小學奧數(shù) 數(shù)論 余數(shù)問題 余數(shù)性質(zhì)(一).題庫版

5-5-3.性（教學目學習余數(shù)的三大定理及綜合運用理解棄9法并運用其解題知識點一、三大余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理b的除以c的數(shù)，等于ab分除以c的數(shù)之和，或這個和除以c的數(shù)例如：，16以的數(shù)分別是3和，所以＝39除以5余數(shù)等于，即兩個余數(shù)的和3+1.當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以的數(shù)。例如：，19除余數(shù)分別是3和4，所以＝42除的余數(shù)等于3+4=7除5余數(shù)為22.余數(shù)的加法定理b的除以c的數(shù)，等于ab分除以c的數(shù)之差。例如：，16除余數(shù)分別是3和1，所以23＝7除5余數(shù)等于，個余數(shù)差3－1＝2.當余數(shù)的差不夠減時時，補上除數(shù)再減。例如：，14除余數(shù)分別是3和4，23＝以的余數(shù)等于4，兩個余數(shù)差為35－4＝3.余數(shù)的乘法定理b的積除以c的數(shù)，等于b別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以所的余數(shù)例如：，16除余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的數(shù)等于＝。當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以的余。例如：，19除余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的數(shù)等于除5的數(shù)，即2.乘方：如果a與以余數(shù)相同，那a與b除m的數(shù)也相同．二、棄九法原理在公元前9世，有個印度數(shù)學家名叫花拉子米，寫有一本《花拉子米算術(shù)計時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗加法運算是否正確，他們檢驗方式是這樣進行的：例如：檢驗算11898178902除以余數(shù)為1除以余數(shù)為8除以余數(shù)為5-5-3.余數(shù)性質(zhì)（一）題庫

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pageof除以9的數(shù)為除以9的數(shù)為這些余數(shù)的和除以的余數(shù)為2而等式右邊和除以的余數(shù)為，那么上面這個算式定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個等式是正確的，那左邊幾個加數(shù)除以9的數(shù)的和再除以余數(shù)一定與等式右邊和除以的余數(shù)相同。而我們在求一個自然數(shù)除以所的余數(shù)時，常常不用去列除法豎式進行計算，只要計算這個自然數(shù)的各個位數(shù)字之和除以9的數(shù)可以了，在算的時候往往就是一個一的并且劃去，所以這種方法被稱作棄九”所以我們總結(jié)出棄九法原理：任何一個整數(shù)模余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個整數(shù)被9除余數(shù)，只要先計這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個和被9除余數(shù)即可。利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數(shù)相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結(jié)果對不對樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9時等式兩邊的除以的數(shù)都是，但是顯然算式是錯誤的但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式兩端一定滿棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復雜的算式謎問題。例題精模塊一、余數(shù)的加減法定理【1】幼園老給里小友來40只子，200塊干塊奶。均發(fā)畢還4只子20塊干粒糖這里有位朋?！究键c】余數(shù)的加減法定理【度】1星【型】填空【關(guān)鍵詞】，第3屆走美杯，4年，決賽，第3題8分【解析40-4=36，200-20=180，120-12=108小朋友的人數(shù)應(yīng)是36，180，的大于20的公約數(shù)，只有36【答案【2】在，，，2003中，其幾數(shù)和除余7，將幾數(shù)為組這樣數(shù)共組．【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】填空【關(guān)鍵詞】2004年，少年數(shù)學智力冬令營【解析1995，，，2001除9的數(shù)依次是6，，2，3．因為2，2，所以這樣的數(shù)組共有下面4個：,

，2000,2003,2001,19951998,2000,2003,2001,1995【答案】4【3】號分為101,126,173,193的個動進乒球賽規(guī)定兩比的數(shù)他號的和被3除得余.那么球盤最的動打多盤5-5-3.余數(shù)性質(zhì)（一）題庫

