第四章光的衍射

第四章光的衍射第一節(jié)衍射的基本理論第二節(jié)衍射和傅立葉變換第三節(jié)單孔的夫朗和費(fèi)衍射

第四節(jié)衍射光柵第五節(jié)菲涅爾衍射第四章光的衍射第一節(jié)衍射的基本理論

一、衍射問(wèn)題概述光的衍射是指光波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)，所發(fā)生的偏離直線(xiàn)傳播的現(xiàn)象。光的衍射，也可以叫光的繞射，即光可繞過(guò)障礙物，傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)域中，并在障礙物后的觀察屏上呈現(xiàn)出光強(qiáng)的不均勻分布。通常將觀察屏上的不均勻光強(qiáng)分布稱(chēng)為衍射圖樣。

第四章光的衍射第四章光的衍射SPP′

光的衍射現(xiàn)象與光的干涉現(xiàn)象，都是相干光波疊加引起的光強(qiáng)的重新分布。不同之處在于：干涉是有限個(gè)相干光波的疊加，衍射是無(wú)限多個(gè)相干光波疊加的結(jié)果。衍射需要用到積分，但在許多情況下，對(duì)衍射孔徑的積分無(wú)法求解，使衍射問(wèn)題的求解遇到了很大的困難。通常情況下，我們無(wú)法得到精確的解，而只能得到近似的解。第四章光的衍射第四章光的衍射研究衍射現(xiàn)象及其規(guī)律的問(wèn)題歸結(jié)為已知光波在某一衍射屏上的復(fù)振幅分布，或已知入射光波及衍射屏的形狀和振幅透射函數(shù)，求光在衍射屏后的空間任一點(diǎn)或任一平面上的復(fù)振幅分布或光強(qiáng)分布。研究衍射問(wèn)題的傳統(tǒng)方法：首先，惠更斯——菲涅耳原理對(duì)衍射現(xiàn)象作了初步解釋。其后，基爾霍夫從波動(dòng)方程出發(fā)，對(duì)衍射屏上的光場(chǎng)分布作了一些假設(shè)，推導(dǎo)了求衍射圖樣分布的公式，并為惠更斯—菲涅耳原理提供了理論基礎(chǔ)。在現(xiàn)代光學(xué)中，以線(xiàn)性系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，把產(chǎn)生衍射的系統(tǒng)看作是一個(gè)線(xiàn)性不變系統(tǒng)，以平面波理論(或角譜理論)來(lái)討論衍射問(wèn)題，這就是傅里葉變換的方法。研究光的衍射現(xiàn)象，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，應(yīng)該用光的矢量衍射理論來(lái)求解，但求解過(guò)程很復(fù)雜。在許多情況下，我們只要知道近似結(jié)果就可以了，所以一般都用光的標(biāo)量衍射理論來(lái)求解衍射過(guò)程。只有在一些特別需要精確結(jié)果的場(chǎng)合，才會(huì)使用矢量衍射理論。第四章光的衍射二、惠更斯-菲涅耳原理1.惠更斯-菲涅耳原理最早成功的用波動(dòng)理論解釋衍射現(xiàn)象的是菲涅耳，他把惠更斯原理用干涉的理論加以補(bǔ)充。惠更斯原理1690年提出?；莞拐J(rèn)為，Σ面上每一點(diǎn)都可以看作是一個(gè)次波源，發(fā)出球面次波；這些次波在隨后的某一時(shí)刻的包跡面，將形成一個(gè)新的波陣面Σ′，波面的法線(xiàn)方向就是波的傳播方向。

第四章光的衍射?平面波球面波第四章光的衍射第四章光的衍射惠更斯原理能夠很好的解釋光的直線(xiàn)傳播，光的折射和反射方向，也能說(shuō)明衍射現(xiàn)象可能發(fā)生，卻不能詳細(xì)解釋各種衍射現(xiàn)象，也不能描述衍射場(chǎng)的光強(qiáng)度分布。菲涅耳認(rèn)為，這些次波既然來(lái)自同一個(gè)光源，應(yīng)該是相干的，因而衍射場(chǎng)某點(diǎn)P的光強(qiáng)度，應(yīng)由這些次波在該點(diǎn)的干涉結(jié)果疊加而成?；莞?菲涅爾原理：在任意給定的時(shí)刻，任意波面上的點(diǎn)都起著次波波源的作用，它們各自發(fā)出球面次波，障礙物以外任意點(diǎn)上的光強(qiáng)分布，即為沒(méi)有被阻擋的各個(gè)次波源發(fā)出的次波在該點(diǎn)相干疊加的結(jié)果。

2.惠更斯-菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式

第四章光的衍射上入射波的復(fù)振幅為：

對(duì)于衍射場(chǎng)中的P點(diǎn)，由dσ傳來(lái)的光波的復(fù)振幅就是：其中：第四章光的衍射為小面元的外法線(xiàn)與MP之間的夾角，稱(chēng)為傾斜角。叫做方向因子（傾斜因子）。菲涅耳的假設(shè)，當(dāng)，K為復(fù)系數(shù)。

這就是惠更斯菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱(chēng)為惠更斯-菲涅爾公式。

第四章光的衍射如果在波面處障礙物的開(kāi)口面積就用表示，則P點(diǎn)的復(fù)振幅為：

設(shè)某一曲面或平面上的復(fù)振幅分布為

特別地，當(dāng)用平面波正入射照明時(shí)，則衍射孔徑上任一點(diǎn)的復(fù)振幅為一個(gè)常數(shù)，若用A來(lái)表示，則菲涅耳公式可簡(jiǎn)化為：第四章光的衍射則這一曲面或平面上的各點(diǎn)發(fā)出的次波在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅可以表示為：三、基爾霍夫衍射積分公式基爾霍夫從波動(dòng)微分方程出發(fā)，利用場(chǎng)論中的格林理論，及電磁場(chǎng)的邊界條件，給惠更斯-菲涅爾原理找到了較完善的表達(dá)式。確定了傾斜因子和常數(shù)K的具體形式，建立了光的衍射理論，彌補(bǔ)了菲涅爾理論的不足。將光場(chǎng)當(dāng)作標(biāo)量來(lái)處理，只考慮電場(chǎng)或磁場(chǎng)的一個(gè)橫向分量的標(biāo)量振幅，而假定其它分量也可以用同樣的方法獨(dú)立的處理。完全忽略了電磁場(chǎng)矢量分量間的耦合特性，稱(chēng)為標(biāo)量衍射理論。盡管它也是一種近似處理，但在一般情況下，它能與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好的符合。第四章光的衍射1.亥姆霍茲—基爾霍夫定理

光波電磁場(chǎng)的任一個(gè)分量的復(fù)振幅應(yīng)滿(mǎn)足如下的標(biāo)量波的波動(dòng)微分方程，即亥姆霍茲方程：第四章光的衍射亥姆霍茲—基爾霍夫定理的公式就表達(dá)如下：其中，S為包圍考察點(diǎn)P的任意封閉曲面，dσ為曲面上的有向面元，取外法向?yàn)檎?，r表示曲面上任意點(diǎn)處的面元dσ到P的距離。在S面上任一點(diǎn)處n表示沿向外法線(xiàn)的單位矢量。

輔助函數(shù)(格林函數(shù))表示小面元處發(fā)射的球面子波。子波的振幅大小由dσ處的電場(chǎng)E和它的法向偏導(dǎo)數(shù)為格林函數(shù)。第四章光的衍射來(lái)決定。

2.基爾霍夫衍射積分公式第四章光的衍射

閉合曲面由三部分組成：開(kāi)孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以P點(diǎn)為中心、R為半徑的大球的部分球面Σ2。P點(diǎn)的光場(chǎng)復(fù)振幅為Σ和Σ1面，基爾霍夫假定（基爾霍夫邊界條件）：

①在Σ上，E和

對(duì)于Σ2面，r=R，cos(n,R)=1（法線(xiàn)與半徑同向，所以它們的夾角為0，方向余弦為1），且有：第四章光的衍射與不存在屏?xí)r的值完全相同。②在不透明屏的背照面Σ1上，E=0，的值由入射波決定，因此，在Σ2上的積分為：式中，Ω是Σ2對(duì)P點(diǎn)所張的立體角，dω是立體角元。

