第四章微波網(wǎng)絡(luò)

第四章微波網(wǎng)絡(luò)4.1引言

微波網(wǎng)絡(luò)理論是微波工程中的強有力的工具。傳輸線理論對于均勻傳輸線和簡單不均勻的電路問題提供了一些有用的方法(V、I~z)，導(dǎo)波理論分析了各種結(jié)構(gòu)形式的傳輸線內(nèi)的場的模式(E、H~x、y、z)，但是對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的微波元件和微波電路，上述兩章所提供的方法就顯得不夠用了。隨著集成度的提高，微波部件的結(jié)構(gòu)愈來愈緊密，微波元件內(nèi)部的電磁場數(shù)值計算的研究吸引了研究人員的興趣。原則上，根據(jù)電磁場理論和相應(yīng)的電磁場數(shù)值計算軟件可以分析復(fù)雜微波元件內(nèi)部的場結(jié)構(gòu)和外部特性。但是，如果我們不關(guān)心微波元件內(nèi)部的場分布，而只對其外部特性感興趣，那么可以依據(jù)微波網(wǎng)絡(luò)理論得出非常有價值的結(jié)果，用以指導(dǎo)微波電路的分析、設(shè)計與綜合。從場的理論也可以導(dǎo)出具體微波元件的網(wǎng)絡(luò)特性。微波網(wǎng)絡(luò)與場的理論相互結(jié)合，相互補充，使我們對微波電路的理解更加全面深入。微波網(wǎng)絡(luò)理論研究微波網(wǎng)絡(luò)各端口的物理量之間的關(guān)系。一類物理量是歸一化電壓v和歸一化電流i，非歸一化電壓V和非歸一化電流I；另一類物理量是內(nèi)向波a和外向波b，內(nèi)向波指的是進入網(wǎng)絡(luò)的波，外向波指的是離開網(wǎng)絡(luò)的波。不同類的物理量之間將引出不同的微波網(wǎng)絡(luò)矩陣，或稱不同的網(wǎng)絡(luò)參量，例如內(nèi)向波與外向波的關(guān)系用散射矩陣描述，歸一化電壓與電流之間的關(guān)系用歸一化阻抗矩陣和歸一化導(dǎo)納矩陣描述，非歸一化阻抗與導(dǎo)納矩陣則描述了非歸一化電壓電流之間的關(guān)系。由于物理量之間存在著變換關(guān)系，所以網(wǎng)絡(luò)矩陣之間也存在著變換關(guān)系。一個微波網(wǎng)絡(luò)可以由集總參數(shù)元件或等效的集總參數(shù)元件組成，如電阻、電容、電感、變壓器；可以由分布參數(shù)電路組成，如一段均勻、非均勻傳輸線；可以由等效的集總參數(shù)電路和分布參數(shù)電路的組合構(gòu)成；也可以由立體結(jié)構(gòu)或平面結(jié)構(gòu)的微波電路構(gòu)成。上述各種形式的電路都可用微波網(wǎng)絡(luò)理論進行分析。微波網(wǎng)絡(luò)可按下述幾個特征予以分類：線性與非線性，有源與無源，有耗與無耗，互易與非互易。

所謂線性指的是，微波網(wǎng)絡(luò)中所包含的電阻、電容、電感、電阻率、電容率、導(dǎo)磁率等參數(shù)均不隨外加電場或磁場強度的變化而改變。實際上，非線性現(xiàn)象是不可避免的，但是線性網(wǎng)絡(luò)的分析計算比非線性網(wǎng)絡(luò)的分析計算要容易得多，因此我們總是用線性網(wǎng)絡(luò)去近似地描述實際的微波網(wǎng)絡(luò)，有時將非線性網(wǎng)絡(luò)分解為若干個狀態(tài)，每一個狀態(tài)都用線性網(wǎng)絡(luò)的方法處理，如微波開關(guān)、微波限幅器就可分解為高、低功率，開、關(guān)兩個狀態(tài)。另一種關(guān)于線性與非線性的理解是：當微波網(wǎng)絡(luò)使信號頻率發(fā)生改變時稱該網(wǎng)絡(luò)為非線性網(wǎng)絡(luò)。這一說法與前述關(guān)于線性、非線性的說法是相容的。本章將僅限于線性微波網(wǎng)絡(luò)。所謂有源與無源有幾種不同的理解：其一是系統(tǒng)外是否有能量注入，例如直流能量轉(zhuǎn)化為微波能量，或一個微波頻率的能量轉(zhuǎn)化為另一個微波頻率的能量；其二是指微波電路中是否包含固態(tài)微波器件。這方面的認識尚不統(tǒng)一。本書中所用有源和無源兩詞與英文中的Active和Passive兩詞相對應(yīng)，傾向于前述第一種說法。

所謂有耗與無耗，指的是電路中是否包含有損耗的器件、元件。所謂互易網(wǎng)絡(luò)指的是不包含非互易媒介（如鐵氧化材料、等離子材料）的無源網(wǎng)絡(luò)。理論上，由微波網(wǎng)絡(luò)的無源、互易、無耗等特性可以引出許多有意義的結(jié)論。

4.2.1微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理式中，S＝E×H﹡/2，ω是角頻率，和分別是磁場和電場能量密度的時間平均值，E是電場，H是磁場，J=E，是電導(dǎo)率，這里我們假設(shè)在微波網(wǎng)絡(luò)中沒有外加的電流源?？紤]圖4.1所示的n端口微波網(wǎng)絡(luò)，在各端口取定參考面Ti(i=1,2,…,n),各端口相應(yīng)的歸一化電壓、電流為vi、ii，相應(yīng)的內(nèi)向波、外向波為ai，bi。下面由電磁場的坡印亭定理導(dǎo)出其在微波網(wǎng)絡(luò)中的具體形式。在電磁場理論中積分形式的復(fù)數(shù)坡印亭定理可以寫作:(4.2.1)4.2微波網(wǎng)絡(luò)的幾個定理圖4.1微波網(wǎng)絡(luò)示意圖對圖4.1所示的n端口微波網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用積分形式的復(fù)數(shù)坡印亭定理，積分是在體積V和包圍體積V的閉合曲面S上進行。該封閉曲面按下述方式選取，其中一部分選在各端口的參考面處，其余部分與微波網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)體表面重合。于是式（4.2.1）左端的面積分僅在參考面T1、T2、…Tn處有效，而在其余的導(dǎo)體表面上的積分為零，那么

其中，Si是第i參考面的面積，參考面垂直于各端口的傳輸線，所以可用場的橫向分量ET和HT取代E和H。在第i端口，歸一化電壓v和歸一化電流i與場的橫向分量的關(guān)系為（4.2.2）（4.2.3）式中，ei和hi是表征各端口傳輸線工作模式的矢量實函數(shù)，在選取ei、hi

時應(yīng)使得ei×hi的積分滿足歸一化條件，即正負號的選取與面積元的法向方向有關(guān)，通常在微波網(wǎng)絡(luò)中法向單位矢量n指向包圍體積V的S曲面的外邊，所以式（4.2.4）取負號，于是（4.2.5）（4.2.4）

式（4.2.1）的右端兩項積分分別為體積V內(nèi)平均磁能Wm與電能We之差和平均損耗功率Pl，因此式（4.2.1）寫作（4.2.6）式(4.2.6）就是微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理的表達式，左端表示流入微波網(wǎng)絡(luò)的功率。上式的左端還可以用非歸一化的電壓Vi和電流Ii表示，因為，，于是得（4.2.7）為了導(dǎo)出微波網(wǎng)絡(luò)的互易定理，需要引用電磁場的互易定理。考慮線性、各向同性媒質(zhì)中有兩組相同頻率的源Je1、Jm1和Je2、Jm2，下角標e和m分別表示電流源和磁流源，Je1、Jm1產(chǎn)生的場為E1和H1，Je2、Jm2產(chǎn)生的場為E2和H2，在第1章中曾導(dǎo)出式（1.11.6）,即4.2.2微波網(wǎng)絡(luò)的互易定理（4.2.8）（4.2.9）（4.2.10）其中，S是包圍體積V的封閉曲面。為了書寫方便，現(xiàn)將兩組場記作E、H

