第5講曲線曲面造型基礎(chǔ)-1

5.1．曲線曲面造型概述

5.1.1曲線曲面造型研究內(nèi)容

5.1.2曲線曲面造型發(fā)展歷程5.2．曲線曲面表示方法5.2.1曲線曲面的基本概念5.2.2曲線曲面的解析表達(dá)5.2.3曲線曲面的參數(shù)化表達(dá)5.3．Bezier曲線5.3.1Bezier曲線表示方法5.3.2三次Bezier曲線計算與繪制5.3.3Bezier曲線基本性質(zhì)5.3.4Bezier曲線拼接5.3.5任意階次Bezier曲線（選學(xué)）第5講曲線曲面造型基礎(chǔ)——

曲線曲面概述及Bezier曲線1．掌握曲線曲面基本概念2．熟練掌握CAD系統(tǒng)中Bezier曲線表示方法本章目的5.1.1．曲線曲面研究內(nèi)容工業(yè)產(chǎn)品的表面形狀大致可分為兩類：第一類：僅由初等解析曲面(例如平面、柱面、錐面、球面、環(huán)面等)組成，大多數(shù)機(jī)械零件屬于此類，可用機(jī)械制圖的方法完全清楚表達(dá)和傳遞所包含的全部形狀信息。5.1．曲線曲面造型概述第二類：是不能由初等解析曲面組成，而以復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面即所謂自由型曲線曲面組成，例如飛機(jī)、汽車、船舶的外形零件。這一類形狀單純用畫法幾何與機(jī)械制圖是不能表達(dá)清楚的，成為工程師們首要解決的問題。人們一直在尋求用數(shù)學(xué)方法唯一定義自由曲線和曲面的形狀。曲面造型(SurfaceModeling)是計算機(jī)輔助幾何設(shè)計(ComputerAidedGeometricDesign,CAGD)和計算機(jī)圖形學(xué)的一項重要內(nèi)容，主要研究：曲線曲面的數(shù)學(xué)表示工程中曲線曲面的設(shè)計方法曲線曲面的顯示技術(shù)曲線曲面的品質(zhì)分析代數(shù)解析曲面適合構(gòu)造簡單曲面，但曲面方程表達(dá)受坐標(biāo)變換影響，不適合構(gòu)造自由曲面；不同類型曲面拼接光滑連續(xù)難以保證；不同曲面求交公式不一，程序?qū)崿F(xiàn)量大；工程設(shè)計交互性差，不能滿足復(fù)雜曲面工程設(shè)計的要求。CAD系統(tǒng)中除簡單代數(shù)曲面外，必須具有強(qiáng)大的自由曲線和曲面造型能力。自由曲線和曲面因不能由畫法幾何與機(jī)械制圖方法表達(dá)清楚，成為工程師們首要解決的問題。人們尋求用數(shù)學(xué)方法唯一定義自由曲線和曲面的形狀。5.1.2．曲線曲面造型發(fā)展歷程曲面造型起源于汽車、飛機(jī)、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由Coons、Bezier等大師于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。經(jīng)過四十多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲面(RationalB-splineSurface)為基礎(chǔ)的參數(shù)化特征設(shè)計和隱式代數(shù)曲面(ImplicitAlgebraicSurface)表示這兩類方法為主體，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)這二種手段為骨架的幾何理論體系。

早期數(shù)學(xué)上曲線常以代數(shù)多項式表達(dá)為主（Polynomialequations），如：為多項式系數(shù)，沒有明顯的幾何意義。因此傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)表示方法控制幾何形狀不直觀，不易用于工程設(shè)計。早在1963年，美國波音飛機(jī)公司的佛格森（Ferguson）引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四角點的位置矢量、兩個方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片。1964年，MIT孔斯（Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。1974年，美國通用汽車公司的戈登（Gorden）和里森費爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線和曲面。

Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）Ni+3，3（u）Ni，3（u）u10101010101010titi＋3ti＋1ti＋2ti＋4ti＋5ti＋6ti＋71975年，美國錫拉丘茲（Syracuse）大學(xué)的佛斯普里爾（Versprill）提出了有理B樣條方法。80年代后期，皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條(NURBS)方法，并已成為當(dāng)前曲線和曲面造型的主流行技術(shù)。非均勻有理B樣條（NURBS）成為當(dāng)前大多數(shù)商用CAD軟件系統(tǒng)的內(nèi)部表達(dá)技術(shù)。SolidEdge