第四章光的衍射索末菲輻射條件：

當(dāng)R→∞時(shí)，(eikR/R)R是有界的，所以上面的積分在R→∞時(shí)(球面半徑R取得足夠大)為零。

只需要考慮對(duì)孔徑面Σ的積分，即：

最終得到：

第四章光的衍射

這就是基爾霍夫衍射積分公式。它表示了單色點(diǎn)光源S0發(fā)出的球面波經(jīng)孔徑Σ，在Σ后的某點(diǎn)P處產(chǎn)生的光振動(dòng)的復(fù)振幅分布。

式中，r0是光源S0到孔徑Σ上任一點(diǎn)的距離，r是Q點(diǎn)到P點(diǎn)的距離。1和2分別為孔徑面Σ的法線(xiàn)與r0和r的夾角。

第四章光的衍射表示S0發(fā)出的球面波在Σ面上的復(fù)振幅分布；

表示Σ上任意一點(diǎn)Q處的小面元發(fā)出的球面子波對(duì)P點(diǎn)的貢獻(xiàn)量。

用惠更斯-菲涅耳原理的基本思想來(lái)解釋?zhuān)?/p>

P點(diǎn)的光振動(dòng)的復(fù)振幅是由這些次波源產(chǎn)生的，并且它與入射波在孔徑上的復(fù)振幅和傾斜因子有關(guān)，與波長(zhǎng)λ成反比，而且次波源的振動(dòng)相位超前入射波的相位90o，這一點(diǎn)由1/j來(lái)說(shuō)明[1/j=exp(-jπ/2)]。

第四章光的衍射次波源

表明在波面法線(xiàn)方向上的次波貢獻(xiàn)最大；

第四章光的衍射

菲涅爾關(guān)于次波貢獻(xiàn)的研究中假設(shè)

是不對(duì)的。

傾斜因子的具體表達(dá)式：

當(dāng)點(diǎn)光源距孔徑較遠(yuǎn)，可以看作是平行光入射時(shí)，

3.基爾霍夫衍射公式的化簡(jiǎn)和推廣

傍軸近似：對(duì)于傍軸光線(xiàn)，衍射孔徑的線(xiàn)度遠(yuǎn)小于衍射孔徑平面到觀察屏的距離，光源和考察面上的有效范圍對(duì)衍射孔徑中心的張角很小，因此，可近似認(rèn)為：第四章光的衍射基爾霍夫衍射積分公式就簡(jiǎn)化為：

基爾霍夫衍射積分公式通用表達(dá)式：

衍射孔徑的復(fù)振幅透射系數(shù)：

第四章光的衍射

透過(guò)衍射物體的光波可以表示為：

任意單色光源發(fā)出的光波到達(dá)衍射孔徑平面時(shí)的復(fù)振幅

直角坐標(biāo)系中可適用于任意照明條件和任意性質(zhì)的衍射物體的基爾霍夫衍射積分公式：

四、菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射第四章光的衍射1.菲涅爾近似和菲涅爾衍射

觀察平面距衍射孔徑的距離不同，所得到的衍射圖樣不同。

K2、K3及其周?chē)姆秶鷥?nèi)的衍射現(xiàn)象，稱(chēng)為近場(chǎng)衍射或菲涅爾衍射；較遠(yuǎn)處，如K4及更遠(yuǎn)處的衍射現(xiàn)象稱(chēng)為遠(yuǎn)場(chǎng)衍射或夫朗和費(fèi)衍射。第四章光的衍射菲涅爾衍射

光源和場(chǎng)點(diǎn)都為有限遠(yuǎn)光源無(wú)限遠(yuǎn)，場(chǎng)點(diǎn)有限遠(yuǎn)

衍射孔徑上的任一點(diǎn)與考察面上的任一點(diǎn)之間的距離為r：

傍軸近似的條件：

第四章光的衍射x將r展開(kāi)成二項(xiàng)式：

菲涅爾近似：當(dāng)d大到能夠滿(mǎn)足：第四章光的衍射菲涅爾衍射區(qū)

基爾霍夫衍射積分公式就進(jìn)一步化簡(jiǎn)為（菲涅爾積分公式

）：

第四章光的衍射2.夫瑯和費(fèi)近似和夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)近似：d大到可以滿(mǎn)足：第四章光的衍射光源和場(chǎng)點(diǎn)都為無(wú)限遠(yuǎn)基爾霍夫衍射公式可化簡(jiǎn)為（夫瑯和費(fèi)衍射積分公式）：

夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)

六、在有限距離觀察夫瑯和費(fèi)衍射的方法

夫朗和費(fèi)衍射問(wèn)題可以得到解析解，菲涅爾衍射只能得到近似解，無(wú)法得到解析解。第四章光的衍射

使用透鏡近距離的觀察并使用夫瑯和費(fèi)衍射

1.平面波照明的情形

薄透鏡使入射光波的相位空間分布發(fā)生改變，是相位變換(調(diào)制)器：當(dāng)光線(xiàn)通過(guò)薄透鏡時(shí)，中心區(qū)域厚，光程長(zhǎng)，相位延遲大；邊緣區(qū)域薄，光程短，相位延遲小，入射光波的等相位面形狀改變。返回薄透鏡的相位變換作用可以用它的透射函數(shù)表示

其中：第四章光的衍射出射平面的光波復(fù)振幅

到達(dá)透鏡入射面的光波復(fù)振幅

圖（a）正入射的平面波，復(fù)振幅為1：

凸透鏡的作用就是將入射的平面波變更為出射的球面波。簡(jiǎn)諧球面波在極坐標(biāo)中可以表示為：

只能用菲涅爾近似，得到會(huì)聚球面波的表達(dá)式：第四章光的衍射合并常數(shù)項(xiàng)：透鏡的位相變換因子：

經(jīng)過(guò)像差精心校正的任一實(shí)際透鏡的相位變換作用，都可以用上式表示。

經(jīng)過(guò)透鏡和衍射孔徑后，出射光波的復(fù)振幅：第四章光的衍射其中，單位振幅的單色平面波正入射照明，復(fù)振幅為

衍射物體的復(fù)振幅透射系數(shù)為

代入到菲涅爾衍射公式中，得到：

z等于f時(shí)，上式可化簡(jiǎn)為：

第四章光的衍射

上式和夫瑯和費(fèi)衍射公式具有完全相同的形式，也就是說(shuō)，用圖（a）的衍射裝置，可以在透鏡的后焦面上觀察到衍射孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射，衍射圖形的空間擴(kuò)展與透鏡的焦距有關(guān)。

如采用圖（b）的裝置，可以證明，仍然可以在透鏡的后焦面上觀察到衍射物體的夫瑯和費(fèi)衍射。第四章光的衍射

斜入射平面波照明，設(shè)入射平面波的方向角為β，則照明光波的復(fù)振幅可以表示為：

圖b

透鏡后焦面上的復(fù)振幅仍然可以用上面的式子來(lái)表示，現(xiàn)在有：

第四章光的衍射2.球面波照明的情形應(yīng)用菲涅爾衍射積分公式可以證明，當(dāng)用球面波照明時(shí)，只要滿(mǎn)足一定的條件，仍然可以在近距離觀察到物體的夫瑯和費(fèi)衍射。應(yīng)用菲涅爾近似，s發(fā)出的球面波在衍射孔徑平面上的復(fù)振幅分布為：

第四章光的衍射

B0是球面波在中心點(diǎn)的復(fù)振幅。

透鏡出射平面的復(fù)振幅分布為：帶入菲涅爾公式可得到：

第四章光的衍射令

即觀察面位于點(diǎn)光源的共軛像面上時(shí)，衍射公式可化簡(jiǎn)為：第四章光的衍射當(dāng)

