第十二章扭轉(zhuǎn)變形

第十二章扭轉(zhuǎn)12-1概述軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。汽車傳動軸汽車方向盤絲錐攻絲變形特征：桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對的轉(zhuǎn)動。受力特征：在桿的兩端垂直于桿軸的平面內(nèi)，作用著一對力偶，其力偶矩相等、方向相反。扭轉(zhuǎn)角：任意兩橫截面間相對轉(zhuǎn)過的角度。ABOMMOBA

12-2扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力M—作用在軸上的外力偶矩，單位為牛頓·米（N·ｍ）

P—為軸所傳遞的功率，單位為千瓦（kW）

n—軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）當(dāng)傳遞的功率P

的單位為PS（馬力，1PS=735.5W）時，上式變?yōu)椋阂弧⑼饬ε季嗟挠?jì)算3扭矩的符號規(guī)定：

“MT”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。二、扭矩及扭矩圖1扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“Mn”。

2截面法求扭矩MMMTx右手螺旋法則：用右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，若拇指的指向離開截面時，規(guī)定扭矩為正，如圖a所示；若拇指指向截面時，則扭矩為負(fù)，如圖b所示。（a）（b）三、扭矩圖假截留半；內(nèi)力代換；內(nèi)外平衡。截面法求扭矩的一般步驟當(dāng)軸上同時有幾個外力偶矩作用時，一般而言，各段截面上的扭矩是不同的，必須用截面法分段求出。扭矩圖：為了直觀地表示沿軸線各橫截面上扭矩的變化規(guī)律，取平行于軸線的橫坐標(biāo)表示橫截面的位置，用縱坐標(biāo)表示扭矩的代數(shù)值，畫出各截面扭矩的變化圖。例12-1

求如圖所示傳動軸1-1截面和2-2截面的扭矩，并畫扭矩圖。解：用截面法求扭矩1）取1-1截面左側(cè)2）取2-2截面右側(cè)

3）作出扭矩圖如圖。

1.2kNm1.8kNm=1.8kNm=3kNm=1.2kNm1122扭矩圖的簡捷畫法在外力偶矩作用處的截面上，扭矩發(fā)生突變，突變量等于外力偶矩的數(shù)值。利用這一突變特性，可較快地畫出扭矩圖。當(dāng)軸上有多個外力偶矩作用時，愈顯示出這種方法的快捷簡便。例4-9如圖4-44所示為一傳動軸，軸的轉(zhuǎn)速

n=500r/min，主動輪B輸入功PB=60kW，從動輪A、C、D輸出功率分別為PA=28kW，

PC=20kW，PD=12kW。試?yán)L制軸的轉(zhuǎn)矩圖，并指出最大扭矩Tmax的值。BACD圖4-44解：（1）計(jì)算外力偶矩（2）計(jì)算各截面扭矩AB段：

T1=-MA=-534.8

N·m

BC段：

T2=MB-MA

=1146N·m-534.8N·m=611.2N·m

CD段：

T3=MD=229.2N·m（3）畫扭矩圖最大扭矩在BC段內(nèi)的各橫截面上

Tmax=611.2N·m

。

§12-3

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)1、各圓周線繞軸有相對轉(zhuǎn)動，但形狀、大小及兩圓周線間的距離不變。2、各縱向線仍為直線，但都傾斜了同一角度γ，原來的小矩形變成平行四邊形。橫截面上沒有正應(yīng)力。橫截面上必有τ存在，其方向垂直于圓筒半徑。

相鄰兩圓周線間每個小矩形的直角改變量都相等，根據(jù)均勻連續(xù)假設(shè)，圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向與圓周相切，且數(shù)值相等。:切應(yīng)變直角的改變量一、變形的幾何關(guān)系

觀測結(jié)果：1）圓周線的形狀和大小不變，兩相鄰圓周線的間距保持不變，僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。2）縱向線均傾斜了一個角度。第三節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力試驗(yàn)觀測：取一易變形的圓形截面直桿，在此圓軸的表面各畫幾條相平行的圓周線和縱向線；在軸的兩端施加一對力偶矩M使其產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。d/dx=/R，所以在同一橫截面上d/dx是一個常數(shù)，因此各點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。平面截面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面仍保持為平面，且其形狀大小不變，橫截面上的半徑仍保持為直線，即橫截面剛性地繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力關(guān)系BAKA'B'L二、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系剪切胡克定律各點(diǎn)的切應(yīng)力三、靜力學(xué)關(guān)系RdAdA取dA為距截面中心處的微面積，則dA為作用在微面積上的力dA對截面中心之距，整個橫截面上這些力矩的合成結(jié)果應(yīng)等于扭矩T：橫截面積極慣性矩則得：物理關(guān)系式比較等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式切應(yīng)力最大值：令稱為抗扭截面系數(shù)實(shí)心圓截面令內(nèi)外徑比為=d/D，則有：O圓柱的極慣性矩空心圓截面二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形