CATIAUGNXPro/EInventor插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。常用插值方法有線性插值、拋物線插值等(Interpolation)。逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線(Approximation)。擬合：插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合（fitting）。InterpolationApproximation插值(interpolation)逼近(Approximation)5.2.1、曲線曲面基本概念5.2曲線曲面的表示方法曲線：活動標(biāo)架、弧長、位置矢、切矢、主法矢、副法矢、曲率、撓率、法平面、密切面、從切面。曲面：法矢、切平面、法曲率高斯曲率、主曲率平均曲率等。5.2.2．曲線曲面的解析表達(dá)在高等數(shù)學(xué)中，解析曲面表示有顯式和隱式之分：顯式表示：如曲面方程z=f(x，y)，式中每個z值對應(yīng)唯一的x、y值，如圖所示。該表示計算非常方便，但無法描述多值或封閉面（如橢球）。隱式表示：如曲面f(x,y，z)=0，該表示不便于由已知參量x，y計算z值，但能表達(dá)多值于封閉曲面。如圖所示。

曲線參數(shù)表達(dá)：空間曲線上一點p的坐標(biāo)被表示成參數(shù)u的函數(shù)：

x=x(u),y=y(u),z=z(u)

合起來，曲線被表示為參數(shù)u的矢函數(shù)：

P(u)=[xyz]=[x(u)y(u)z(u)]

例如：由端點為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：

P(t)=P1+(P2-P1)uu∈[0,1]5.2.3．曲線曲面的參數(shù)表達(dá)三維空間曲面通常表示成雙參數(shù)u和v的矢函數(shù)：

P(u,v)=[XYZ]=[x(u,v)y(u,v)z(u,v)]參數(shù)區(qū)間u1≤u≤u2、v1≤v≤v2所表示的參數(shù)平面上為一個矩形基本概念：切矢、法矢、切平面、法曲率、主方向、高斯曲率、平均曲率曲面參數(shù)表示XYZ曲面參數(shù)空間曲面三維歐氏空間曲面切矢及法矢切平面及法曲率參數(shù)表達(dá)形式的優(yōu)點：易滿足幾何不變性要求，可對參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換，計算效率高幾何不變性：曲線曲面表示的幾何不變性是指它們不依賴于坐標(biāo)系的選 擇或者說在旋轉(zhuǎn)和平移等圖形變換下不變的性質(zhì)。有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。一條二維三次曲線的顯式表示為：（4個系數(shù)控制曲線形狀）而二維三次曲線的參數(shù)表達(dá)式為：（8個系數(shù)控制曲線形狀）易于規(guī)定曲線、曲面的范圍。易于處理多值問題和斜率無窮大的情形。易于計算曲線、曲面上的點。而隱式方程需求解非線性或超越方程，另外，求導(dǎo)、等距的計算也被簡化；參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。定義：給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則定義的n次Bezier參數(shù)曲線上各點坐標(biāo)的插值公式是：

其中:1）參數(shù)取值范圍【0，1】，或稱參數(shù)區(qū)間；

2）Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形（控制多邊形）；

3）Bi,n(u)是n次Bernstein基函數(shù)，也稱調(diào)和函數(shù)。5.3.1．Bezier曲線表示方法5.3．Bezier曲線5.3.2、三次Bezier曲線計算與繪制由P0、P1、P2、P3四個控制點定義的3次Bezier曲線，其基函數(shù)為：上式分別展開為：三次Bezier基函數(shù)曲線圖示由此，所定義的3次Bezier曲線則進(jìn)一步表示為：P0P1P2P3P(0.5)uu＝0u＝1u＝0.5Bezier曲線參數(shù)空間到歐式空間的映射關(guān)系三次Bezier曲線計算及繪圖方法在參數(shù)空間t∈[0,1]進(jìn)行均勻插值，計算對應(yīng)的坐標(biāo)點，然后連接成線，這條線就是折線逼近的Bezier曲線。P0P1P2P3P(0.5)想一想：根據(jù)第2講的內(nèi)容，怎樣繪制復(fù)雜曲線？？三次Bezier曲線計算及繪圖方法編程實現(xiàn)也可寫成矩陣表達(dá)式，表達(dá)更通用，更易編程。式中若求PX（t）的值，則取Pi的x坐標(biāo)進(jìn)行計算，同理求Py（t）、Pz（t）的值，具體如下：Px（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0xP1xP2xP3x]TPy（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0yP1yP2yP3y]TPz（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0zP1zP2zP3z]T