上式與夫瑯和費(fèi)衍射公式相同。所以，用單色球面波照明時(shí)，在點(diǎn)光源的共軛像面上可以得到夫瑯和費(fèi)衍射。由此我們可以得到，無(wú)論用什么樣的光源照明，只要滿(mǎn)足一定的條件，我們都可以觀察到夫瑯和費(fèi)衍射。

第二節(jié)衍射和傅立葉變換一、計(jì)算衍射問(wèn)題的傅立葉變換方法

不論是在菲涅爾衍射公式還是在夫瑯和費(fèi)衍射公式中，都有一個(gè)線(xiàn)性復(fù)指數(shù)因子：

第四章光的衍射令：

就可以將復(fù)指數(shù)因子表示為：

三維簡(jiǎn)諧平面波的復(fù)振幅為：

如果用直角坐標(biāo)系的三個(gè)分量表示，則：

第四章光的衍射

衍射公式中的復(fù)指數(shù)因子就相當(dāng)于一個(gè)三維簡(jiǎn)諧平面波，其空間頻率為：

實(shí)際上它也是一個(gè)二維傅立葉變換核。對(duì)于夫瑯和費(fèi)衍射：d=f，衍射公式可寫(xiě)為：第四章光的衍射其中，

設(shè)：衍射孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射就可以用它的二維傅立葉變換和一個(gè)復(fù)常數(shù)的乘積來(lái)表示，即可以表示為：

其中，復(fù)常數(shù)可以表示為：

第四章光的衍射一般衍射圖形的分布都可用輻照度表示：

則夫瑯和費(fèi)衍射圖形的輻照度為：它的傅立葉變換可以表示為：

第四章光的衍射于是，菲涅爾變換也可以表示為：

對(duì)于菲涅爾衍射，把積分項(xiàng)中的因子歸到衍射孔徑的表達(dá)式中，就有：

第三節(jié)單孔的夫朗和費(fèi)衍射

一、單縫的夫朗和費(fèi)衍射第四章光的衍射單縫的復(fù)振幅透過(guò)系數(shù)可表示為：

或透過(guò)衍射物體的光波的復(fù)振幅為：傅立葉變換的縮放定理

設(shè)函數(shù)第四章光的衍射的傅立葉變換為a為不等于零的任意實(shí)常數(shù)，則有：矩形函數(shù)的傅立葉變換：衍射圖形的輻照度為：第四章光的衍射表示衍射圖樣只存在于y=0處，即x軸上，可省略。

若用傾斜平面波照明，衍射圖形的分布形式不改變，中央亮斑的中心位置平移到了照明光源的共軛像點(diǎn)的位置。

代入夫瑯和費(fèi)衍射公式，得到單縫的夫瑯和費(fèi)衍射的復(fù)振幅分布為：

單縫衍射圖形的特點(diǎn)我們采用菲涅爾子波疊加的原理來(lái)介紹。

第四章光的衍射子波元的面積為

設(shè)ds為距單縫中心為ξ的面元，到P點(diǎn)的光程為r，中心處的面元到P點(diǎn)的光程為r0，則這兩支光的光程之差為：

代入到基爾霍夫衍射公式中：其中，第四章光的衍射

可以得到：其中，C為復(fù)常數(shù)

衍射角不是很大的情況下，

單縫衍射圖形的分布由sinc函數(shù)決定。

稱(chēng)為單縫衍射因子。

第四章光的衍射（1）單色光照明的衍射輻照度分布

對(duì)應(yīng)光強(qiáng)中央主極大值(亮條紋)；所以在屏幕中央，各光束同相位，相干疊加后產(chǎn)生極大光強(qiáng)，所以這個(gè)零級(jí)衍射斑中心就是幾何光學(xué)像點(diǎn)。第四章光的衍射

對(duì)應(yīng)衍射極小值即暗條紋。暗條紋的位置是：因?yàn)閙=±1，±2，……第四章光的衍射衍射極小對(duì)應(yīng)的衍射角為：可表示為：各極小近似等間距。

兩個(gè)衍射極小之間，有一個(gè)衍射次極大。

設(shè)：的位置就是各級(jí)衍射次極大的位置。解這個(gè)方程，得到：為超越方程,只能圖解。第四章光的衍射作圖求解輻照度曲線(xiàn)相鄰兩暗紋的角寬度為：

在中央亮斑內(nèi)，集中了單縫衍射的絕大部分能量，它的角寬度是相鄰兩暗紋角寬度的兩倍：第四章光的衍射線(xiàn)寬度為：由此可見(jiàn)，當(dāng)λ一定時(shí)，小，則大，衍射現(xiàn)象顯著。

中央亮斑的大小與波長(zhǎng)成正比，波長(zhǎng)越長(zhǎng)，衍射效應(yīng)越明顯，所以可以說(shuō)幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)當(dāng)λ→0時(shí)的極限情況。

點(diǎn)光源照射時(shí)的夫瑯和費(fèi)單縫衍射圖形

線(xiàn)光源照射時(shí)的夫瑯和費(fèi)單縫衍射圖形。此時(shí)的衍射條紋是線(xiàn)光源上各個(gè)不相干點(diǎn)光源產(chǎn)生的衍射圖樣的總和。

第四章光的衍射相對(duì)復(fù)振幅和輻照度分布第四章光的衍射

(2)白光照明：白光照明時(shí)，衍射條紋除中央極大由于m=0而與波長(zhǎng)無(wú)關(guān)，即各波長(zhǎng)的中央極大都集中在一起，從而形成白色亮紋外，其余各條紋都將呈現(xiàn)出彩色，由內(nèi)向外的顏色依次是由紫到紅。第四章光的衍射二、矩孔的夫朗和費(fèi)衍射

矩形孔徑的復(fù)振幅透射系數(shù)可以用二維矩形函數(shù)表示：

第四章光的衍射它的傅立葉變換為：

矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射的復(fù)振幅分布和輻照度分布：第四章光的衍射

中央亮斑集中了絕大部分光能，其寬度與單縫衍射時(shí)相似，為：

第四章光的衍射

三、圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射

由于大多數(shù)光學(xué)儀器都是圓形光瞳，所以最有實(shí)際意義的是圓孔的夫朗和費(fèi)衍射。極坐標(biāo)系中的傅立葉變換公式可由直角坐標(biāo)系中的傅立葉變換公式直接導(dǎo)出。

第四章光的衍射對(duì)空間坐標(biāo)來(lái)說(shuō)：

觀察平面上空間頻率坐標(biāo)第四章光的衍射

代入到直角坐標(biāo)系的二維傅立葉變換和傅立葉逆變換公式第四章光的衍射ξ

由于是圓對(duì)稱(chēng)的，復(fù)振幅的分布于β無(wú)關(guān)，則傅立葉積分可以簡(jiǎn)化為單重積分形式傅立葉—貝塞爾變換第四章光的衍射將圓孔函數(shù)表示為：它的傅立葉變換為：圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射的復(fù)振幅和輻照度分布：第四章光的衍射令衍射圖樣

第四章光的衍射

衍射圖樣的極值特性：

在ψ=0時(shí)，即對(duì)于軸上點(diǎn)P0，即為中央極大值；當(dāng)ψ滿(mǎn)足J1(ψ)=0時(shí)，光強(qiáng)度為0，有極小值，也就是暗紋。此外，在相鄰兩個(gè)極小之間，有一個(gè)衍射次極大。光的能量主要是集中在中央亮斑內(nèi)，這一亮斑通常稱(chēng)為愛(ài)里斑。愛(ài)里斑的半徑由第一光強(qiáng)極小值處的ψ值決定。θ為衍射角以角半徑來(lái)表示：