和E′、H’。若體積V內(nèi)無源，則〈1，2〉=〈2，1〉=0，于是式（1.11.6）變?yōu)?/p>

封閉曲面S的一部分與微波網(wǎng)絡(luò)各端口的參考面重合，其余部分與網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)體表面重合。上述積分只在微波網(wǎng)絡(luò)各端口參考面T1、T2、…、Tn處有值，而在其余的導(dǎo)體表面上的積分為零。于是式(4.2.11)可以寫作（4.2.12）（4.2.11）式中，vi、ii

、vi′

和ii＇是歸一化電壓、電流。這就是無源微波網(wǎng)絡(luò)的互易定理的具體形式之一。用非歸一化電壓電流寫出的微波網(wǎng)絡(luò)的互易定理為Si是第i端口參考面的面積，Si的法線方向與第i端口傳輸線的軸平行，因此可用各端口場的橫向分量取代E、H和E′、H’。再次應(yīng)用式（4.2.3）和式（4.2.4），得利用式(4.2.13)或式(4.2.14)可以導(dǎo)出互易微波網(wǎng)絡(luò)各種矩陣、參量的性質(zhì)。（4.2.14）（4.2.13）對于一個無耗的一端口網(wǎng)絡(luò)，其輸入電抗或輸入電納對頻率的導(dǎo)數(shù)總是正的，這稱作福斯特電抗定理。無源無耗媒質(zhì)區(qū)域中的電磁場方程為組為4.2.3微波網(wǎng)絡(luò)的電抗定理將上式對角頻率ω求導(dǎo)，得（4.2.16）（4.2.15）利用矢量恒等式

做出下述兩等式：取式（4.2.15）的復(fù)數(shù)共軛式，得（4.2.17）（4.2.19）（4.2.18）將式（4.2.16）和式（4.2.19）代入到式（4.2.18），得

二式相減，得

對上式作體積分，并應(yīng)用高斯散度定理將左端的體積分化為面積分，注意到面積分僅在端口的橫截面S1上對橫向場的積分有值，于是得（4.2.20）（4.2.21）將體積V內(nèi)對場的積分變?yōu)閮δ躓e和Wm，并設(shè)法將S1面上對場的積分變換為電壓和電流，為此應(yīng)用式（4.2.3）（場與歸一化電壓電流關(guān)系）和式（4.2.4）（歸一化條件），且式（4.2.4）取負號，得或（4.2.22）（4.2.24）（4.2.23）對于無耗單口網(wǎng)絡(luò)，其輸入電抗X或輸入電納B與電壓電流的關(guān)系為取其共軛復(fù)數(shù)后為將式（4.2.25）對ω求導(dǎo)，得（4.2.25）（4.2.26）（4.2.27）將式（4.2.26）和式（4.2.27）代入到式（4.2.24）中，得所以有

同樣可得（4.2.28）（4.2.29）（4.2.30）式（4.2.29）和式（4.2.30）等式右端正比于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的電場和磁場儲能之和，為正值，這就證明了本小節(jié)開始敘述的福斯特電抗定理。單端口無源無耗網(wǎng)絡(luò)的電抗或電納函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為正，這表明電抗或電納函數(shù)的零點和極點必定交替出現(xiàn)。傳輸線理論中一段無耗傳輸線終端開路、短路時其輸入電抗或輸入電納的變化規(guī)律必然符合福斯特電抗定理，因為它們僅僅是無耗單端口網(wǎng)絡(luò)的特例。請讀者用傳輸線理論中的式（2.3.28）和式（2.3.29）作為例子驗證福斯特電抗定理。n端口線性網(wǎng)絡(luò)的非歸一化阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣給出了非歸一化的電壓和電流之間的關(guān)系，即4.3阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣可分歸一化和非歸一化兩種

4.3.1非歸一化阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣各端口電壓電流的方向如圖4.1所示。以上二式中[V]和[I]分別是非歸一化的電壓和電流列矩陣，即(4.3.1)(4.3.2)(4.3.3)T表示轉(zhuǎn)置。[Z]為非歸一化阻抗矩陣，它是n階方陣

［Y］為非歸一化導(dǎo)納矩陣：(4.3.5)(4.3.6)(4.3.4)Zii為除第i端口外，其余各端口的電流都為零（開路）時第i端口的電壓與電流之比，即除第i端口外，其余各端口開路時第i端口的輸入阻抗。Zij是除第j端口外，其余各端口均開路時第i端口的電壓與第j端口的電流之比，即除第j端口外，其余各端口開路時，第j端口到第i端口的轉(zhuǎn)移阻抗。Yii為除第i端口外，其余各端口的電壓都為零（短路）時第i端口的電流與電壓之比，即除第i端口外，其余各端口短路時第i端口的輸入導(dǎo)納。Yij是除第j端口外，其余各端口短路時第i端口的電流與第j端口的電壓之比，即除第j端口外，其余各端口短路時，第j端口到第i端口的轉(zhuǎn)移導(dǎo)納。將式（4.3.2）代入到式（4.3.1），得

（4.3.7）或者說阻抗矩陣與導(dǎo)納矩陣互為逆矩陣。（4.3.8）由此可知［Z］與［Y］的積為單位矩陣［1］，即歸一化阻抗矩陣［z］及歸一化導(dǎo)納矩陣［y］給出了歸一化電壓和歸一化電流之間的關(guān)系，即4.3.2歸一化阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣式中，［v］和［i］是歸一化電壓和電流的列矩陣，［z］和［y］是n階方陣，且（4.3.10）（4.3.9）（4.3.11）下面導(dǎo)出歸一化阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣與非歸一化的阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣之間的關(guān)系。由單根傳輸線歸一化電壓、電流與非歸一化電壓、電流之間的關(guān)系推廣到n端口網(wǎng)絡(luò)各端口的相應(yīng)的關(guān)系，得

（4.3.12）（4.3.13）（4.3.14）式中，和都是對角陣，分別表示為（4.3.15）（4.3.16）對角線上的諸元素中的ZC1

、ZC2、┅、ZCn表示各個端口的傳輸線的特性阻抗。將式(4.3.1)代入到式

(4.3.13)，得（4.3.17）由式(4.3.14)可知,可以證明

，于是式(4.3.17)可以寫作

由此可以得到歸一化阻抗矩陣與非歸一化阻抗矩陣的關(guān)系為（4.3.18）（4.3.19）當i=j時當n端口網(wǎng)絡(luò)退化為單端口網(wǎng)絡(luò)時，式(4.3.20)在形式上也退化為傳輸線理論中的結(jié)果。對于導(dǎo)納矩陣可用類似方法導(dǎo)出類似的結(jié)果。歸一化導(dǎo)納矩陣與非歸一化導(dǎo)納矩陣的關(guān)系為其中是n階對角矩陣，各元素為，YCi

表示第i端口傳輸線的特性導(dǎo)納。（4.3.21）（4.3.22）具體到阻抗矩陣的一個元素，有

（4.3.20）（1）互易網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣4.3.3阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣的性質(zhì)

對于無源互易網(wǎng)絡(luò)，其互易定理的具體形式已由式（4.2.9）或式（4.2.10）給出。注意到和將上述二式代入到式（4.2.10）中得因為［I］和［I］是任意的，故上式成立必有

