?？陀^賦權(quán)法：依據(jù)決策矩陣提供的評價指標的客觀信息，用某種特定法則測算出指標權(quán)重的方法。決策指標權(quán)重的確定幾種常用的確定指標權(quán)重的方法1.

相對比較法（屬于主觀賦權(quán)法）

將所有指標按三級比例標度兩兩相對比較評分，三級比例標度的含義是：顯然：注意：評分時應(yīng)滿足比較的傳遞性，即若f1比f2重要，f2又比f3重要，則f1比f3重要。決策指標權(quán)重的確定幾種常用的確定指標權(quán)重的方法1.

相對比較法（屬于主觀賦權(quán)法）

指標fi的權(quán)重系數(shù)為確定例1中6個指標的權(quán)重解：1.

相對比較法

指標fi指標fi

f1f2f3f4f5f6評分總計權(quán)重wif10.51110.50f200.50.50.500f300.50.50.500f400.50.50.500f50.51110.50f6111110.5評分值41.51.51.545.5∑：182/91/121/121/122/911/36幾種常用的確定指標權(quán)重的方法2.

連環(huán)比率法（屬于主觀賦權(quán)法）

將所有指標以任意順序排列，不妨設(shè)為：f1,f2,…,fn。從前到后，依次賦以相鄰兩指標相對重要程度的比率值。指標fi與fi＋1比較，賦以指標fi以比率值ri

（i=1，2，…，n-1）并賦以rn=1。幾種常用的確定指標權(quán)重的方法2.

連環(huán)比率法（屬于主觀賦權(quán)法）

計算各指標的修正評分值。賦以fn的修正評分值kn＝1，根據(jù)比率值ri計算各指標的修正評分值：ki＝ri·ki+1 （i=1，2，…，n-1）歸一化處理，求出各指標的權(quán)重系數(shù)值。即【例3】確定例1中6個指標的權(quán)重解：2.

連環(huán)比率法

指標fi

比率值修正評分值指標權(quán)重wif13f21f31f41/3f51/2f61∑11/21/61/61/61/25/21/51/151/151/151/52/5幾種常用的確定指標權(quán)重的方法3.

熵值法（屬于客觀賦值法）利用指標熵值確定權(quán)重，熵越大，權(quán)重越小。

對決策矩陣X=(xij)m×n用線性比例變換法作標準化處理，得到標準化矩陣Y=(yij)m×n

，并進行歸一化處理，得:計算第j個指標的熵值，其中，k＞0，ej≥0幾種常用的確定指標權(quán)重的方法3.

熵值法（屬于客觀賦值法）

計算第j個指標的差異系數(shù)確定指標權(quán)重。第j個指標的權(quán)重為【例3】確定例1中6個指標的權(quán)重解：3.

熵值法

歸一化處理得：【例3】確定例1中6個指標的權(quán)重解：計算第j個指標的熵值（取k＝0.5）

得：差異系數(shù)：指標權(quán)重為：幾種常用的確定指標權(quán)重的方法4.專家咨詢法(Delphi法)

（屬于主觀賦值法）設(shè)有n個決策指標f1,f2,…,fn，組織m個專家咨詢，每個專家確定一組指標權(quán)重估計值對m個專家給出的權(quán)重估計值平均，得到平均估計值計算估計值和平均估計值的偏差幾種常用的確定指標權(quán)重的方法4.專家咨詢法(Delphi法)

（屬于主觀賦值法）對偏差△ij較大的第j個指標的權(quán)重估計值，再請專家i重新估計第j個指標的權(quán)重。反復(fù)進行以上步驟，直至偏差滿足一定要求為止。這樣就得到一組權(quán)重指標的平均估計修正值。多指標決策方法簡單線性加權(quán)法根據(jù)實際情況，先確定各決策指標的權(quán)重，再對決策矩陣進行標準化處理，求出各方案的線性加權(quán)指標平均值，并以此作為各可行方案排序的判據(jù)。注意