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pageof【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】解答【解析本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計算，126，193除余數(shù)分別為，，2。那么任意兩名運動員的比賽盤數(shù)只需要用，1兩相加除以可。顯然運動員打5盤是最多的?！敬鸢浮?】有個數(shù)用去，，160所得的3個數(shù)和，么個數(shù)是_．【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】填空【關(guān)鍵詞】2005年，小學數(shù)學奧林匹克【解析】50290，50162，數(shù)應(yīng)當是290的于小70的數(shù)，只可能是和58152，50，以除數(shù)不是587011029，29515，以除數(shù)是29【答案】29【固用自數(shù)n去除，91，129得到的個數(shù)和25，那n．【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】填空【關(guān)鍵詞】2002年，小學數(shù)學奧林匹克【解析】整除63258因為25，以是258大8約數(shù)．顯然不能大于63符合條件的只有【答案】43【5】如＝！，＝2＝！…＝100那1！+2！+……+100！的位字多？【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】解答【解析從！開始個位數(shù)字都是了因此只需要計算前個數(shù)1+2！+4=1+2+6+24=33所末位數(shù)字一定是3【答案【6】六小生別著元17元、18元、元、元37元，起新書購《成大詞．看價發(fā)有個帶錢夠但是中、、3人錢在一恰可本丁戊2人錢在一恰可1本．種成大典的價元．【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】填空【關(guān)鍵詞】2002年，小數(shù)報【解析六名小學生共帶錢133元除以1，因為甲、乙、丙、丁、戊的錢恰能3本，所以他們五人帶的錢數(shù)是倍數(shù)，另一人帶的錢除以3余．知，這個錢數(shù)只能是元，所以每本《成語大詞典》的定價(1426)32元．【答案【固商里六貨，別15，1819，31千，個客走其的箱已一顧買貨重是一顧的倍那商剩的箱物量_______千．【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】填空【關(guān)鍵詞】2000年，小學數(shù)學奧林匹克【解析兩個顧客買的貨物重量的數(shù)．(139...2，下的一5-5-3.余數(shù)性質(zhì)（一）題庫

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pageof貨物重量除以3應(yīng)當余，只能是20千克．【答案】【固六卡上別上1193、1258、、、六個，取3張，取張丙1張結(jié)發(fā)甲乙自中片的之一人另—個的倍，丙中片的是．第五屆小報學賽賽)【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】填空【關(guān)鍵詞】1997年，小學數(shù)學奧林匹克【解析根據(jù)甲乙二人各自手中卡片上的數(shù)之和一個人是另一個人的2倍可知，甲、乙手中五張卡片上的數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)．計算這六個數(shù)的總和11931842186610565，除以；因為甲、乙二人手中五張卡片上的數(shù)之和是倍數(shù)，那么丙手中的卡片上的數(shù)除以3余．六個數(shù)中只有除以余2，故丙手中卡片上的數(shù)為1193．【答案【7】從1，，3，4，，中N個不同數(shù)取的中意個和被整．N最為多？【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】解答【關(guān)鍵詞】2007年，第五屆，走美杯，初賽，六年，第8題【解析取出的N個同的數(shù)中，任意三個和能被15整，則其中任意兩個數(shù)除以的數(shù)相同，且這個余數(shù)的3倍被15整除，所以這個余數(shù)只能是0或．1中除以15的余數(shù)為的1，15，共33；除以15的余數(shù)為的1，15，，15，有134個除的數(shù)為的5，…15，有個．所以N最大為134【答案【8】一家，父母兄妹人他任三的數(shù)和是3的數(shù)，人歲都一質(zhì)，人數(shù)和100，父歲最，：親多少?【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】解答【關(guān)鍵詞】2005年，香港圣公會，小學數(shù)學奧林匹【析從任意三人歲數(shù)之和是3的數(shù)，100除以余1，就知四個歲數(shù)都k型數(shù)，又是質(zhì)數(shù)．只有，13，，31，37，，就容易看：父43歲母37歲兄13歲，妹．【答案【9】有所校高校B校多10人，校C校多人三共高生人有所校中數(shù)高人的2倍有所校中數(shù)高人的1.5倍還一學高、中數(shù)等三學總數(shù)人那?？倲?shù)人【考點】余數(shù)的加減法定理【度星【型】填空【關(guān)鍵詞】2002年，香港圣公會，小學數(shù)學奧林匹【解析三所學校的高中生分別是：校742人732，校人．如果校或校初中人數(shù)是高中人數(shù)的1.5倍該?？?cè)藬?shù)是奇數(shù)，而按照給出條件得出其他兩校總?cè)藬?shù)都是偶數(shù)，與三校人數(shù)5480是數(shù)矛盾，因此只能是校初中人數(shù)是高中人數(shù)的1.5倍三校初中的總?cè)藬?shù)是54802196余2被整除被除被除余1數(shù)看，斷定初中人數(shù)是高中人數(shù)的能是校以校人數(shù)是7425-5-3.余數(shù)性質(zhì)（一）題庫