這就是互易網(wǎng)絡(luò)阻抗矩陣的性質(zhì)。對于其中的非對角元素，有類似地，對于互易網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣，有其中的非對角元素（4.3.25）（4.3.26）（4.3.24）（4.3.23）（2）無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗和導(dǎo)納矩陣由微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理，若網(wǎng)絡(luò)是無耗的，即網(wǎng)絡(luò)的平均損耗功率P1等于零，那么式（4.2.7）變?yōu)樯鲜接叶藶榧兲摂?shù)，由此得注意到式中T表示轉(zhuǎn)置，*表示共軛，H表示共軛轉(zhuǎn)置。式(4.2.28)可以寫成下述形式：（4.3.29）（4.3.28）（4.3.27）或式中，［I］可為任意值，于是對于無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣，有［Z］H是［Z］的埃米爾特（Hermite）矩陣。式(4.2.32)表明無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣為反埃米爾特矩陣。類似地，無耗網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣滿足此式表明無耗網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣為反埃米爾特矩陣。（4.3.33）（4.3.32）（4.3.31）（4.3.30）如果一個網(wǎng)絡(luò)是無耗的同時又是互易的，那么其阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣滿足下面的關(guān)系式：這就是說，無耗互易網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣的各個元素為純虛數(shù)，顯然無耗互易網(wǎng)絡(luò)強以等效為純電抗（純電納）元件組成的電路。但是非互易無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗（導(dǎo)納）矩陣的各個元素卻不是純虛數(shù)?？梢院苋菀鬃C明，無耗網(wǎng)絡(luò)的歸一化阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣分別滿足下述關(guān)系式：（4.3.36）（4.3.37）（4.3.35）（4.3.34）4.4散射矩陣4.4.1散射矩陣和散射參量的意義

在微波工程中散射參量和散射矩陣具有非常重要的作用，應(yīng)用極為廣泛，因為它所處理的是波與波之間的關(guān)系。對于圖4.1所示的線性網(wǎng)絡(luò)，外向波與內(nèi)向波之間的關(guān)系可用一次線性方程表示為式中，ai、bi、sij都是復(fù)數(shù)，i,j＝1,2,…，n，ai是第i端口的內(nèi)向波，bi是第i端口的外向波，ai和bi都是相對于某一截面而言的，此截面稱為第i端口的參考面或端面。（4.4.1）式中，［a］和［b］是列矩陣，［s］是n階方陣，［s］稱為散射矩陣，表示為

［s］的各個元素稱為散射參量?，F(xiàn)舉例說明散射參量sii和sij(i≠j)的物理意義。以s11為例，由式(4.4.1)可知（4.4.4）（4.4.3）（4.4.2）式(4.4.1)可寫成矩陣的形式為再以s12為例，由式(4.4.1)可知

s12是除第2端口外，其余各端口內(nèi)向波為零時第1端口的外向波與第2端口的內(nèi)向波之比，又稱為第2端口到第1端口的傳輸系數(shù)。

s11是1端口在下述條件下的反射系數(shù)，即除第1端口外其余各端口的內(nèi)向波為零，換句話說，除第1端口外其余各端口接匹配負載并且不接入信號源，因此,s11代表了網(wǎng)絡(luò)本身的第1端口的反射系數(shù)。（4.4.5）4.4.2散射矩陣的性質(zhì)

（1）互易網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣

在圖4.1所示的微波網(wǎng)絡(luò)的第i端口，歸一化電壓vi、歸一化電流ii與內(nèi)向波ai、外向波bi的關(guān)系為將式(4.4.6)代入到式(4.2.10)，得

展開上式，一些不同符號的項相消，得

這里

（4.4.8）（4.4.7）（4.4.6）于是式(4.4.8)變?yōu)?/p>

[a]T

和［a/］是任意的，若上式成立，必然有

這就是說，互易網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣等于其自身的轉(zhuǎn)置矩陣?；ヒ拙W(wǎng)絡(luò)的散射矩陣的非對角線元素（2）無耗網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣

由微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理的表示式(4.2.6)，令損耗功率P1＝0，可知等式右端為純虛數(shù)，那么對于無耗網(wǎng)絡(luò)有（4.4.10）（4.4.11）（4.4.9）（4.4.12）用內(nèi)向波和外向波代替上式中的歸一化電壓和電流，得等式兩端取共軛，可得

式中[a]H和[b]H分別表示［a］和［b］的轉(zhuǎn)置共軛。將式(4.4.2)代入到上式中，得[s]H

稱為［s］埃爾米特(Hermite)矩陣。［a］是任意的，故有（4.4.15）（4.4.14）（4.4.13）此等式可寫成展開此式，因biai*_aibi*為純虛數(shù)，上式的實部為此式表明無耗微波網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣的埃爾米特矩陣右乘相應(yīng)的散射矩陣等于單位矩陣，式(4.4.15)稱作酉條件，因此可以說無耗微波網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣滿足酉條件。滿足酉條件的矩陣稱為酉矩陣，因此無耗網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣是酉矩陣。這是無耗網(wǎng)絡(luò)散射矩陣的一個非常重要的性質(zhì)。式(4.4.15)的展開式為

若網(wǎng)絡(luò)是互易的，式(4.4.16)退化為

（4.4.16）（4.4.17）4.4.3參考面移動后的散射矩陣

設(shè)有一n端口網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣［s］已知，其參考面在T1、T2、…、Tn處，現(xiàn)將參考面從T1、T2、…、Tn處分別移到T1、T2′、…、Tn處，參考面移動后的散射矩陣記作［s′］。下面求［s′］和［s］的關(guān)系。圖4.2是一個二端口網(wǎng)絡(luò)的參考面移動圖。參考面T′i比Ti更遠離網(wǎng)絡(luò),參考面Ti與Ti′之間的傳輸線所對應(yīng)的相位角為θi。由圖可知寫成矩陣的形式為

（4.4.19）（4.4.18）圖4.2二端口網(wǎng)絡(luò)的參考面移動（4.4.20）（4.4.21）式中［p］是對角方陣，即由式(4.4.21)可得

因此參考面移動后的散射矩陣為

［s/］中各元素與［s］中各元素的關(guān)系為（4.4.24）（4.4.23）（4.4.22）（4.4.25）注意，在本書中定義Ti/遠離網(wǎng)絡(luò)時的θi為正。當網(wǎng)絡(luò)為一端口網(wǎng)絡(luò)時，sij就是反射系數(shù)

，sij

/就是/，且有這與傳輸線理論中所得的結(jié)果一致。

（4.4.26）4.4.4散射矩陣與阻抗導(dǎo)納矩陣的關(guān)系

為了導(dǎo)出散射矩陣與阻抗、導(dǎo)納矩陣的關(guān)系，把各端口的歸一化電壓電流與內(nèi)向波外向波的關(guān)系寫成列矩陣的形式，即利用散射矩陣［s］，將上述二式改寫為

［v］與［i］之間是通過歸一化阻抗矩陣［z］聯(lián)系起來的，因此,由式

(4.4.28)可得［a］是任意的，故

（4.4.29）（4.4.28）（4.4.27）那么

式中，(［l］-［s］)－1是(［l］-［s］)的逆矩陣，或簡稱([l]-[s])的逆。由式

(4.4.29)還可解得式

(4.4.30)和式

(4.4.31)就是歸一化阻抗矩陣與散射矩陣的關(guān)系。讀者可以回憶傳輸線理論中歸一化阻抗與反射系數(shù)之間的關(guān)系，不難看出它們與式

(4.4.30)和

(4.4.31)的相似之處。

注意到下述恒等式：

（4.4.32）（4.4.31）（4.4.33）（4.4.30）可以證明歸一化阻抗矩陣與散射矩陣之間的關(guān)系還可以寫成

此二式與

(4.4.30)和

(4.4.31)的區(qū)別僅僅是等式右邊兩因子的順序不同。

仿照上述推導(dǎo)過程，讀者可以導(dǎo)出歸一化導(dǎo)納矩陣與散射矩陣的關(guān)系為

散射矩陣是必然存在的，而阻抗矩陣與導(dǎo)納矩陣卻不一定存在。當(［l］－［s］)的逆不存在時,則歸一化阻抗矩陣不存在；當(［l］＋［s］)的逆不存在時,則歸一化導(dǎo)納矩陣不存在。