標準化處理時，應(yīng)當使所有的指標正向化。簡單線性加權(quán)法簡單線性加權(quán)法的基本步驟用適當?shù)姆椒ù_定各決策指標的權(quán)重，設(shè)權(quán)重向量為：

決策矩陣X=(xij)m×n標準化得Y=(yij)m×n，要求標準化之后的指標均為正向指標；

求出各方案的線 性加權(quán)指標值：

選擇ui最大者為最 滿意方案，即：【例4】

用簡單線性加權(quán)法對例1的購機問題進行決策解：①用適當?shù)姆椒ù_定各決策指標的權(quán)重為：

用線性比例法將決策矩陣

X=(xij)m×n標準化得Y=(yij)m×n；

求出各方案的線性加權(quán)指標值ui：

ui最大者為0.851，故滿意方案為方案4。多指標決策方法理想解法（TOPSIS）通過構(gòu)造多指標問題的理想解和負理想解，并以靠近理想解和遠離負理想解兩個基準，作為評價各可行方案的判據(jù)。理想解 是設(shè)想各指標屬性都達到最滿意值的解。負理想解 是設(shè)想各指標屬性都達到最不滿意值的解。 又稱雙基點法，逼近理想解的排序方法。理想解與負理想解

設(shè)決策問題有m個可行方案a1,a2

,…,am，兩個評價指標f1、f2，不妨設(shè)二指標均為正向指標。方案ai的二指標值記為xi1,xi2，于是方案ai可以用平面f1f2上的點Ai(xi1,xi2)表示。記：則： 理想解為A*(x*1,x*2)；

負理想解為A-(x-1,x-2)。理想解與負理想解f1f2OA1A2A3AmA*A-問題：如何表示各方案目標值靠近理想解和遠離負理想解的程度？相對貼近度

設(shè)方案ai對應(yīng)的點Ai到理想點A*和負理想點A-的距離分別為：定義方案ai與理想解、負理想解的相對貼近度為滿足：0≤Ci*≤1；

理想點Ci*＝1，負理想點Ci*＝0；方案逼近理想解而遠離負理想解時Ci*→1。理想解法的基本步驟用向量歸一化法對決策矩陣進行標準化處理，得標準化矩陣Y=(yij)m×n；用適當?shù)姆椒ù_定各決策指標的權(quán)重wj，計算加權(quán)標準化矩陣：

確定理想解和負理想解正向指標集負向指標集理想解法的基本步驟計算各方案到理想解和負理想解的距離

計算各方案的相對貼近度Ci*，相對貼近度大者為優(yōu)，小者為劣?！纠?】用理想解法對例1的購機問題進行決策解：①求決策矩陣的向量歸一標準化矩陣Y適當?shù)姆椒ù_定各決策指標的權(quán)重為：計算加權(quán)標準化矩陣：V=(wj·yij)m×n；正正 正 負！ 正 正【例5】解：③確定理想解和負理想解

計算各方案到理想解和負理想解的距離；

計算各方案的相對貼近度Ci*

：Ci*最大的方案最優(yōu)，故滿意方案為方案1。多指標決策方法改進的理想解法利用決策矩陣的信息，客觀地賦以各指標的權(quán)重系數(shù)，并以各方案到理想點距離的加權(quán)平方和作為綜合評價的判據(jù)，更簡便實用。設(shè)權(quán)重向量（待定）為：最優(yōu)的權(quán)重系數(shù)應(yīng)滿足：符號含義與理想解法相同改進的理想解法注意到：

vij=wj·yij用求解條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，可以解得：改進的理想解法的基本步驟將決策矩陣進行標準化得Y=(yij)m×n確定標準化矩陣的理想解

按式（7.18）計算各指標的權(quán)重系數(shù)wj (j=1,2,…,n)

計算各方案到理想解的距離平方di，并按di對方案排序：di越小，方案越優(yōu)。【例6】用改進的理想解法對例7.1的購機問題進行決策解：①求決策矩陣標準化矩陣Y（以極差變換標準化矩陣為例）正正 正 負！正 正