式中，S為圓孔面積，可見(jiàn)，圓孔面積越小，愛(ài)里斑面積越大，衍射現(xiàn)象就越明顯。第四章光的衍射愛(ài)里斑的面積為：夫瑯和費(fèi)圓孔衍射輻照度分布曲線(xiàn)中央主極大第一極小第一次極大第二極小00.61/ε0.81/ε1.12/ε10.017500第四章光的衍射第四章光的衍射四、光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)光學(xué)成像系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)物所成的像實(shí)際上就是系統(tǒng)對(duì)這個(gè)點(diǎn)物在像面上形成的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，也可以說(shuō)，點(diǎn)物經(jīng)成像系統(tǒng)所成的像就是它經(jīng)系統(tǒng)衍射后產(chǎn)生的衍射圖樣。衍射孔徑顯然就是系統(tǒng)的孔徑，也就是限制了成像光束的孔徑光闌。因?yàn)楣鈱W(xué)系統(tǒng)的孔徑幾乎都是圓形的，所以形成的衍射圖樣都是夫瑯和費(fèi)圓孔衍射的圖樣。光學(xué)系統(tǒng)由于孔徑的衍射作用，將使分辨率受到一定的限制。所謂分辨率，指的是光學(xué)系統(tǒng)能分辨開(kāi)兩個(gè)靠近的點(diǎn)物或物體細(xì)節(jié)的能力，它是光學(xué)成像系統(tǒng)的重要性能指標(biāo)。1．瑞利判據(jù)

當(dāng)S1、S2之間的距離不同時(shí)，得到的衍射像的情況也有所不同，我們來(lái)看下面這三種情況。

第四章光的衍射第四章光的衍射兩物點(diǎn)的衍射光斑，若其中一個(gè)的中央極大，恰與另一個(gè)的第一極小相重，則認(rèn)為這兩物點(diǎn)恰可分辨.瑞利判據(jù)：這種情況下，兩衍射圖樣的中心的光強(qiáng)度約為中央極大的82%以上，這可由兩個(gè)衍射圖樣的光強(qiáng)曲線(xiàn)簡(jiǎn)單相加得到.大多數(shù)人的視覺(jué)可以分辨出.(1)人眼的分辨本領(lǐng)A,B是兩物點(diǎn)，近軸情況下sin=.由折射定律由瑞利判據(jù),若AB恰可分辨,則Ａ的中央極大與B的第一極小恰相重疊．3.光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)2.人眼的分辨本領(lǐng)A,B是兩物點(diǎn)，近軸情況下sin=.由折射定律由瑞利判據(jù),若AB恰可分辨,則Ａ的中央極大與B的第一極小恰相重疊．第四章光的衍射第四章光的衍射眼內(nèi)最小可分辨角．人眼的分辨本領(lǐng)由眼外最小可分辨角量度.眼外最小分辨角式中d為瞳孔直徑，為光在眼內(nèi)波長(zhǎng),第四章光的衍射人眼瞳孔直徑:若取d=2.5毫米，λ=550nm，則人眼最小分辨角為1′．若物體距離人眼太遠(yuǎn),或物體太小,則對(duì)人眼的張角小于1角分,以至于眼睛不能分辨.解決前一種情況用望遠(yuǎn)鏡,解決后一種情況用顯微鏡.望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡的作用,是把被自己分辨的物體再放大,使其對(duì)眼睛的張角大于1′.3．望遠(yuǎn)物鏡的分辨本領(lǐng)

設(shè)望遠(yuǎn)物鏡的有效通光孔徑的直徑為D，焦距為f，光波長(zhǎng)為λ，則它對(duì)遠(yuǎn)處物點(diǎn)所成的像的愛(ài)里斑的角半徑為：第四章光的衍射

根據(jù)瑞利判據(jù)，可得到望遠(yuǎn)物鏡的最小分辨角為：

4．照相物鏡的分辨本領(lǐng)

和焦距相比，照相物鏡要成像的物體是較遠(yuǎn)的，其像面即感光膠片所在的位置大約就是焦面的位置。若照相物鏡的孔徑為D，焦距為f，則它的分辨率N通常用最靠近的兩直線(xiàn)在感光膠片上的距離第四章光的衍射的倒數(shù)來(lái)定義。

則N為：若取λ=550nm，則N又可表示為：式中，D/f是物鏡的相對(duì)孔徑。由上式可見(jiàn)，照相物鏡的相對(duì)孔徑越大，其分辨率越高。當(dāng)然，對(duì)于照相系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，限制系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)的除了物鏡的分辨率以外，還有感光膠片的分辨率。為了充分利用物鏡的分辨率，就要選擇分辨率比物鏡高的感光膠片。第四章光的衍射5．顯微鏡的分辨本領(lǐng)限制系統(tǒng)成像孔徑大小的是物鏡的邊框，所以，物鏡框即限制了顯微鏡的分辨本領(lǐng)。設(shè)顯微物鏡孔徑光闌的直徑為D，則其衍射像的愛(ài)里斑的半徑為：第四章光的衍射

這時(shí)兩物點(diǎn)之間的距離ε就是物鏡所能分辨的最小距離。

阿貝成像條件

nsinu稱(chēng)為物鏡的數(shù)值孔徑，通常以NA表示。

第四章光的衍射在l′>>D時(shí)，sinu′近似地可表示為：ΣΣ'五、特殊物體的夫瑯和費(fèi)衍射1．屏的衍射—巴比內(nèi)原理

一個(gè)屏的開(kāi)孔部分正好與另一個(gè)屏的不透明部分相對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為互補(bǔ)屏。它們的復(fù)振幅透過(guò)系數(shù)滿(mǎn)足：

巴比內(nèi)原理：兩個(gè)互補(bǔ)屏在衍射場(chǎng)中某點(diǎn)單獨(dú)產(chǎn)生的光場(chǎng)復(fù)振幅之和等于無(wú)衍射屏、光波自由傳播時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的光場(chǎng)復(fù)振幅。第四章光的衍射當(dāng)光波不受限制時(shí)，考察點(diǎn)P處的復(fù)振幅為則有：分別表示Σ、Σ'單獨(dú)放在光源和觀察屏之間時(shí)，觀察屏上P點(diǎn)處的光場(chǎng)復(fù)振幅。

(4.103)

在夫瑯和費(fèi)衍射平面上，除了透鏡后焦面的中心F點(diǎn)以外，恒有：

第四章光的衍射對(duì)于夫瑯和費(fèi)衍射，對(duì)(4.103)式的兩邊作傅立葉變換，可以得到：

衍射孔Σ和它的互補(bǔ)屏Σ'的夫瑯和費(fèi)衍射，在除了衍射考察平面中心點(diǎn)之外的一切考察點(diǎn)上，復(fù)振幅的位相相差π，輻照度則完全相同。

2．隨機(jī)顆粒的夫瑯和費(fèi)衍射

應(yīng)用巴比內(nèi)原理，還可以測(cè)量散射小顆?；蚣?xì)絲的直徑的大小。

第四章光的衍射3．直邊的夫瑯和費(fèi)衍射直邊半無(wú)限平面的復(fù)振幅透射系數(shù)可表示為階躍函數(shù)。當(dāng)用單位振幅的單色平面波正入射照明時(shí)，透射光的復(fù)振幅可以表示為：直邊的夫瑯和費(fèi)衍射的復(fù)振幅和輻照度為：

在直邊的兩邊，即在“光照區(qū)”和“陰影區(qū)”，衍射圖形具有完全對(duì)稱(chēng)的形式。第四章光的衍射

六、夫瑯和費(fèi)衍射圖形的性質(zhì)

夫瑯和費(fèi)衍射圖樣具有以下的一些特點(diǎn)。衍射現(xiàn)象沿光波受限方向擴(kuò)散單縫衍射僅沿與縫垂直方向擴(kuò)散，矩孔的衍射同時(shí)沿兩個(gè)邊的方向擴(kuò)散，而圓孔衍射圖樣和圓孔一樣具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。總之在什么方向上限制了光波，光波就在什么方向上產(chǎn)生衍射。衍射現(xiàn)象的擴(kuò)散程度與孔徑大小成反比對(duì)光波的限制越嚴(yán)重，衍射現(xiàn)象就越顯著。第四章光的衍射孔徑(衍射屏)在自身平面內(nèi)的平移不改變衍射圖樣的位置和形狀。第四章光的衍射傅立葉平移定理：設(shè)函數(shù)的傅立葉變換為為任意實(shí)常數(shù)，則有：衍射圖樣位置和形狀均不變，只是頻譜函數(shù)附加了一個(gè)線(xiàn)性相移。