（4.4.33）（4.4.33）（4.4.33）（4.4.33）

4.5二端口網(wǎng)絡(luò)

4.5.1二端口網(wǎng)絡(luò)的各種矩陣

相對而言，二端口網(wǎng)絡(luò)比較簡單，也比較常用，本節(jié)將對二端口網(wǎng)絡(luò)再進一步詳細討論，除阻抗導(dǎo)納矩陣和散射矩陣之外，還將補充二端口網(wǎng)絡(luò)特有的傳輸矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣。歸一化二端口網(wǎng)絡(luò)的各種矩陣為（4.5.3）（4.5.2）（4.5.1）上述五式中v1

、v2

、i1、i2分別是端口1和端口2的歸一化電壓電流，i2/＝-i2,a1

、a2

和b1

、b2分別是端口1和端口2的內(nèi)向波和外向波。式(4.5.1)中2階方陣記作［z］,稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的歸一化阻抗矩陣。式(4.5.2)中的二階方陣記作［y］,稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的歸一化導(dǎo)納矩陣。式(4.5.3)中的2階方陣記作［s］，稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣。式(4.5.4)中的2階方陣記作［t］,稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的傳輸矩陣。式(4.5.5)中的2階方陣記作［a］，稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移矩陣。五種歸一化二端口網(wǎng)絡(luò)矩陣之間存在著確定的變換關(guān)系，下面舉例（4.5.5）（4.5.4）說明散射參量和傳輸參量之間，傳輸參量和轉(zhuǎn)移參量之間是如何變換的。除了轉(zhuǎn)移矩陣［a］之外，其余四種矩陣的電壓電流方向如圖4.3所示，轉(zhuǎn)移矩陣規(guī)定的電流方向有所不同，如圖4.4所示。圖4.3二端口網(wǎng)絡(luò)圖4.4二端口網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移矩陣的電流方向?qū)⑹?4.5.3)改寫，即有

從而求出用散射參量表示的傳輸矩陣

式中|s|為散射矩陣的行列式，即

類似地，將(4.5.4)改寫，即有

（4.5.6）（4.5.7）（4.5.8）（4.5.9）可求出用傳輸參量表示的散射矩陣為

式中，|t|為傳輸矩陣的行列式，即

改寫式(4.5.4)和式

(4.5.5)，可以求得二端口傳輸矩陣和歸一化轉(zhuǎn)移矩陣各參量之間的關(guān)系為（4.5.11）（4.5.10）（4.5.12）

n端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣、歸一化阻抗矩陣和歸一化導(dǎo)納矩陣之間的變換關(guān)系已經(jīng)導(dǎo)出，很容易給出n＝2的特例。至于轉(zhuǎn)移矩陣［a］與［s］、［z］、［y］的關(guān)系，可以仿照上述方法推導(dǎo)出。此處不再詳細推導(dǎo)，讀者可以自己練習(xí)。表4.1中列出了二端口網(wǎng)絡(luò)的［s］、［z］、［y］和［a］四種矩陣參量之間的關(guān)系，以備用時查閱。

有時還要用到非歸一化的二端口網(wǎng)絡(luò)矩陣，例如非歸一化的阻抗矩陣［Z］、非歸一化的導(dǎo)納矩陣［Y］和非歸一化的轉(zhuǎn)移矩陣［A］，其端口物理量與網(wǎng)絡(luò)矩陣參量的關(guān)系為（4.5.14）（4.5.13）表4.1二端口網(wǎng)路參量換算表說明：|s|、|z|、|?|是相應(yīng)矩陣的行列式。續(xù)表式中，V1

、V2

、I1、

I2分別是二端口網(wǎng)絡(luò)的非歸一化電壓電流，I2/

＝-I2，式(4.5.14)～（4.5.16）中的2階方陣分別記作［Z］、［Y］、［A］，稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的非歸一化阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣。這三種非歸一化矩陣與歸一化矩陣的關(guān)系為（4.5.17）（4.5.16）（4.5.15）式(4.5.17)和式(4.5.18)分別是式(4.3.18)和式(4.3.21)的特例。至于式(4.5.19)可利用下述二式：（4.5.20）（4.5.19）（4.5.18）和式(4.5.5)、式(4.5.16)導(dǎo)出(歸一化和非歸一化轉(zhuǎn)移矩陣定義式)。

應(yīng)用描述網(wǎng)絡(luò)的各種矩陣時，應(yīng)注意下述兩點：①弄清非歸一化矩陣和歸一化矩陣的區(qū)別；②弄清電流的方向是如何定義的，在轉(zhuǎn)移矩陣中電流的方向與阻抗導(dǎo)納矩陣中的電流方向在端口2相反。

阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣和散射矩陣中的各元素有明確的物理意義，傳輸矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣各元素的物理意義不十分明顯。在微波網(wǎng)絡(luò)中散射矩陣應(yīng)用比較廣泛。其余幾種矩陣可用于分析和計算網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)、并聯(lián)和級聯(lián)。（4.5.21）4.5.2二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣為

若s12＝s21，稱該二端口網(wǎng)絡(luò)是可逆的或互易的。若s12＝s21且s11＝

s22，稱該二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣是對稱的，對稱必定可逆，可逆未必對稱。二端口網(wǎng)絡(luò)在幾何物理結(jié)構(gòu)上對稱，則網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣必定是對稱的；二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣是對稱的，對應(yīng)于該二端口網(wǎng)絡(luò)的幾何物理結(jié)構(gòu)卻未必是對稱的。下一小節(jié)將舉例說明結(jié)構(gòu)上不對稱的二端口網(wǎng)絡(luò)而與其相應(yīng)的散射矩陣卻是對稱的這種情況。若二端口網(wǎng)絡(luò)是無耗的，但并不限定是互易的，將酉條件展開，則得（4.5.22）（4.5.23b）（4.5.23a）列式(4.5.23a)和式(4.5.23b)是二端口網(wǎng)絡(luò)的能量守恒定律的兩個特殊形式。在S參量的定義式中，如

a2=0，可證明式(4.5.23a)可改寫為

|b1|2＋|b2|2=|a1|2

它的物理意義是端口1和端口2的外向波功率之和等于端口1的內(nèi)向波功率。式(4.5.23b)的物理意義亦類似。式(4.5.23c)和式(4.5.23d)兩式是同一個式子，取一式之共軛則變?yōu)榱硪皇?，令?.5.23d）（4.5.23c）（4.5.24a）（4.5.24d）（4.5.24c）（4.5.24b）將上述四式代入到式(4.5.23d)中，得在復(fù)數(shù)平面上兩個復(fù)數(shù)量之和等于零，必定是模相等、相角差，因此由式(4.5.23)可得

式(4.5.23a)和式(4.5.23b)兩式相減，得再由式(4.5.25a)解出|s11|，代入上式整理后得

（4.5.25b）（4.5.25a）（4.5.26）因此

那么，從(4.5.25a)或式(4.5.26)又可得到此外，不難證明無耗二端口散射矩陣的行列式從上述無耗二端口網(wǎng)絡(luò)的討論中可引出下述幾點結(jié)論：

（1）s11和s22的絕對值相等，s12和s21的絕對值相等。這意味著，當端口1匹配時，即s11=0，則端口2必定匹配，即s22=0，反之亦然，此時傳輸系數(shù)的模等于1；若傳輸系數(shù)的模等于1，則網(wǎng)絡(luò)必定是匹配的。（4.5.27）（4.5.28）（4.5.29）（2）若不限定二端口網(wǎng)絡(luò)是互易的，即s12可以不等于s21，這時無耗二端口網(wǎng)絡(luò)的|s12|=|s21|，那么s12