圓軸扭轉(zhuǎn)變形用一個橫截面相對另一個橫截面轉(zhuǎn)過的角度來度量，稱為“扭轉(zhuǎn)角”單位rad。

式中，稱為圓軸的抗扭剛度。越大，則越小，抗扭剛度反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。G為材料的切變模量。

扭轉(zhuǎn)角與軸的長度有關(guān)，為消除長度的影響，工程中常用單位長度扭轉(zhuǎn)角來度量扭轉(zhuǎn)變形的程度，即（rad/m）

把弧度換算為度，即用1rad=180°/π代入運(yùn)算得（°/m）

一、強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：對于等截面圓軸：([]

稱為許用剪應(yīng)力。)強(qiáng)度計(jì)算三方面：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：§12–5

圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度計(jì)算例12-3

機(jī)床二級齒輪減速箱中的中間軸如圖

4-50a所示。軸徑D=50mm，輪C輸入功率PC=40kW，輪A、輪B輸出功率分別為PA=23kW，PB=17kW，軸的轉(zhuǎn)速n=200r/min，許用切應(yīng)力

[]=50MPa，試校核該軸的強(qiáng)度。

圖4-50解：（1）計(jì)算外力偶矩（2）計(jì)算扭矩。

T1=MA=1098.25Nm

T2=-MB=-811.75Nm最大轉(zhuǎn)矩Tmax=T1=1098.25Nm，發(fā)生在AC段，如圖4-50b所示。因是等截面軸，該段是危險(xiǎn)截面。（3）校核強(qiáng)度該軸強(qiáng)度足夠。二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度條件為（rad/m）或（°/m）例12-4

如圖所示。AC、BC段的扭矩

T1=1098.25Nm，

T2=-811.75

Nm，材料的切變模量

G=80GPa，許用切應(yīng)力

[]=50MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角

=1°/m，試求實(shí)心圓軸的直徑d。

(2)

計(jì)算圓軸的直徑d

根據(jù)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件

解：（1）圓軸的最大扭矩為

Tmax=T1=1098.25Nm根據(jù)扭轉(zhuǎn)剛度條件為了同時滿足圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件和剛度條件，圓軸的直徑圓整為d=55mm。例6-4等截面?zhèn)鲃虞S如圖6-10a所示。已知該軸轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪輸入功率PC=30kW，從動輪輸出功率PA=5kW，PB=10kW，PD=15kW。材料的切變模量G=80GPa，許用切應(yīng)力[τ]=40MPa，單位長度許可轉(zhuǎn)角[θ]=1o/m。試按強(qiáng)度及剛度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)軸的直徑。MAMCMDMB圖6-10傳動軸示意圖與扭矩圖a）傳動軸示意圖

b)傳動軸的扭矩圖

MT(N·m)159N·m478N·m478N·mO解(1)計(jì)算外力偶矩。由式（6-1）得N·m=159N·m

N·m=318N·m

N·m=955N·m

N·m=478N·m

(2)畫扭矩圖。根據(jù)外力偶矩計(jì)算出各段的扭矩，畫扭矩圖如圖6-10b所示，由扭矩圖可知，MTmax=478N·m，發(fā)生在BC和CD段。

(3)按強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)軸的直徑(用d1表示)。由式（6-11）得

≤[τ]

d1≥

mm=39.3mm

得6．5圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度與剛度計(jì)算

(4)按剛度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)軸的直徑(用d2表示)。由式（6-12）得≤[θ]d2≥

mm=43.2mm

得綜合上述兩種情況，圓軸必須同時滿足強(qiáng)度和剛度準(zhǔn)則，則取d=44mm。

例7-5圖示傳動軸，n=300r/min，輸入力矩MC=955N·m，輸出MA=159.2N·m，MB=318.3N·m，MD=477.5N·m，已知G=80GPa

[]=40MPa，[]=1/m，試按強(qiáng)度和剛度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)軸的直徑。

解：1.求各段軸上的扭矩2.畫軸的扭矩圖

MAMBMCMDABCDxT-477.5kN·m477.5kN·m-159.2kN·m3.