傾斜平面波照明孔徑，使衍射圖樣產(chǎn)生平移只要孔徑范圍內(nèi)的透射率函數(shù)是實(shí)值函數(shù)，則不論孔徑的形狀如何；衍射圖樣都具有中心對(duì)稱(chēng)性。這一結(jié)論可由極坐標(biāo)系中的傅立葉變換直接進(jìn)行證明。第四章光的衍射設(shè)函數(shù)的傅立葉變換為為任意實(shí)常數(shù)，則有：此時(shí)衍射圖樣只是移動(dòng)一個(gè)位置，其分布不變。

夫瑯和費(fèi)衍射圖樣與菲涅爾衍射圖樣的比較

夫瑯和費(fèi)衍射是孔徑函數(shù)的博里葉變換，所以衍射圖樣的函數(shù)形式很少甚至完全不與孔徑形狀相類(lèi)似，而菲涅耳衍射是孔徑函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)(點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù))的卷積，因此它大體上還帶有原孔徑形狀的特征，只是擴(kuò)散且有了條紋。此外，夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的中央零級(jí)總是亮班，而菲涅爾衍射圖樣則不然。第四章光的衍射衍射與干涉的區(qū)別和聯(lián)系

從物理本質(zhì)上說(shuō)，干涉與衍射是完全一致的。只是在形成條件、分布規(guī)律及數(shù)學(xué)處理方法上有一些區(qū)別。當(dāng)參與疊加的各束光本身的傳播行為，可近似地用幾何光學(xué)直線(xiàn)傳播規(guī)律描述時(shí)，這個(gè)疊加就是干涉現(xiàn)象。合成場(chǎng)的求法是對(duì)于有限光束（波場(chǎng)）進(jìn)行復(fù)振幅求和。如果一個(gè)簡(jiǎn)單的波場(chǎng)（平面波或球面波)露出一個(gè)連續(xù)的波面(如經(jīng)過(guò)一單縫或圓孔)，則該波面在繼續(xù)傳播中不符合幾何光學(xué)規(guī)律的行為，可以認(rèn)為是衍射。合成場(chǎng)的求法是積分(基爾霍夫積分)，而且積分域只是一個(gè)連續(xù)的波面。第四章光的衍射干涉與衍射的圖樣是有區(qū)別的，雖然都具有條紋相間的特點(diǎn)，但光強(qiáng)分布不同。干涉圖樣的條紋主極大是等間距的，而且強(qiáng)度相同，而衍射圖樣，中央條紋的強(qiáng)度較大，離中央條紋越遠(yuǎn)的條紋強(qiáng)度越小。衍射屏上開(kāi)孔不止一個(gè)，是干涉和衍射的混合，顯然混合問(wèn)題的求法應(yīng)該是若干個(gè)積分的相加，每一個(gè)積分涉及一個(gè)單純的露出連續(xù)波面。按照一般習(xí)慣，把衍射及衍射與干涉的混合統(tǒng)稱(chēng)為衍射。在雙縫實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)縫寬a較大時(shí)，稱(chēng)為雙縫衍射。下面將看到雙縫(及多縫)衍射的計(jì)算方法與雙縫干涉不同，光強(qiáng)分布也不同。第四章光的衍射第四節(jié)衍射光柵

光源和衍射圖形的關(guān)系

對(duì)于光線(xiàn)斜入射的情形，我們上面已經(jīng)提到。對(duì)于擴(kuò)展光源照明的情形，如對(duì)于單縫衍射來(lái)說(shuō)，用線(xiàn)光源照明，則條紋會(huì)擴(kuò)展。第四章光的衍射

衍射光柵都是基于夫朗和費(fèi)多縫衍射效應(yīng)進(jìn)行工作的。光柵：大量等寬、等間隔的狹縫構(gòu)成的光學(xué)元件。世界上最早的光柵是夫朗和費(fèi)在1819年制成的金屬絲柵網(wǎng)。一般的光柵是通過(guò)在平板玻璃或金屬板上刻劃出一道道等寬、等間距的刻痕制成的。新型光柵：晶體光柵、超聲光柵、晶體折射率光柵等。

光柵的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣稱(chēng)為光柵光譜。

光柵對(duì)于同時(shí)入射的復(fù)色光有分光作用。對(duì)光波的調(diào)制方式：振幅型和相位型；工作方式：透射型和反射型；工作表面的形狀：平面光柵和凹面光柵；對(duì)入射波調(diào)制的空間：二維平面光柵和三維體積光柵；光柵制作的方式：機(jī)刻光柵，復(fù)制光柵以及全息光柵等。通用的透射光柵是在平板玻璃上刻劃出一道道等寬、等間距的刻痕，刻痕處不透光，無(wú)刻痕處是透光的玻璃。反射式光柵是在金屬反射鏡面上刻劃出一道道刻痕，刻痕處發(fā)生漫發(fā)射，不刻痕處在反射方向上發(fā)生衍射。都是振幅型光柵。一塊光柵的刻痕通常很密，實(shí)驗(yàn)室常用的是600條/mm和1200條/mm的光柵，總的刻痕數(shù)可達(dá)到50000條。第四章光的衍射一、一維振幅光柵只調(diào)制入射光的振幅，是振幅光柵。各個(gè)縫對(duì)入射光振幅的透過(guò)率為1，不透光的部分對(duì)入射光振幅的透過(guò)率為0，各縫之間的距離d就稱(chēng)為光柵常數(shù)。用平行光照明多縫時(shí)，每一個(gè)單縫都產(chǎn)生自己的衍射。當(dāng)每個(gè)單縫的寬度相等時(shí)，各套衍射條紋在透鏡的焦面上完全重疊。各單縫產(chǎn)生的衍射之間是相干的，多縫的夫瑯和費(fèi)衍射就相當(dāng)于是單縫的夫瑯和費(fèi)衍射和多光束干涉的綜合效果。第四章光的衍射1．一維振幅光柵的衍射圖形透過(guò)率函數(shù)為：卷積的定義和傅立葉變換的卷積定理

第四章光的衍射（1）卷積的定義：我們以一維函數(shù)為例來(lái)介紹。設(shè)有函數(shù)，它們的卷積定義為：

卷積運(yùn)算可用于描述光學(xué)系統(tǒng)的成像過(guò)程。光學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)，輸出函數(shù)是輸入函數(shù)與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積。卷積運(yùn)算具有平滑作用，卷積結(jié)果的圖形比被卷積函數(shù)的圖形“光滑”。從光學(xué)成像的觀點(diǎn)上看，卷積會(huì)使被卷積的圖像丟失某些細(xì)節(jié)，產(chǎn)生像模糊。圖解法計(jì)算卷積分為四個(gè)步驟：折疊、位移、相乘、積分。第四章光的衍射可以把卷積運(yùn)算理解為求兩個(gè)函數(shù)和重疊部分的面積，不過(guò)隨著x的不向取值，而有不同的重疊面積。

(a)折疊

(b)位移

第四章光的衍射設(shè)虛變量為橫坐標(biāo)軸，

(c)相乘

從圖形上看是兩函數(shù)圖形重疊部分各點(diǎn)的積。

(d)積分

求出x為不同值時(shí)，乘積曲線(xiàn)下面的面積。以x為橫坐標(biāo)，以所求面積為縱坐標(biāo)，所得曲線(xiàn)即為卷積的結(jié)果。

舉例說(shuō)明。設(shè)有兩個(gè)函數(shù)第四章光的衍射和要求它們的卷積。

第四章光的衍射第四章光的衍射

解析法(或稱(chēng)積分法)就是按照卷積的定義式直接進(jìn)行積分運(yùn)算。仍以上例來(lái)說(shuō)明解析法計(jì)算卷積的過(guò)程。

其中：第四章光的衍射

分段積分就可以得到和圖解法同樣的結(jié)果。

（2）卷積定理：

設(shè)第四章光的衍射（3）一維振幅光柵的復(fù)振幅和輻照度利用卷積定理可以得到：

為空間頻率

用子波疊加的方法來(lái)求解

各縫在P點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)，振幅相同，相位不同。相鄰兩縫在θ方向上的光程差為：