和s21的差別只能是相位，因此無耗二端口網(wǎng)絡(luò)只能實現(xiàn)不可逆相移，不可能實現(xiàn)不可逆隔離。所謂不可逆相移指的是s12和s21的相位不同，所謂不可逆隔離指的是|s12|=0而|s21|≠0，或|s12|≠0，而|s21|=0。

（3）無耗二端口網(wǎng)絡(luò)理想隔離時，則退化為一個全反射的一端口網(wǎng)絡(luò)，因為當|s12|=|s21|=0時，有|s11|=|s22|=1?；ヒ锥丝诰W(wǎng)絡(luò)的散射矩陣只有三個獨立參量?；ヒ谉o耗二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣原則上只有兩個獨立參量，因為一個互易無耗二端口網(wǎng)絡(luò)的|s11|=|s22|且s12=s21，適當選擇參考面，即網(wǎng)絡(luò)的端口面，總可以使s11=s22，于是不對稱散射矩陣變?yōu)閷ΨQ散射矩陣。對稱二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣只有兩個獨立參量。4.5.3二端口等效單元電路在許多情況下，微波電路中涉及到的二端口網(wǎng)絡(luò)可以用下述四種二端口等效單元電路及其組合來表示。這四種二端口等效單元電路是：串聯(lián)阻抗、并聯(lián)導(dǎo)納、變壓器、一段均勻傳輸線。注意，二端口等效單元電路的兩端都與特性阻抗為ZC1和ZC2的傳輸線相連接，這是與集總參數(shù)電路的不同之處。兩段不同特性阻抗傳輸線的連接是這些二端口網(wǎng)絡(luò)的特例。四種二端口網(wǎng)絡(luò)等效單元電路的矩陣列于表4.2和4.3。散射矩陣和傳輸矩陣是必定存在的，因此表4.3中各項都能列出。若串聯(lián)阻抗z等于零，或并聯(lián)導(dǎo)納等于零時，這兩種二端口網(wǎng)絡(luò)則退化為兩段不同傳輸線相連的情況。表4.2二端口等效單元電路的阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣續(xù)表表4.3二端口等效單元電路的散射矩陣和傳輸矩陣【例4.1】求串聯(lián)阻抗的散射矩陣[s]、傳輸矩陣[t].

解按照非歸一化的電壓電流列出電路方程圖4.5例4.1的附圖用四個例題說明二端口等效單元電路的各種矩陣的求法。將式(4.5.30)用內(nèi)向波和外向波表示為

整理后得到

其中

由上述二式得

（4.5.31）（4.5.32）（4.5.30）將行列式展開得

（4.5.34）（4.5.33）根據(jù)散射參量的定義可知

由散射參量和傳輸參量之間的關(guān)系和傳輸參量定義可得

【例4.2】求并聯(lián)導(dǎo)納的非歸一化和歸一化阻抗矩陣.

解參考平面T1和T2之間的電路是集總參數(shù)電路,根據(jù)基爾霍夫定律可寫出非歸一化電壓和電流的關(guān)系上式可改寫為

因此非歸一化阻抗矩陣為

（4.5.36）（4.5.35）T1T2V1V2I2I1例2的附圖【例4.3】從均勻傳輸線上取一段電長度為=l的傳輸線,試求其散射矩陣、傳輸矩陣和歸一化轉(zhuǎn)移矩陣。解首先求散射矩陣。顯然s11=s22=0，該網(wǎng)絡(luò)為互易網(wǎng)絡(luò)，故s12=s21,由s21的定義可知，s21=e－jθ,因而散射矩陣為

注意，本例是在均勻傳輸線上設(shè)定兩個參考面T1和T2，在參考面T1、T2兩邊的傳輸線的特性阻抗相同。若參考面T1和T2兩邊的傳輸線的特性阻抗不相同，那是三個簡單網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)問題。

（4.5.38）（4.5.37）由式(4.3.19)和式(4.3.20)可求得此例的歸一化阻抗矩陣為

其次，求傳輸矩陣[t]。直接從傳輸參量的定義求解不太方便。因為已得到本例電路所對應(yīng)的散射參量，所以由[t]與[s]的變換關(guān)系(4.5.7)很容易得到

最后求歸一化轉(zhuǎn)移矩陣。已知[s]，可由與[s]的變換關(guān)系求得,但是作為練習(xí)，我們從的定義直接求解。由矩陣各元素的定義可得（4.5.39）

在上述矩陣各元素的推導(dǎo)過程中，我們用到了這樣兩個關(guān)系式：當端口2開路時，即t2/＝0時，端口2電壓是波腹，V2=Vm,端口1和端口2之間的電壓關(guān)系為v1＝v2cosθ;當端口二短路時，即v2＝0時，端口2電流是波腹，i2/=Im，端口1和端口2之間和電流關(guān)系為i1＝i2/

cosθ。這是由傳輸線理論的線上電壓電流表達式得到的。終端短路時：v1/i1=jtang終端開路時：i1/v1=jtang將歸一化電壓電流用內(nèi)向波和外向波表示為

（4.5.40）式中，n為變壓器的變比，正負號與變壓器極性有關(guān)。為簡化,求解時僅考慮一組解，將上述二式變換為歸一化電壓電流的關(guān)系式【例4.4】求理想無耗變壓器網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣。解：變壓器初級和次級的非歸一化電壓電流滿足關(guān)系式由此解得

（4.5.41）設(shè)a1≠0,a2＝0,用a1除上述二式兩端，得

從上述關(guān)于理想無耗變壓器網(wǎng)絡(luò)散射矩陣的推導(dǎo)結(jié)果可以看出：一個理想無耗變壓器網(wǎng)絡(luò)的散射參量都是實數(shù)，s11=－s22，s21=s12。如設(shè)n2(ZC2/ZC1)>1,這意味著s11是實數(shù)，且s11＞0，在參考面T10處是波腹點，顯然，這時有s22＜0，在參考面T20處是波節(jié)點。如設(shè)n2(ZC2/ZC1)＜1，則參考面T10處是波節(jié)點，在參考面T20處是波腹點，因為s11＜0，s22＞0。由網(wǎng)絡(luò)互易性可知s12=s21。如設(shè)a1＝0,a2≠0,用a2除式(4.5.40)和式(4.5.41)兩端，得一對含s12和s22的方程，于是可解得s22。其實，根據(jù)定義可直接解出s22，設(shè)端口1處接匹配負載ZC1，經(jīng)過變壓器后折合到端口2的阻抗為ZC1/n2，于是端口2的反射系數(shù)s22為當Z1=0時，顯然有Z2=0，反之亦然，這就是說，若端口1和端口2的參考面處阻抗同時為零，其中一個是特性參考面，另一個也必然是特性參考面。

使得在上一步驟中找到的T10處恰為波節(jié)點，那么短路面的位置即為T20，其理由可簡單說明如下：

下面我們用一種想像的實驗方法確定特性參考面T10

和T20。設(shè)n2(ZC2/ZC1)>1,端口2接匹配負載，在端口1用測量線找到波腹點的位置，即為參考面T10。然后在端口2接可移動的短路器，任意一個無耗互易二端口網(wǎng)絡(luò)可以用一個理想變壓器來等效，但只在特定參考面T10和T20處等效才成立，參考面T10和T20稱作特性參考面。

可見，若設(shè)法測得端口1的駐波系數(shù)ρ，并已知兩傳輸線的等效阻抗之比，那么可計算出理想變壓器的變比。讀者可以分析一個簡單的例子：兩段特性阻抗不同的傳輸線相連，忽略其跳變處的電抗，若將該網(wǎng)絡(luò)等效為理想無耗變壓器則其變比n＝1。由理想變壓器的阻抗關(guān)系