標準化矩陣Y的理想解為Y*={1,1,1,0,1,1}【例6】解：按式（18）計算各指標的權(quán)重系數(shù)wj

計算各方案到理想解的距離平方dj：得按dj對方案排序：di越小，方案越優(yōu)。因此最優(yōu)方案為方案1。多指標決策方法功效系數(shù)法將各決策指標的相異度量，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的無量綱的功效系數(shù)，再進行綜合評價的多指標決策方法。功效系數(shù)的計算 設(shè)第j個指標的滿意值為，不允許值為功效系數(shù)為：滿意值的功效系數(shù)為100，不允許值的功效系數(shù)60。功效系數(shù)法功效系數(shù)法的基本步驟確定決策指標體系 設(shè)決策矩陣為X=(xij)m×n，用適當?shù)姆椒ù_定指標的權(quán)重向量

計算各指標值的功效系數(shù)dij

計算各方案的總功效系數(shù)

以總功效系數(shù)為判據(jù)，對各方案進行排序。 功效系數(shù)越大，方案越優(yōu)；功效系數(shù)越小，方案越劣?！纠?】用功效系數(shù)法對例1的購機問題進行決策。解：①用適當?shù)姆椒ù_定指標的權(quán)重向量為計算各指標值的功效系數(shù)dij負！【例7】解：計算各指標值的功效系數(shù)dij

計算各方案的總功效系數(shù)di

以總功效系數(shù)為判據(jù)，對各方案進行排序。 功效系數(shù)越大，方案越優(yōu)；功效系數(shù)越小，方案越劣。因此方案3最優(yōu)。物元分析法物元分析是研究解決不相容問題的規(guī)律和方法的新興學(xué)科，是思維科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、數(shù)學(xué)三者的交叉邊緣學(xué)科。它的中心是研究“出點子、想辦法”的規(guī)律、理論和方法。它的數(shù)學(xué)工具是建基于可拓集合基礎(chǔ)上的可拓數(shù)學(xué)。物元分析本身不是數(shù)學(xué)的一個分支，在它的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)中還需要保留一定的開放環(huán)節(jié)。在這些環(huán)節(jié)中，人腦思維與客觀實際要在這里發(fā)揮作用。它是在經(jīng)典數(shù)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來而又有別于它們的新學(xué)科。物元決策方法物元分析和矛盾問題現(xiàn)實世界存在各式各樣的矛盾，物元分析研究處理矛盾問題的理論和方法。物元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是可拓集合論經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是經(jīng)典集合論。在經(jīng)典集合中，一個元素與某個集合的關(guān)系，要么屬于它，要么不屬于它，二者必居其一。模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是模糊集合論。在模糊集合論中，一個元素與某個集合的關(guān)系，或者屬于它，或者不屬于它，或者在一定程度上屬于它，三者必居其一。物元分析和矛盾問題物元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是可拓集合論 事物是處于不斷的運動和變化中的，經(jīng)典集合論不能描述事物及其性質(zhì)的可變性。可拓集合研究不屬于某集合但又能夠轉(zhuǎn)化為屬于該集合的元素及其變換性質(zhì)。經(jīng)典案例：曹沖稱象、轉(zhuǎn)換橋、空城計物元決策方法物元和可拓集合的基本概念人、事統(tǒng)稱事物。事物各具不同的特征，事物的特征又由相應(yīng)的量值所規(guī)定。名稱、特征和量值是事物的三要素。定義1（物元） 設(shè)事物的名稱為N，關(guān)于特征C的量值為V，則三元有序組 R＝（N,C,V） 稱為事物的基本元，簡稱物元。N，C，V稱為物元的三要素。物元和可拓集合的基本概念

若某事物有多個(n個)特征記作c1,c2,…,cn，相應(yīng)量值記作v1,v2,…,vn，則物元記為稱為n維物元，簡記為R＝（N,C,V），其中：物元和可拓集合的基本概念定義2（物元變換）