第四章光的衍射相位差為：

設(shè)最上面的狹縫在P點(diǎn)的光振動(dòng)相位為零，則各縫在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅分別為：

第四章光的衍射其中，與單縫衍射時(shí)相同，c是復(fù)常數(shù)，于是P點(diǎn)的復(fù)振幅為：

寫(xiě)成更直觀的形式：

第四章光的衍射其中，I0是P0點(diǎn)的輻照度。上式也可以寫(xiě)成：第一項(xiàng)稱(chēng)為單縫衍射因子：第四章光的衍射

它表示單縫邊緣光束在θ衍射方向上相位差之半；

第二項(xiàng)稱(chēng)為多光束干涉因子：

它表示相鄰單縫在θ衍射方向上相位差之半。多縫衍射圖樣具有等振幅、等相位差多光束干涉和單縫衍射的特征。（4）雙縫衍射

N=2，則P點(diǎn)的輻照度為：第四章光的衍射

式中的最后一項(xiàng)正是我們前面討論過(guò)的雙光束干涉因子。

雙縫衍射看作是等振幅雙光束干涉受到了單縫衍射的調(diào)制。單縫衍射因子只與單縫本身有關(guān)，而與有多少個(gè)縫無(wú)關(guān)；多縫干涉因子則是由于狹縫的周期性排列引起的，它與單縫本身的性質(zhì)無(wú)關(guān)。第四章光的衍射（5）多縫衍射圖樣A．多縫衍射主極大（主亮紋）：

當(dāng)：第四章光的衍射m=0，±1，±2…

或

m=0，±1，±2…

多光束干涉因子有極大值。這些極大值就稱(chēng)為多縫衍射主極大，m即為主極大的級(jí)次，上式又常稱(chēng)為光柵方程，它表明主極大的位置與縫數(shù)無(wú)關(guān)，又因?yàn)檠苌浣堑恼襰inθ的值不能大于1，所以主極大的級(jí)次是有限的。

B．暗紋和次亮紋：當(dāng)

多光束干涉因子有極小值，其數(shù)值為零。相鄰兩個(gè)主極大之間，有（N-1）個(gè)極小，相鄰的兩個(gè)零值之間也有一個(gè)次極大，在相鄰的兩個(gè)主極大之間就有共（N-2）個(gè)次極大。次極大的強(qiáng)度與它離開(kāi)主極大的距離有關(guān)，但它們的強(qiáng)度都很小，即使是主極大旁邊的最強(qiáng)的次極大，其強(qiáng)度也只有主極大強(qiáng)度的4%左右。并且，隨縫數(shù)N的增加，次極大的寬度也減小，當(dāng)N很大時(shí)，次極大將與強(qiáng)度零點(diǎn)混成一片，成為衍射圖樣的背景。第四章光的衍射L=1，2，…N-1

C．主亮紋寬度：

光柵衍射主亮紋的寬度定義為強(qiáng)度極大值位置與相鄰的第一個(gè)衍射強(qiáng)度極小值位置之間的位相間隔，用b表示。

第四章光的衍射由上式可見(jiàn)，光柵的縫數(shù)越多，也就是相干光束的數(shù)目越多，主亮紋就越窄。

角寬度表示主亮紋中心和相鄰暗紋中心對(duì)于觀察透鏡的張角。

第四章光的衍射采用細(xì)度的概念來(lái)表示主亮紋的特點(diǎn)，定義為：

光柵主亮紋的細(xì)度就等于它的縫數(shù)。

D．主極大的強(qiáng)度：主亮紋的強(qiáng)度可以用衍射圖形輻照度的主極大值來(lái)表示：

零級(jí)主亮紋的強(qiáng)度是光柵衍射各級(jí)主亮紋的強(qiáng)度的最大，其值為：第四章光的衍射第m級(jí)衍射主亮紋的相對(duì)強(qiáng)度可以表示為：

光柵衍射的主亮紋位置雖然是由多光束干涉決定，但各級(jí)主亮紋的強(qiáng)度卻受到單縫衍射的調(diào)制。

E．缺級(jí)：

需要注意的是，當(dāng)干涉因子的某級(jí)主極大值剛好與衍射因子的某級(jí)極小值重合時(shí)，這些主級(jí)大值就被調(diào)制為零，當(dāng)然對(duì)應(yīng)極次的主極大就消失了，這就是缺級(jí)現(xiàn)象。Sinc函數(shù)的自變量為整數(shù)時(shí)，sinc函數(shù)為0。由此可得到缺級(jí)條件：

第四章光的衍射

（N為整數(shù)）

則所缺的干涉級(jí)為：

，N均為整數(shù)

在多縫衍射中，隨著狹縫數(shù)目的增加，衍射圖樣有兩個(gè)顯著的變化：一是光的能量向主極大集中，二是亮條紋變得更加細(xì)而亮。

F．單縫衍射中央亮區(qū)的主亮紋數(shù)目單縫衍射的正1級(jí)衍射極小對(duì)應(yīng)的衍射角為：

第四章光的衍射此衍射角所對(duì)應(yīng)的多光束干涉的位相為：負(fù)1級(jí)衍射極小所對(duì)應(yīng)的衍射角和位相：

在衍射負(fù)1級(jí)到正1級(jí)之間的干涉位相寬度為：

而主亮紋的位相間隔是2π（見(jiàn)A），所以在這一區(qū)域內(nèi)，主亮紋的數(shù)目為：

第四章光的衍射只適用于d/a為整數(shù)的情況。

我們也可以這樣來(lái)理解：

單縫衍射第一級(jí)極小的衍射角θ所對(duì)應(yīng)的光柵衍射級(jí)次可由光柵方程來(lái)求出。所以：第四章光的衍射

若n為整數(shù)，則這是一個(gè)缺的級(jí)，那么，在單縫衍射的中央亮區(qū)內(nèi)的主亮紋的數(shù)目即為：

加上的1是中央亮紋，因中央亮紋級(jí)數(shù)是0，不包括在n的范圍內(nèi)；乘以2倍是因?yàn)檫€有負(fù)的同樣數(shù)目的級(jí)次。若n不是整數(shù)，則在中央亮區(qū)中干涉級(jí)次就是n級(jí)，主亮紋數(shù)目就是2n+1。用圖解法很容易看出。

不同縫數(shù)的光柵衍射圖樣，其中(a)單縫；(b)雙縫；(c)3縫；(d)5縫；（e)6縫；(f)20縫。

第四章光的衍射2．余弦振幅光柵復(fù)振幅透射系數(shù)第四章光的衍射

這種光柵的制作通過(guò)照相紀(jì)錄傳播方向有一定夾角的兩平面波的干涉條紋來(lái)得到。求解衍射場(chǎng)的強(qiáng)度分布，用傅立葉變換的方法：

由上式可以看出，這種光柵只有三條譜線(xiàn)，零級(jí)和正負(fù)一級(jí)。

3．一維振幅光柵的衍射效率光柵第m級(jí)的衍射效率可以這樣來(lái)定義：第四章光的衍射

一維矩形振幅光柵：用振幅為E0的單色平面波正入射照明，一級(jí)衍射波可以表示為：

若a=d/2，則1級(jí)衍射波的振幅為：

衍射效率為：

第四章光的衍射余弦光柵的1級(jí)衍射的衍射效率為：

4．一維振幅光柵的分光性能

光柵作為分光元件，最重要的性能和評(píng)價(jià)指標(biāo)有三個(gè)，即色散，分辨本領(lǐng)，色散范圍。

（1）光柵的色散分光元件將入射光種不同波長(zhǎng)的單色成分在空間分開(kāi)的程度稱(chēng)為分光元件的色散。波長(zhǎng)相差0.1nm的兩條譜線(xiàn)分開(kāi)的角距離稱(chēng)為角色散：第四章光的衍射對(duì)光柵方程兩邊微分：