Z1=-n2Z2

（4.5.42）進一步確定變比n。不妨設(shè)n2(ZC2/ZC1)>1，此時端口1的反射系數(shù)的模與駐波系數(shù)的關(guān)系為4.5.4對稱二端口網(wǎng)絡(luò)的本征值和本征矢

一個二端口網(wǎng)絡(luò)，若其散射參量滿足下述關(guān)系式：

s11=s22s12=s21那么我們說這是一個對稱二端口網(wǎng)絡(luò)。對于一個無耗互易二端口網(wǎng)絡(luò)，有s12=s21，|s11|=|s22|。雖然在結(jié)構(gòu)上這個無耗二端口網(wǎng)絡(luò)不一定是對稱的，但適當?shù)剡x擇參考面的位置總能達到s11=s22，s12=s21。因此在分析具體問題時應(yīng)注意區(qū)分結(jié)構(gòu)對稱的對稱網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)不對稱的對稱網(wǎng)絡(luò)這兩種情況。一般來說，我們主要關(guān)心結(jié)構(gòu)對稱的對稱網(wǎng)絡(luò)。以下求解散射矩陣的本征值和本征矢。

設(shè)n階散射矩陣的本征值為sj，那么

（4.5.43）其中[s]是網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣，[u(j)]是對應(yīng)于本征值sj的本征矢，且若將[u(j)]看作一種特殊的激勵方式，即[u(j)]為各端口的內(nèi)向波，那么由式（4.5.43）可知，外向波[b]為此式表明sj是在[u(j)]這種特殊激勵方式下的外向波與內(nèi)向波之比，換句話說，在[u(j)]激勵方式下任意端口的外向波與內(nèi)向波之比都是相同的，其比值為sj。式（4.5.43）可改寫為（4.5.44）（4.5.46）（4.5.45）式中，[１]是單位矩陣。上式存在非平凡解的充要條件是

（4.5.47）這是特征方程。

以二端口網(wǎng)絡(luò)為例，本征值和本征矢的示意圖如圖4.7所示。對于二端口網(wǎng)絡(luò)，j＝1,2,這表明有兩種獨立的激勵方式。對稱二端口網(wǎng)絡(luò)的特性方程為

（4.5.48）或

（4.5.49）圖4.7散射參量的本征值和本征矢該特征方程的兩個根，即兩個本征值為

于是，對稱二端口網(wǎng)絡(luò)的散射參量可用本征值表示為

（4.5.51）（4.5.50）（4.5.52）（4.5.53）對于二端口網(wǎng)絡(luò)，式（4.5.43）具體化為

（4.5.54）展開得

將s1=s11+s21代入到上述二式中的一個，顯然有u1(1)=u2(1)，取這保證了對于本征值s1本征矢為單位本征矢。類似地，將s2=s11-s21代入式（4.5.55）或式（4.5.56），顯然有（4.5.57）（4.5.58）（4.5.56）（4.5.55）這是對應(yīng)于本征值s2的單位本征矢。上述兩種本征矢相當于兩種激勵方式。式（4.5.57）是所謂同相激勵，式（4.5.58）是所謂反相激勵。

對于結(jié)構(gòu)對稱的互易二端口網(wǎng)絡(luò)，同相激勵與反相激勵的物理意義可作如下解釋。設(shè)結(jié)構(gòu)對稱的互易網(wǎng)絡(luò)的示意圖如圖4.8(a)和(b)所示，圖中畫出了一個對稱面。同相激勵時，在對稱面上電壓或電場是等幅同相的，而電流或磁場等幅反相，因此在對稱面上磁場的橫向分量為零，若在對稱面處放置一薄片導(dǎo)磁體，并不破壞網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的場分布，因此我們可以假想對稱面處為一理想導(dǎo)磁體片，簡稱磁壁。反相激勵時，在對稱面上電壓或電場等幅反相，而電流或磁場等幅同相，因此在對稱面上電場的橫向分量為零，若在對稱面處放置一薄片導(dǎo)體并不會破壞網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的場分布，因此我們可以假想對稱面處為一理想導(dǎo)體片，簡稱電壁。圖4.8對稱二端口網(wǎng)路本征矢的物理意義(a)同相激勵的對稱二端口網(wǎng)路(b)反相激勵的對稱二端口網(wǎng)路理想磁壁相當于開路，理想電壁相當于短路。這些概念可用來求對稱結(jié)構(gòu)的互易二端口網(wǎng)絡(luò)的本征值s1和s2，然后利用式（4.5.52）和式（4.5.53）求s11和s21。【例4.5】網(wǎng)絡(luò)電路如圖4.9（a）所示，試求其散射矩陣的本征值，然后再計算散射參量。解首先將網(wǎng)絡(luò)電路改畫成4.9（b）的形式，以便找出其對稱面。在對稱面處開路，求本征值s1，其對應(yīng)的電路如圖4.9（c）所示。在對稱面處短路，求本征值s2，其對應(yīng)的電路如圖4.9（d）。具體計算結(jié)果如下：

利用式（4.5.52）和式（4.5.53）分別得到

圖4.9用本征值本征矢概念求解例4.5的示意圖

4.6網(wǎng)絡(luò)的連接

4.6.1網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)

圖4.10所示為兩個二端口網(wǎng)絡(luò)，兩端都是串聯(lián)，虛線框內(nèi)的連線不涉及電長度，僅表示連接關(guān)系。每個二端口網(wǎng)絡(luò)的非歸一化矩陣分別為［ZⅠ］和［ZⅡ］，其各端口的特性阻抗為ZC1（Ⅰ）、ZC2（Ⅰ）、ZC1（Ⅱ）和ZC2（Ⅱ）。串聯(lián)后的各端口的傳輸線特性阻抗為ZC1和ZC2。連接處的非歸一化電流相同，即

I1=I1（I）=I1（II）I2=I2（I）=I2（II）或?qū)懗删仃嚨男问剑跧］＝[IⅠ］＝[IⅡ］（4.6.1）（4.6.2）（4.6.3）

圖4.10二端口網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)V1=V1{I}＋V1（II）V2=V2（I）＋V2（II）連接處的電壓（4.6.4）（4.6.5）或?qū)懗删仃嚨男问剑踁］＝［VⅠ］＋［VⅡ］因為

［V］＝［Z］［I］［VⅠ］＝［ZⅠ］［IⅠ］

所以

［VⅡ］＝［ZⅡ］［IⅡ］[V]=[ZI][II]+[ZII][III]＝([ZI]+[ZII])[I]此式表明，兩個二端口網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)后的非歸一化阻抗矩陣［Z］等于兩個二端口網(wǎng)絡(luò)各自的非歸一化阻抗矩陣［ZⅠ］、［ZⅡ］之和，即

［Z]=([ZI]+[ZII]（4.6.9）（4.6.10）（4.6.11）（4.6.7）（4.6.6）（4.6.8）4.6.2網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)圖4.11所示兩個二端口網(wǎng)絡(luò)兩端分別并聯(lián)。每個二端口網(wǎng)絡(luò)的非歸一化導(dǎo)納矩陣分別為［YⅠ］和［YⅡ］。在連接處非歸一化的電壓相等，即圖4.11二端口網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)［V］＝［VⅠ］＝［VⅡ］非歸一化電流

［I］＝［IⅠ］＋［IⅡ］

(4.6.13)因此可以推出總的非歸一化導(dǎo)納矩陣等于兩個二端口網(wǎng)絡(luò)各自的非歸一化導(dǎo)納矩陣之和，即有

［Y］＝［YⅠ］＋［YⅡ］(4.6.14)