注意：上式基函數(shù)的計算僅需一次，不必三次。P0P1P2P3P(0.5)例：利用上面的計算方法可分別求出t＝0.0,0.1,0.2,……,0.9,1.0時曲線上的點，依次連接相鄰兩點為直線段，即可繪出近似的曲線圖形。特征控制點對Bezier曲線的影響A）改變控制點的影響B(tài)）多重控制點的影響C）構(gòu)造封閉曲線D）構(gòu)造光滑封閉曲線三次Bezier曲線演示演示軟件：VCAD1）幾何變換不變性

即對其曲線進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換不改變曲線形狀5.3.3、Bezier曲線性質(zhì)（以三次Bezier曲線為例）2）端點插值性質(zhì)

曲線過控制頂點的首末頂點。將u＝0和1分別代入表達(dá)式P(u)中可知P(0)=P0,P(1)=P3。3）端點切矢性質(zhì)曲線在首末兩點相切于多邊形的起、止邊。對三次Bezier曲線求一階導(dǎo)數(shù):

5.凸包性：即曲線不會越出特征多邊形的頂點所圍成的凸包

4）對稱性：將控制頂點反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q36.定比分割特性：后面詳細(xì)介紹

6）Bezier曲線的分割特性與幾何作圖方法Bezier曲線具有可分割特性。例如，給定三次Bezier曲線（參數(shù)域t[0,1]）上t＝1/3的點，把定義域分成長度為1/3:(1-1/3)的兩段：Bezier曲線分割特性1）依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分割點就是第一級遞推生成的中間頂點P01、P11、P21；2）對這些中間頂點構(gòu)成的多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點P02、P12

；3）重復(fù)進(jìn)行下去，直到第3級遞推得到一個中間頂點P03，即為所求曲線上的點P（t＝1/3）。其過程如下圖所示。

Bezier曲線分割特性圖示上述分割特性隱含說明：任一三次Bezier曲線均可被分割為兩段三次Bezier曲線。第一段由P0、P01、P02、P03確定，參數(shù)空間為[0,1/3];第二段由P03、P12、P21、P3確定，參數(shù)空間為[1/3,1],分割后曲線形狀不變。

上述Bezier曲線分割特性可用如下Bezier曲線的遞推公式進(jìn)行計算：Bezier曲線的遞推計算上述公式表明Bezier曲線的計算可由線性遞推計算得出，即高次計算可轉(zhuǎn)化為線性計算，有利于提高計算速度。三次Bezier曲線分割特性的動畫演示：

5.3.4、Bezier曲線拼接工程實際中不可能用一條Bezier曲線擬合出復(fù)雜的曲線，但可采用分段Bezier曲線拼接成復(fù)雜曲線。工程應(yīng)用中，希望各段曲線在連接處光滑。函數(shù)連續(xù)性：利用函數(shù)的可微性，把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，這類光滑度稱之為Cn

或n階參數(shù)連續(xù)性（也稱函數(shù)連續(xù)性）。思考提問：1）參數(shù)化表達(dá)曲線，一階函數(shù)連續(xù)曲線一定光滑嗎??2）參數(shù)化表達(dá)曲線，光滑一定要至少滿足一階函數(shù)連續(xù)嗎??幾何連續(xù)性組合曲線在連接處滿足不同于Cn的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續(xù)性，簡記為Gn。G0幾何連續(xù)性，與C0參數(shù)連續(xù)性的定義相同

G1幾何連續(xù)性，一階導(dǎo)數(shù)在鄰接點處成比例

G2幾何連續(xù)性，相鄰曲線段在鄰接點處一階導(dǎo)數(shù)成比例，且曲率相等曲線p(t)和q(t)端點相同，在端點處切矢量的方向也相同，但切矢量的模長不同則形狀不同。下圖所示，二條曲線p(t)和q(t)，參數(shù)t[0,1]。若要求結(jié)合處達(dá)到G0