使物元R0=(N0,C0,V0)變換為物元R=(N,C,V)或若干個物元Ri=(Ni,Ci,Vi)，i=1,2,…,n

稱為物元R0的變換，記作

TR0=R

或 TR0={R1,R2,…,Rn}

物元變換可以是對事物的特征、量值或它們組合的變換。物元和可拓集合的基本概念物元變換的基本運算

設(shè)有物元R1,R2,R3積變換 若T1R1=R2，T2R2=R3，稱使R1變?yōu)镽3的變換為變換T2與T1的積變換。記作：

T=T2T1逆變換 若T1R1=R2，稱使R2變?yōu)镽1的變換為變換T的逆變換，記作T-1。有：

T-1(T1R1)=T-1R2=R1物元和可拓集合的基本概念物元變換的基本運算

設(shè)有物元R1,R2,R3或變換 若T1R1=R2，T2R1=R3，稱使R1變?yōu)镽2或R3的變換為變換T1與T2的或變換。記作：

T=T1∨T2與變換 若T1R1=R2，T2R1=R3，稱使R1變?yōu)镽2和R3的變換為變換T1與T2的與變換。記作：

T=T1∧T2物元和可拓集合的基本概念定義3（關(guān)聯(lián)度、關(guān)聯(lián)函數(shù)）

設(shè)?是論域U上的一個可拓子集，若對任意u∈U，都對應(yīng)一個實數(shù)則稱為元素u對?的關(guān)聯(lián)度。實值函數(shù)稱為可拓子集?

的關(guān)聯(lián)函數(shù)，簡記為K(u)。物元和可拓集合的基本概念定義4（經(jīng)典域、可拓域、非域）

稱 A＝{u|u∈U,K(u)≥0}

為可拓子集?的經(jīng)典域；

稱 ＝{u|u∈U,-1≤K(u)＜0}

為可拓子集?的可拓域；

稱 ＝{u|u∈U,K(u)＜-1}

為可拓子集?的非域。物元和可拓集合的基本概念定義5（點與區(qū)間的距）點x0

與區(qū)間X＝[a,b]的距離稱為點與區(qū)間的距，記作：點與區(qū)間的距對于開區(qū)間、半開半閉區(qū)間同樣適用。物元和可拓集合的基本概念定理1

設(shè)X0,X是實數(shù)域上的兩個區(qū)間，X?X0

，且無公共端點，令關(guān)聯(lián)函數(shù)則

x∈X0

的充要條件是：K(x)≥0；

x∈X－X0

的充要條件是：-1≤K(x)＜0；

x

?

X的充要條件是：K(x)＜-1

。物元和可拓集合的基本概念定義6（節(jié)域） 設(shè)有物元R=(N,C,V)，事物N關(guān)于特征C的允許取值范圍為V，子集V0?V。若在某限制條件下，對任意的x,y∈V0，x變?yōu)閥，事物N不變；而對任意的x∈V0，y

?V0，x變成y，事物N變?yōu)槌鱿拗茥l件的另一事物，則稱V0為該限制條件下N關(guān)于C的節(jié)域。物元和可拓集合的基本概念定義7（問題） 給定物元R和實現(xiàn)它的條件物元r，則稱他們構(gòu)成問題P，記作：P=R*r定義8（相容問題）

給定問題P=R*r，r=(N,C,V),K(x)是N關(guān)于C取值范圍V上的關(guān)聯(lián)函數(shù)。如果物元R要實現(xiàn)，N關(guān)于C必須取值V0(R)，則K(V0(R))

稱為問題P=R*r的相容度，簡記為Kr(R)

。 當Kr(R)≥0時，問題R*r稱為相容問題；否則，稱為不相容問題。物元決策方法及其應(yīng)用物元決策模型的建模步驟：建立物元矩陣

確定評價產(chǎn)品質(zhì)量的經(jīng)典域和節(jié)域物元矩陣，并確定待評價產(chǎn)品的物元矩陣。確定經(jīng)典域物元矩陣其中N0

表示標準產(chǎn)品，ci

(i=1,2,···,n)表示產(chǎn)品評價指標，X0i=[a0i,b0i](i=1,2,···,