（4.6.12）4.6.3網(wǎng)絡(luò)的串并聯(lián)圖4.12二端口網(wǎng)絡(luò)的串并聯(lián)圖4.12所示為兩個二端口網(wǎng)絡(luò)，左端串聯(lián)右端并聯(lián)，在連接處，左端電流相等，右端電壓相等，于是

并且

為了解決串并聯(lián)問題，引入[H]矩陣，在二端口的情況下，[H]矩陣與各端口的電壓電流的關(guān)系為

（4.6.16）（4.6.17）（4.6.15）如果兩個二端口網(wǎng)絡(luò)的各自的[H]矩陣記作[HI]和[HII]，那么串并聯(lián)之后的[H]矩陣與[HI]和[HII]的關(guān)系為

式中各量均為非歸一化的量，故都用大寫字母表示為（4.6.19）（4.6.18）4.6.4網(wǎng)絡(luò)的并串聯(lián)圖4.13所示為兩個二端口網(wǎng)絡(luò)，左端并聯(lián)，右端串聯(lián)，故稱并串聯(lián)，在連接處，左端電壓相等，右端電流相等，于是

并且

為了解決并串聯(lián)問題，引入[G]矩陣，在二端口的情況下，[G]矩陣與各端口的電壓電流的關(guān)系為

式中各量均為非歸一化的量，故都用大寫字母表示為（4.6.20）（4.6.21）（4.6.22）圖4.13二端口網(wǎng)絡(luò)的并串聯(lián)（4.6.23）如果兩個二端口網(wǎng)絡(luò)的各自的[G]矩陣記作[GI]和[GII]，那么并串聯(lián)之后的[G]矩陣與[GI]和[GII]的關(guān)系為

[G]=[GI]+[GII]

顯然[G]與[H]的關(guān)系為

[G]=[H]-1上述四種網(wǎng)絡(luò)的連接方式分別利用非歸一化的[Z]、[Y]、[H]、[G]矩陣來解決各自的連接問題，所得結(jié)果簡單明確。如果利用歸一化的[z]、[y]、[h]、[g]，則所得結(jié)果稍復(fù)雜些，因為對于串聯(lián)問題，在連接處歸一化電流并不相等；對于并聯(lián)問題，在連接處歸一化電壓并不相等。因此必須由非歸一化的結(jié)果轉(zhuǎn)化出歸一化的結(jié)果，例如對于兩個二端口網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)電路，其歸一化的阻抗矩陣為（4.6.25）（4.6.24）（4.6.26）其推導(dǎo)過程留作習(xí)題。其余三種連接的非歸一化矩陣與歸一化矩陣的變換問題，讀者可自行導(dǎo)出。4.6.5網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)可用轉(zhuǎn)移矩陣來分析。圖4.14所示是兩個二端口網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)示意圖。在連接處非歸一化的電壓電流均相同，于是由轉(zhuǎn)移矩陣的定義可知（4.6.28）（4.6.27）式中,[AⅠ]和[AⅡ]分別是兩個二端口網(wǎng)絡(luò)各自的非歸一化轉(zhuǎn)移矩陣。對于n個二端口網(wǎng)絡(luò)，級聯(lián)后的轉(zhuǎn)移矩陣

如利用歸一化轉(zhuǎn)移矩陣分析兩個網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)問題，必須滿足ZC2(Ⅰ)=ZC1(Ⅱ)的條件，當此條件不滿足時可將兩個網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)問題看作三個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)。于是求得級聯(lián)后的歸一化轉(zhuǎn)移矩陣為式中，是阻抗跳變點的歸一化轉(zhuǎn)移矩陣，且有（4.6.31）（4.6.30）（4.6.29）所以兩個二端口網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)后的轉(zhuǎn)移矩陣為圖4.14用轉(zhuǎn)移矩陣分析兩個二端口網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)（4.6.32）利用歸一化的傳輸矩陣可求得級聯(lián)后的總的傳輸矩陣。當ZC2(Ⅰ)=ZC1(Ⅱ)時，兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)后的歸一化的傳輸矩陣[t]為若ZC2(Ⅰ)

≠ZC1(Ⅱ)

，這相當于三個網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)，如圖4.15所示，有式中式中：r=ZC1(II)/ZC2(I)

。（4.6.35）（4.6.34）（4.6.33）通常，我們習(xí)慣于使用歸一化的傳輸矩陣，而不使用非歸一化的傳輸矩陣，因此不再討論非歸一化傳輸矩陣的級聯(lián)問題。圖4.15用傳輸矩陣分析網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)4.7微波信號通過微波電路的分析方法4.7.1含n端口網(wǎng)絡(luò)電路的形式解首先研究一個二端口網(wǎng)絡(luò)及其端口條件，如圖4.16所示。二端口網(wǎng)絡(luò)用散射矩陣描述，該網(wǎng)絡(luò)的端口1和端口2接入電源波ai和負載Гi，i=1,2，它們都已折合到各端口的參考面T1和T2處。所謂端口條件或稱端點條件指的是激勵電源波ai和負載Гi的總合。不難把圖4.16所示的二端口網(wǎng)絡(luò)和端口條件推廣為含n端口網(wǎng)絡(luò)的形式。這種推廣將傳輸線理論與微波網(wǎng)絡(luò)理論結(jié)合起來，是兩種理論的概括和總結(jié)。為了說明這一點，我們在圖4.17中畫了一系列的電路圖，8種電路從簡單到復(fù)雜，基本上代表了傳輸線理論和微波網(wǎng)絡(luò)理論中的各種典型電路。圖4.17（h）是最一般的含n端口網(wǎng)絡(luò)及其端口條件的微波電路，其余各種情況都是它的特例。圖4.16二端口及其端口條件圖4.17（a）是均勻傳輸線；圖（b）是均勻傳輸線一端接入任意負載；圖（c）是傳輸線一端接入電源波和負載，另一端僅接入負載；圖（d）是兩端都接入電源波和負載；圖（e）只考慮了微波網(wǎng)絡(luò)與一端接入的負載組成的電路；圖（f）是微波網(wǎng)絡(luò)與一端接入的負載組成的電路；圖（g）是二端口網(wǎng)絡(luò)及其端口條件組成的電路。圖4.17傳輸線與微波網(wǎng)絡(luò)的各種典型電路現(xiàn)在來討論圖4.17（h）所示的一般電路。問題是，給定n端口網(wǎng)絡(luò)的散射參量和各端口的端口條件ai和Гi

，求各端口的內(nèi)向波和外向波。包含n端口網(wǎng)絡(luò)的一般電路的第i端口和電路如圖4.18所示。根據(jù)電源波的概念，對于第i口，在參考面Ti處有通常，若不考慮負載之間的耦合，[Г]為對角陣，表示為將式（4.7.1）寫成矩陣的形式為(4.7.1)(4.7.2)(4.7.3)給定[s]、[a]、[Г]，將式（4.7.2）和式（4.7.4）聯(lián)立可得含n端口網(wǎng)絡(luò)電路的形式解。式（4.7.2）稱為端口條件所滿足的方程，它同時包含了激勵條件和負載條件。網(wǎng)絡(luò)條件所滿足的方程是將式（4.7.4）代入到式（4.7.2），得

移項，提出[a]，求逆，得將式（4.7.2）代入到式（4.7.4），得

(4.7.5)(4.7.7)(4.7.6)(4.7.4)移項，提出[b]，求逆，得式（4.7.6）和式（4.7.8）便是含n端口網(wǎng)絡(luò)電路的形式解。