由此可見(jiàn)，光柵的角色散與光柵常數(shù)成反比，與衍射級(jí)次成正比。

線(xiàn)色散是聚焦物鏡焦面上波長(zhǎng)相差0.1nm的兩條譜線(xiàn)分開(kāi)的距離。設(shè)f是物鏡的焦距，則線(xiàn)色散為：

光柵的色散越大，它就越容易將兩條靠得很近的譜線(xiàn)分開(kāi)。

第四章光的衍射（2）光柵的分辨本領(lǐng)

圖（c）是兩條譜線(xiàn)的疊加使中心出現(xiàn)平頂，斯派羅認(rèn)為，此時(shí)是剛好能夠分辨這兩條譜線(xiàn)。

若光柵所能分辨的最小波長(zhǎng)差為δλ，分辨本領(lǐng)就定義為：

第四章光的衍射

如果用δθ'和δθ分別表示主亮紋的角寬度和角間距，則由瑞利判據(jù)確定的剛好可分辨的條件可表示為：利用角色散公式：

光柵可分辨的最小波長(zhǎng)差為：

光柵的分辨本領(lǐng)與光柵常數(shù)d無(wú)關(guān)，而與光柵的總線(xiàn)數(shù)和衍射級(jí)次成正比。

第四章光的衍射其分辨本領(lǐng)為：

采用傾斜入射的照明方式，可提高光柵的衍射級(jí)次，從而提高分辨率。

兩支相鄰入射光束的位相差為：

在θ角衍射方向上衍射的相鄰光束之間的位相差為：

光柵方程的普遍形式可寫(xiě)成：第四章光的衍射m=0，±1，±2……光柵方程可以寫(xiě)成更一般的情形：m=0，±1，±2……

正負(fù)號(hào)的選?。喝粞苌涔馀c入射光在光柵法線(xiàn)的同一側(cè)時(shí)，取正號(hào)；若衍射光與入射光位于光柵法線(xiàn)的異側(cè)時(shí)，選負(fù)號(hào)。

（3）光柵的色散范圍（自由光譜范圍）由于衍射與波長(zhǎng)有關(guān)，從光柵的二級(jí)光譜開(kāi)始，相鄰級(jí)次的光譜之間會(huì)發(fā)生重疊現(xiàn)象。在波長(zhǎng)為λ的m+1級(jí)譜線(xiàn)和波長(zhǎng)為λ+△λ的m級(jí)譜線(xiàn)重疊時(shí)，波長(zhǎng)在λ到λ+△λ之內(nèi)的不同級(jí)次的譜線(xiàn)是不會(huì)重疊的，因此，光譜不重疊區(qū)△λ可由下式得到：第四章光的衍射當(dāng)不同波長(zhǎng)的光以給定的入射角β入射到光柵上時(shí)，對(duì)于每個(gè)m級(jí)衍射光都有一系列按波長(zhǎng)排列的光譜，該光譜就稱(chēng)為m級(jí)光譜。當(dāng)m=0時(shí)，所有波長(zhǎng)的光都混在一起，這就是零級(jí)譜。對(duì)于透射光柵，零級(jí)譜在相應(yīng)的入射光方向上；對(duì)于反射光柵，零級(jí)譜在相應(yīng)的反射光方向上。零級(jí)譜的兩邊均有m≠0的光譜，當(dāng)m>0時(shí)，稱(chēng)為正級(jí)光譜；當(dāng)m<0時(shí)，稱(chēng)為負(fù)級(jí)光譜。最大衍射級(jí)次可由下式求得：第四章光的衍射可見(jiàn)，當(dāng)β≠0時(shí)，正級(jí)光譜與負(fù)級(jí)光譜的級(jí)數(shù)是不相等的。

四、位相光柵1．閃耀光柵的結(jié)構(gòu)振幅型光柵，有一個(gè)共同的缺點(diǎn)，即沒(méi)有色散的零級(jí)條紋的能量占了衍射總能量的絕大部分，有色散的較高級(jí)次的條紋能量都很低，衍射效率較低。原因?yàn)閱慰p衍射的中央極大與多縫干涉的零級(jí)主極大重合。如果我們能將衍射的中央極大放到多縫干涉的某一級(jí)光譜上去，就可以提高衍射效率。瑞利在1888年首先指出，理論上有可能將光的衍射能量從零級(jí)主級(jí)大轉(zhuǎn)移到高級(jí)譜上去，1910年，伍得(Wood)首次成功地刻劃出了形狀可以控制的溝槽，這就是世界上第一塊閃耀光柵。第四章光的衍射平面衍射光柵：

當(dāng)光線(xiàn)沿任一角度β入射時(shí)，衍射單縫的縫兩邊緣點(diǎn)之間的光程差為：

第四章光的衍射而多縫干涉的縫之間的光程差為：

在零級(jí)處，光程差為0，所以，兩個(gè)方程具有一樣的衍射角，或者說(shuō)，衍射零級(jí)和干涉零級(jí)有一樣的方向。由此可見(jiàn)，要想將干涉極大與衍射極大分開(kāi)，必須使衍射和干涉的光程差分別由不同的因素決定。閃耀光柵：刻槽面與光柵面不平行的一種光柵，它的刻槽面和光柵面即書(shū)上所說(shuō)的宏觀平面之間有一個(gè)夾角α，稱(chēng)為閃耀角。因?yàn)楣鈻鸥缮嬷鳂O大的方向是以光柵面法線(xiàn)為其零級(jí)方向，而衍射的中央主級(jí)大方向則是由刻槽面法線(xiàn)方向等其他因素決定的。單個(gè)刻槽面（相當(dāng)于單縫）衍射的中央極大與各槽面（相當(dāng)于多縫）之間的零極主極大被分開(kāi)。從而將光能量從干涉零極主極大，即零級(jí)光譜，轉(zhuǎn)移到某一級(jí)光譜上去，實(shí)現(xiàn)了該級(jí)光譜的閃耀。

第四章光的衍射2．閃耀光柵的閃耀原理

以反射式閃耀光柵為例。設(shè)光柵的刻槽面與光柵面之間有一夾角α，平行入射光以與光柵面法線(xiàn)成β角入射，刻槽周期即刻槽的寬度為d，這時(shí)，單個(gè)刻槽面表面的衍射的中央極大的方向?qū)?yīng)于入射光的反方向，即刻槽面的幾何光學(xué)的反射方向，而對(duì)于光柵平面來(lái)說(shuō)，入射光以角度β入射，其m級(jí)干涉主級(jí)大的方向由光柵方程來(lái)確定，則有：

第四章光的衍射

光柵方程取“+”是因?yàn)樗^察的衍射光方向與入射光在光柵面法線(xiàn)的同側(cè)，衍射方向θ即為第m級(jí)干涉主極大。

將上式變換

由圖可見(jiàn)，若單縫衍射方向是入射光的反射方向：第四章光的衍射或者可以寫(xiě)成：

因而有：

第四章光的衍射

若光沿刻槽面法線(xiàn)方向入射即所謂的自準(zhǔn)直光路，則有：上式就變成：

稱(chēng)為主閃耀條件，波長(zhǎng)λb稱(chēng)為該光柵的閃耀波長(zhǎng)，m是相應(yīng)的級(jí)次。這時(shí)的閃耀方向即為光柵的閃耀角α的方向。