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pageof(人)．【答案模塊二、余數(shù)的乘法定理【10求2461的余．【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【解析因為，6047549...8，據(jù)同余定理三)，的余數(shù)等8的數(shù)，而8，17...5，所以的余數(shù)為5．【答案【固求296351除17的數(shù)【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽【解析】先出積再求余數(shù)，計算量較大．可先分別計算出各因數(shù)除的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的數(shù)．478,296,351除以17的余數(shù)分別為，，(291．【答案【固求3091993被除余．【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【解析方法一：先將437算出以后，即3091993269120769．求得此數(shù)被除的余數(shù)為．方法二：因473除的數(shù)為，309除7的數(shù)為，由同的可乘”知以7余數(shù)為除7的數(shù)為所437309以的余數(shù)等除以余數(shù)，算4371993被除的余數(shù)為．方法三：利用余數(shù)判別⑹，算出，數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的之和的差即26除以7的數(shù)為，437被7除余數(shù)為．【答案【11求478除以的數(shù)【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【析，2，4782569除9的余等于1．【答案】【12一數(shù)除，余是3，該的3倍除余是?！究键c】余數(shù)的乘法定理【度】

星【型】填空【關(guān)鍵詞】2004年，希望杯，第二屆，五年級，初，第3題，5分【解析余數(shù)是3×3÷7的數(shù)，為【答案】5-5-3.余數(shù)性質(zhì)（一）題庫

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pageof222222221266128989892222222212661289898989896【13在表第行，好上89這十數(shù)使得一列下個數(shù)乘除所的余都3．【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】填空【解析】因兩數(shù)的乘積除以的余數(shù)，于兩個數(shù)分別除以11的數(shù)之積．因此原題中89可以改換110這樣上下兩數(shù)的乘積除以余就易計算了．我們得到下面的結(jié)果：進而得到本題的答案是：【答案】【14

2

2001

2002除的數(shù)多？【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【關(guān)鍵詞】2007年，實驗中學【解析由1

2002

200220034005

10012003，而1001是7的數(shù)，所以這個乘積也是的數(shù)，20012002除余數(shù)是0【答案】【15求6443的數(shù)【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【解析本題為余數(shù)乘法定理的拓展模式，即數(shù)字的乘方與一個數(shù)相除的余數(shù)情況。由6443÷19余2，求原式的余數(shù)只要求的余數(shù)即可。但是如果用2÷19發(fā)會進入一個死循環(huán)，因為這時被除數(shù)比除數(shù)小了，所以可以進行適當?shù)恼{(diào)整，2264余為7，那么求

的余數(shù)就轉(zhuǎn)化為的數(shù)，即49÷19的余數(shù)。余為11，所以原式【答案

的余數(shù)為11.【固求43

除7的余．【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【解析法一43

(143被余3)143

7

(

被7所得余數(shù)與3

被所得余數(shù)相等而6，729除以的數(shù)為所314個5-5-3.余數(shù)性質(zhì)（一）題庫

643除7的數(shù)為教師版

pageof13567406406406404410121016310006135674064064064044101210163100063法二：計算

被7所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表：

2

4

mod7

64

1

于是余數(shù)以為周期變化．所37【答案5【固求3

寫十制時個數(shù)【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【解析要想把

具體數(shù)字算出來顯然是不可能的，由于題目可以轉(zhuǎn)化為求

除以10的數(shù)．看到題目里面有個很大的乘方，我們想到利“同余的乘方”可先確定n使3除10的數(shù)為．通過嘗試可知，最小的n．因）除以的余數(shù)等除以的數(shù)即13除的數(shù)為，所以3除以的余數(shù)，即寫十進制數(shù)時的個位數(shù)為．【答案9【固2009個009

的位字．【考點】余數(shù)的乘法定理【難度星【型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，迎春杯，五年,初賽，第4題【解析易知２００９的個位數(shù)字是９2009的個位數(shù)字是１，的位數(shù)字是９2009的位數(shù)字是１，兩個為一周期，2009的個位數(shù)字是【答案【固2007×2007×…×2007（2008個2007）個位字?！究键c】余數(shù)的乘法定理【難度3【型】填空【關(guān)鍵詞】，第五屆，走美杯，初賽，六年級，第1題【解析】可看2007乘方其尾數(shù)是79、3、四數(shù)字循環(huán)的2008個2007相乘，其尾數(shù)為1.【答案【16今是期，

天后是期？【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【解析先求較小的，10

除以7余數(shù)為1．除以7余

除以余2

除以余310

除以除以7的數(shù)等于36除7的余數(shù)等于1所以除的數(shù)等于10除7余數(shù)等于4，10天后，應(yīng)是星期一．【答案】星期一【17求的最兩數(shù)【考點】余數(shù)的乘法定理【難度】【題型】解答【解析即考慮除的數(shù)．由100，于27除以25余，所除以25余8

除以25余24么

除以25余1又