圖4.18含n端口網(wǎng)絡(luò)的一般電路的第i端口電路(4.7.8)4.7.2微波電路的等效電源波定理

形式解（4.7.6）和（4.7.8）的展開式是非常復(fù)雜的，對于n=2的情況尚可計算，而對于n=3的情況手工計算就已十分困難了。如果我們只關(guān)心某一個端口的內(nèi)向波ai和外向波bi,那么可以采用下文所述的等效電源波定理來計算。對于一個包含n端口網(wǎng)絡(luò)的電路，當只考慮第i端口時，其等效電路如圖4.19所示。圖中Γ/i是當除ai外其余各端口的電源波都為零時從第i端口的參考面Ti向網(wǎng)絡(luò)內(nèi)看入的反射系數(shù)，Γ/i不同于Γi。是當?shù)趇端口的電源ai=0和第i端口的負載反射系數(shù)Γi=0時第i端口的外向波，稱作第i端口等效電源波，簡稱等效電源波。若給定網(wǎng)絡(luò)條件[s]端口條件[Γ]和[ai]，由此求得Γ/i和，便可計算出ai和bi。根據(jù)電源波的概念，若，a

i≠0

，那么仿照式（2.6.24）和式（2.6.26），有圖4.19第i端口的等效電路(4.7.9)若ai=0，，那么若ai≠0，，將上述兩個結(jié)果相加，得(4.7.13)(4.7.12)(4.7.11)(4.7.10)將式(4.7.15)代入式(4.7.16)，得此二式也可由下述二式導(dǎo)出，根據(jù)電源波的概念可以寫出將式(4.7.16)代入式(4.7.15)，得式(4.7.17)與式(4.7.13)等同，式(4.7.18)與式(4.7.14)等同。式(4.7.18)可以改寫為矩陣的形式，得(4.7.17)(4.7.16)(4.7.15)(4.7.14)(4.7.18)見圖（b）式中，[Γ/]類似于[Γ]，也是對角陣，即于是得將式(4.7.8)中[b]代入到式(4.7.19)中，并令(4.7.19)(4.7.21)(4.7.22)(4.7.20)此式可改寫為式中可以證明（參看本章附錄），[G]的非對角線元素Gik為式中，|D|是[D]的行列式，D(isk)表示將[D]中的第i列元素改寫為[s]的第k列元素后所得的行列式。還可以證明（參看本章附錄），[G]的對角線元素Gii為(4.7.26)(4.7.25)(4.7.24)(4.7.23)式中，D(isi)是將[D]中的第i列元素改寫為[s]的第i列元素后所得的行列式。由

和ai的定義可知和ai無關(guān)，這就是說，[G]的對角線元素Gii=0,即可以證明（參看本章附錄），等效電源波的表示式為由此式解得i/的表示式式中，D(ii)是從[D]劃去第i行和第i列元素后所得的行列式。(4.7.29)(4.7.28)(4.7.27)至此已得出了Γi/和的計算公式。在給定[s]、[Γ]和[a]后可求得Γi/和，進而求得第i端口的內(nèi)向波外向波。雖然公式稍微復(fù)雜些，但計算求解并不困難。電路理論中有等效電源定理，引入了開路電壓、短路內(nèi)阻等概念，現(xiàn)在引用等效電源波和反射系數(shù)Γi/取代了電路理論中的電壓源（或電流源）和內(nèi)阻抗，因此在微波電路中仍沿用了等效電源的提法，只是補充了一個“波”字。下面以二端口網(wǎng)絡(luò)為例說明等效電源波定理的應(yīng)用。對于二端口網(wǎng)絡(luò)首先計算從端口1向網(wǎng)絡(luò)看入的反射系數(shù)Γ1/，有(4.7.30)此式還可以寫成下述兩種形式：式中，s=s11s22-s12s21。式（4.7.31）和式（4.7.32）是分式線性變換，負載的反射系數(shù)Γ2經(jīng)過二端口網(wǎng)絡(luò)的變換，變?yōu)槎丝?的反射系數(shù)Γ1/。其次再計算等效電源波，有此式說明電源波a2經(jīng)過二端口網(wǎng)絡(luò)的變換，變?yōu)榈刃щ娫础?/p>

(4.7.33)(4.7.32)(4.7.31)對于二端口網(wǎng)絡(luò)，可以直接從網(wǎng)絡(luò)條件和端口條件推出Γ1/和。網(wǎng)絡(luò)條件為端口條件為首先求，由等效電源波的物理意義可知，當a1=0，Γ1=0時的b1

即為。當a1=0，Γ1=0時有a1=0，那么由式（4.7.34）的第一式可得(4.7.36)(4.7.35)(4.7.34)再設(shè)法求a2，由式（4.7.34）的第二式可得將此式代入到式（4.7.35）的第二式中，得將此式代入到式（4.7.36）中，得的表示式（4.7.33）。其次再求反射系數(shù)Γ1/，由Γ1/的定義，Γ1/是a2=0時的b1

與a1之比。當a2=0時，式（4.7.35）的第二式變?yōu)閷⑵浯氲绞剑?.7.34）的第二式中，得

(4.7.39)(4.7.40)(4.7.38)(4.7.37)解得再代入到式（4.7.34）的第一式中，得兩端除以a1，便得到Γ1/的表示式（4.7.31）。(4.7.42)(4.7.41)4.7.3微波電路的信流圖根據(jù)線性代數(shù)方程組按一定規(guī)則畫成的拓樸圖稱為信號流通圖，簡稱信流圖。信流圖由一系列的結(jié)點和方向支線組成，分別用圓點和有方向的支線表示。本小節(jié)討論含微波網(wǎng)絡(luò)的微波電路的信流圖。微波電路包括微波網(wǎng)絡(luò)及其端口條件。微波網(wǎng)絡(luò)用散射矩陣描述，網(wǎng)絡(luò)條件是由內(nèi)向波、外向波和散射參量組成的代數(shù)方程組。端口條件是由電源波、內(nèi)向波、外向波和負載反射系數(shù)組成的代數(shù)方程。用散射參量所描述的二端口網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程為(4.7.43)(4.7.44)圖4.20二端口網(wǎng)絡(luò)及其信流圖輸入到輸出這個方程組所對應(yīng)的信流圖如圖4.20所示。四個結(jié)點分別代表a1、b1和a2、b2，四條方向支線分別標有系數(shù)s11、s12

、s21

、s22，其方向是從內(nèi)向波結(jié)點指向外向波結(jié)點，這里內(nèi)向波是自變量，外向波是因變量。支線的方向是從自變量指向因變量。圖4.21端口條件及其信流圖端口條件的表示式為(4.7.45)與此式相對應(yīng)的信流圖如圖4.21所示。三個結(jié)點分別代表ai

、ai和bi,自變量就是ai和bi，兩條方向支線分別標有系數(shù)l和гi,由ai和bi指向ai。信流圖是代數(shù)方程組的一種圖解方式，利用信流圖求解任意兩個結(jié)點的關(guān)系，必須對信流圖進行簡化，簡化時應(yīng)遵循下述四條簡單的法則。⑴串聯(lián)方向支線合并法則。變量為a1、a2、a3，代數(shù)方程為因此

相應(yīng)的結(jié)點、方向支線如圖4.22（a）所示，消去中間的結(jié)點，支線的標注為s1s2。兩支線方向必須是一致的。(4.7.47)(4.7.46)(4.7.48)圖4.22信流圖簡化規(guī)則（a）串聯(lián)方向支線合并法則(b)并聯(lián)方向支線合并法則(c)自閉環(huán)消除法則(d)結(jié)點分裂法則⑵并聯(lián)方向支線合并法則。變量為a1、a2，代數(shù)方程為相應(yīng)的結(jié)點、方向支線如圖4.22（b）所示,兩條同方向的支線合并為一條，支線的標注為（s1+s2）。

⑶自閉環(huán)消除法則。從某一結(jié)點出發(fā)又終止于自身的方向支線稱為自閉環(huán)。圖4.22（c）所示共有三個結(jié)點：a1、a2、a3。結(jié)點a2有一自閉環(huán)。由a2和a1之間的關(guān)系

可解得用標有系數(shù)s1/（1