連續(xù)（或C0連續(xù)），則兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù)，即：

p(1)=q(0)p(1)q(0)參數(shù)曲線G0

連續(xù)幾何意義：理論上G0

連續(xù)與C0連續(xù)是等價的，上圖中也可清楚說明。圖（a）圖（b）可見，當(dāng)＝1時，G1連續(xù)與C1連續(xù)完全一致。若要求在結(jié)合處達(dá)到G1連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足G0連續(xù)的條件下，并有公共的切矢，如下圖所示：Q'

(0)P'

(1)P'(1)Q'(0)參數(shù)曲線G1

連續(xù)幾何意義：G1連續(xù)條件可用下式表達(dá)：圖（a）圖（b）若要求在結(jié)合處達(dá)到G2連續(xù)，則兩條曲線在結(jié)合處在滿足G1連續(xù)的條件下，需有公共的曲率矢，于是：由公共曲率矢得Q”(0)、P”(1)和P’(1)

必須共面，即：即Q”(0)在P”(1)和P’(1)確定的平面內(nèi)，為任意常數(shù)。當(dāng)＝1，＝0，G2時連續(xù)就成為C2連續(xù)。以弧長作參數(shù)，C1連續(xù)保證G2連續(xù)，但反過來不行。也就是說Cn連續(xù)條件比Gn連續(xù)條件更苛刻。參數(shù)曲線G2

連續(xù)幾何意義（選學(xué)）將代入左式得：兩段三次Bezier曲線一階幾何連續(xù)拼接條件：下圖為兩段三次Bezier曲線一階幾何連續(xù)拼接：Q1’由圖中可看出，Q1’的移動只要滿足共線要求即可滿足二曲線的切矢光滑拼接（即一階幾何連續(xù)），而不需滿足P’（1）＝Q’（0）（即一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）。也就是說一階幾何連續(xù)比一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)限制更寬松，也能滿足光滑連續(xù)的工程要求，這是參數(shù)表達(dá)的優(yōu)勢之一?；卮鹎懊娴?問：參數(shù)化表達(dá)曲線，光滑一定要至少滿足一階函數(shù)連續(xù)嗎??5.3.5任意階次Bezier曲線（選學(xué)）定義：給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則定義的n次Bezier參數(shù)曲線上各點坐標(biāo)的插值公式是：

t

[0,1]N次Bernstein基函數(shù)圖示，即(（1-t）+t）)n的展開曲線如下：0次基函數(shù)曲線1次基函數(shù)曲線2次基函數(shù)曲線3次基函數(shù)曲線Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)：1）正性:2）端點性質(zhì):3）權(quán)性:本質(zhì)上n次伯恩斯坦（Bernstein）基函數(shù)就是二項式[t+(1-t)]n的展開式。4）對稱性5）遞推特性：即高次基函數(shù)是兩個低1次調(diào)和函數(shù)的線性組合，其計算過程表示為：n次Bezier曲線（右圖為7次）具有和三次Bezier曲線相同的幾何特性。端點性質(zhì)：曲線過控制頂點的首末頂點，分別令t=0和1可得：切矢與端點切矢：首末兩端切矢相切于控制多邊形的起止邊，即：N次Bezier曲線幾何特性:對稱性：曲線將控制頂點反序仍可得到同樣形狀的曲線凸包性質(zhì)：曲線不會越出特征多邊形頂點所圍成的凸多邊形（由正權(quán)性保證）分割特性：與三次Bezier曲線的分割特性類似，該特性本質(zhì)上是由基函數(shù)的遞推特性

所決定，利用該特性可進(jìn)行n次Bezier曲線的幾何作圖。升階與降階：低次Bezier曲線可增加頂點升階為高次Bezier曲線，曲線形狀保持不變，可達(dá)到統(tǒng)一曲線階次目的。設(shè)Bezier曲線原控制點為Pi（i=0,1,…,n），新控制點P*i（i=0,1,…,n+1），則升階公式為：此外，Bezier曲線同樣具有幾何變換不變性、變差減小性等特性。而降階是升階的逆過程。1次Bezier曲線2次Bezier曲線3次Bezier曲線4次Bezier曲線5次Bezier曲線N次Bezier曲線示例：Bezier曲線計算繪圖演示一次Bezier曲線二次Bezier曲線三次Bezier曲線任意次Bezier曲線演示（演示軟件：VCAD）Bezier曲線不足：Bezier曲線有幾點不足：

1）特征多邊形頂點數(shù)決定了Bezie