這就是單縫衍射中央主級(jí)大方向同時(shí)又為多縫m級(jí)干涉主級(jí)大方向所應(yīng)該滿(mǎn)足的條件。

使用一級(jí)閃耀

對(duì)波長(zhǎng)為λb1的1級(jí)光譜閃耀的光柵，也對(duì)λb1/2、λb1/3的2級(jí)、3級(jí)光譜閃耀。一般閃耀波長(zhǎng)都是指的1級(jí)光譜被閃耀的波長(zhǎng)。實(shí)際上，由于衍射的中央極大到極小之間有一定的寬度，所以，在閃耀波長(zhǎng)附近的一定范圍內(nèi)的譜線(xiàn)也有相當(dāng)大的光強(qiáng)，使得閃耀光柵可用于一定的波長(zhǎng)范圍。第四章光的衍射五、三維光柵1．三維光柵概述三維光柵是只能在三維可見(jiàn)范圍內(nèi)對(duì)入射光波進(jìn)行周期性調(diào)制的衍射光學(xué)元件，又稱(chēng)為體積光柵或體光柵。它對(duì)入射光波的調(diào)制不僅發(fā)生在二維平面上，而且發(fā)生在不同的深度上，因此它具有位相光柵的特性。根據(jù)三維光柵是否吸收入射光波，又可將三維光柵分為無(wú)吸收體積光柵和有吸收體積光柵。三維光柵大約有兩種類(lèi)型，一類(lèi)是用厚的位相記錄介質(zhì)對(duì)三維干涉場(chǎng)曝光從而形成三維光柵，它的結(jié)構(gòu)是由一系列部分散射、部分透射的面層構(gòu)成。另一類(lèi)三維光柵則是由三維空間中周期性排列的散射中心構(gòu)成，這種散射中心的尺寸與它們之間的間隔相比很小，入射光波可以大致均勻地射向每個(gè)散射中心。晶體在生長(zhǎng)過(guò)程中，形成了由晶胞規(guī)則排列的晶格結(jié)構(gòu)，如果把每個(gè)晶胞看著是一個(gè)散射中心，整個(gè)晶體就是一個(gè)三維光柵。第四章光的衍射2．晶體三維光柵對(duì)X射線(xiàn)的衍射

X射線(xiàn)，它的波長(zhǎng)為30～0.03nm，它與晶體的晶格周期基本上可以算作是一樣的數(shù)量級(jí)，所以對(duì)X射線(xiàn)來(lái)說(shuō)，晶體是理想的三維光柵。

第四章光的衍射

通常情況下是將三維的情況簡(jiǎn)化為二維的情況來(lái)討論。如圖，可以將這個(gè)三維的晶體光柵分解成一系列等間距的平面。

晶體的每個(gè)面層可作為一個(gè)二維光柵，其光柵常數(shù)為δ，則主極大的條件是：

第四章光的衍射

只有在面層的鏡面反射方向上的主極大是與δ、λ、α無(wú)關(guān)的，這一結(jié)論對(duì)每個(gè)層面都適用。

相鄰面層之間的位相差相同的，只有這個(gè)位相差為2π的整數(shù)倍時(shí)，各個(gè)面層的零級(jí)衍射光才能相干疊加。相鄰面層的衍射光之間的光程差為：

晶體三維光柵形成衍射強(qiáng)度主極大值的條件是：

布拉格公式或布拉格條件。

第四章光的衍射

布拉格波長(zhǎng)。

只有入射角滿(mǎn)足布拉格條件的光波才能在平行面層的鏡面反射方向上形成主極大：布拉格角三維光柵的波長(zhǎng)選擇性。

三維光柵的角度選擇性。

第五節(jié)菲涅爾衍射

照射到衍射屏上的光波波面和離開(kāi)衍射孔徑到達(dá)觀察屏上的波面都不能作為平面處理，因此，直接運(yùn)用菲涅爾—基爾霍夫衍射公式定量計(jì)算菲涅爾衍射時(shí)，數(shù)學(xué)處理非常復(fù)雜，一般不能得到精確解。所以，通常在處理菲涅爾衍射時(shí)，均采用半定量法，用比較簡(jiǎn)單、物理概念很清晰的菲涅爾波帶法或圖解法。

一、菲涅爾半波帶法1．菲涅爾半波帶

第四章光的衍射第四章光的衍射

以衍射考察面上的中心點(diǎn)P為圓心，以d0加上半個(gè)波長(zhǎng)的整數(shù)倍為半徑，即以d0+λ/2、d0+λ/、d0+3λ/2…等為半徑依次將波面劃分為環(huán)帶，在這些波帶中，兩個(gè)相鄰帶到P點(diǎn)的光程差均為半波長(zhǎng)。這樣的環(huán)帶就稱(chēng)為菲涅爾半波帶，也叫做菲涅爾波帶。

2．一個(gè)半波帶的貢獻(xiàn)PdN=d0+Nλ/2ρhN

設(shè)圓孔對(duì)P點(diǎn)共露出N個(gè)波帶，這N個(gè)波帶相應(yīng)的波面面積是：第四章光的衍射又由于dN=d0+Nλ/2，故有：

d0(N-1)個(gè)波帶所對(duì)應(yīng)的波面面積為：第四章光的衍射第N個(gè)波帶的面積為：由于通常波長(zhǎng)λ相對(duì)于R和d0很小，λ2項(xiàng)可以略去，因此可視各波帶面積近似相等。有：

設(shè)dN和dN-1是第N個(gè)波帶的兩個(gè)邊緣到P點(diǎn)的距離，第N個(gè)波帶到P點(diǎn)的距離取兩者的平均值：

傾斜因子

第四章光的衍射各個(gè)波帶在P點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)振幅為：

各個(gè)波帶產(chǎn)生的振幅EN的差別只取決于傾角θN。3．P點(diǎn)的復(fù)振幅

E1>E2>E3…>Ej

這是一個(gè)單調(diào)減小的數(shù)列，由于這種變化比較緩慢，所以各量之間近似有下列關(guān)系：

第四章光的衍射

相鄰波帶發(fā)出的次波到P點(diǎn)的相位差為π，因此，相鄰波帶在P點(diǎn)所產(chǎn)生的振動(dòng)的方向是相反的。一為正，一為負(fù)，因此，各波帶在P點(diǎn)所產(chǎn)生振動(dòng)的振幅之和為：

當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)，有：

當(dāng)j為偶數(shù)時(shí)，有：

第四章光的衍射在j足夠大時(shí)，Ej-1和Ej相差很小，則有：

則j為偶數(shù)時(shí)，有：第四章光的衍射當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)取正，j為偶數(shù)時(shí)取負(fù)。在S和P之間無(wú)任何障礙物時(shí)，Ej實(shí)際上趨于0，

由此式可見(jiàn)，沒(méi)有遮擋的整個(gè)波面對(duì)P點(diǎn)的作用相當(dāng)于第一個(gè)波帶在該點(diǎn)的作用的一半。因?yàn)椴◣У拿娣e很小，例如，對(duì)于500nm的綠光，當(dāng)R，d均為1米時(shí)，一個(gè)波帶的面積為3/4平方毫米，所以光能量的傳播可以看作是沿著SP直線(xiàn)進(jìn)行的。這也是把光看作是直線(xiàn)傳播的道理。4．波帶數(shù)目與圓孔半徑之間的關(guān)系由圖可以看出：第四章光的衍射因?yàn)椋旱玫剑?/p>

第四章光的衍射

所以：

一般情況下，均有d0>>Nλ，同時(shí)在平面波入射的條件下：故有：就是圓孔半徑hN和露出的波帶數(shù)N之間的關(guān)系。該式也可表示為：5．菲涅爾圓孔衍射采用菲涅爾波帶法。我們以P為中心，將露出的波面分成若干個(gè)波帶，顯然，只要知道分成的波帶的數(shù)目就能夠確定P點(diǎn)的振幅，從而得知此點(diǎn)的光強(qiáng)度。各項(xiàng)參數(shù)對(duì)衍射的影響。A．d0對(duì)衍射現(xiàn)象的影響：當(dāng)觀察屏前后移動(dòng)(d0變化)時(shí)，P點(diǎn)的光強(qiáng)將明暗交替地變化，這是典型的菲涅耳衍射現(xiàn)象。第四章光的衍射

當(dāng)d0大到一定程度時(shí)，可視d0→∞，露出的波帶數(shù)N不再變化，且為：

該波帶數(shù)稱(chēng)為菲涅爾數(shù)當(dāng)d0小到一定程度時(shí)，可視光為直線(xiàn)傳播。B．N對(duì)衍射現(xiàn)象的影響：

第四章光的衍射當(dāng)孔趨于無(wú)限大時(shí)，EN→0，

光的直線(xiàn)傳播，實(shí)際是透光孔徑較大情況下的一種特殊情