小波方差制作步驟

第六章時(shí)間序列的小波分析時(shí)間序列(TimeSeries)是地學(xué)研究中經(jīng)常遇到的問題。在時(shí)間序列研究中，時(shí)域和頻域是常用的兩種基本形式。其中，時(shí)域分析具有時(shí)間定位能力，但無法得到關(guān)于時(shí)間序列變化的更多信息；頻域分析(如Fourier變換)雖具有準(zhǔn)確的頻率定位功能，但僅適合平穩(wěn)時(shí)間序列分析。然而，地學(xué)中許多現(xiàn)象(如河川徑流、地震波、暴雨、洪水等)隨時(shí)間的變化往往受到多種因素的綜合影響，大都屬于非平穩(wěn)序列，它們不但具有趨勢性、周期性等特征，還存在隨機(jī)性、突變性以及“多時(shí)間尺度”結(jié)構(gòu)，具有多層次演變規(guī)律。對于這類非平穩(wěn)時(shí)間序列的研究，通常需要某一頻段對應(yīng)的時(shí)間信息，或某一時(shí)段的頻域信息。顯然，時(shí)域分析和頻域分析對此均無能為力。20世紀(jì)80年代初，由Morlet提出的一種具有時(shí)-頻多分辨功能的小波分析(WaveletAnalysis)為更好的研究時(shí)間序列問題提供了可能，它能清晰的揭示出隱藏在時(shí)間序列中的多種變化周期，充分反映系統(tǒng)在不同時(shí)間尺度中的變化趨勢，并能對系統(tǒng)未來發(fā)展趨勢進(jìn)行定性估計(jì)。目前，小波分析理論已在信號(hào)處理、圖像壓縮、模式識(shí)別、數(shù)值分析和大氣科學(xué)等眾多的非線性科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)。在時(shí)間序列研究中，小波分析主要用于時(shí)間序列的消噪和濾波，信息量系數(shù)和分形維數(shù)的計(jì)算，突變點(diǎn)的監(jiān)測和周期成分的識(shí)別以及多時(shí)間尺度的分析等?！?、小波分析基本原理小波函數(shù)小波分析的基本思想是用一簇小波函數(shù)系來表示或逼近某一信號(hào)或函數(shù)。因此，小波函數(shù)是小波分析的關(guān)鍵，它是指具有震蕩性、能夠迅速衰減到零的一類函數(shù)，即小波函數(shù)V(t)eL2(R)且滿足：j+如(t)dt=0 (1)-s式中，V(t)為基小波函數(shù)，它可通過尺度的伸縮和時(shí)間軸上的平移構(gòu)成一簇函數(shù)系：Vab(t)=|a|-1/2V(tab)其中，a,beR,a。0 (2)式中，V(t)為子小波；a為尺度因子，反映小波的周期長度；b為平移因子，反應(yīng)時(shí)間上的平移。a,b需要說明的是，選擇合適的基小波函數(shù)是進(jìn)行小波分析的前提。在實(shí)際應(yīng)用研究中，應(yīng)針對具體情況選擇所需的基小波函數(shù)；同一信號(hào)或時(shí)間序列，若選擇不同的基小波函數(shù)，所得的結(jié)果往往會(huì)有所差異，有時(shí)甚至差異很大。目前，主要是通過對比不同小波分析處理信號(hào)時(shí)所得的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來判定基小波函數(shù)的好壞，并由此選定該類研究所需的基小波函數(shù)。小波變換若V(t)是由(2)式給出的子小波，對于給定的能量有限信號(hào)f(t)eL2(R)，其連續(xù)小波變換a,b(ContinueWaveletTransform簡寫為CWT)為：W(a,b)=|a-1/2jf(t)v(^)dt (3)f R ax—b、式中，Wf(a,b)為小波變換系數(shù);f(t)為一個(gè)信號(hào)或平方可積函數(shù);a為伸縮尺度;b平移參數(shù);V(二)x—b、為V(——)的復(fù)共軛函數(shù)。地學(xué)中觀測到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)大多是離散的，設(shè)函數(shù)f(kAt)，(k=1,2,?,N;Ata為取樣間隔），則式（3）的離散小波變換形式為：W（a,b）=|a|-i/2At丈f（kAt偵（kAt~b） （4）k=1 a由式（3）或（4）可知小波分析的基本原理，即通過增加或減小伸縮尺度a來得到信號(hào)的低頻或高頻信息，然后分析信號(hào)的概貌或細(xì)節(jié)，實(shí)現(xiàn)對信號(hào)不同時(shí)間尺度和空間局部特征的分析。實(shí)際研究中，最主要的就是要由小波變換方程得到小波系數(shù)，然后通過這些系數(shù)來分析時(shí)間序列的時(shí)頻變化特征。小波方差將小波系數(shù)的平方值在b域上積分，就可得到小波方差，即Var（a）=廣|w（a,b）|2db （5）—sf小波方差隨尺度a的變化過程，稱為小波方差圖。由式（5）可知，它能反映信號(hào)波動(dòng)的能量隨尺度a的分布。因此，小波方差圖可用來確定信號(hào)中不同種尺度擾動(dòng)的相對強(qiáng)度和存在的主要時(shí)間尺度，即主周期。二、小波分析實(shí)例-時(shí)間序列的多時(shí)間尺度分析（Multi-timescaleanalysis）例題河川徑流是地理水文學(xué)研究中的一個(gè)重要變量，而多時(shí)間尺度是徑流演化過程中存在的重要特征。所謂徑流時(shí)間序列的多時(shí)間尺度是指：河川徑流在演化過程中，并不存在真正意義上的變化周期，而是其變化周期隨著研究尺度的不同而發(fā)生相應(yīng)的變化，這種變化一般表現(xiàn)為小時(shí)間尺度的變化周期往往嵌套在大尺度的變化周期之中。也就是說，徑流變化在時(shí)間域中存在多層次的時(shí)間尺度結(jié)構(gòu)和局部變化特征。表1給出了某流域某水文觀測站1966-2004年的實(shí)測徑流數(shù)據(jù)。試運(yùn)用小波分析理論，借助Matlab6.5、suffer8.0和相關(guān)軟件（Excel等），完成下述任務(wù)：⑴計(jì)算小波系數(shù)；⑵繪制小波系數(shù)圖（實(shí)部、模和模方）、小波方差圖和主周期變化趨勢圖，并分別說明各圖在分析徑流多時(shí)間尺度變化特征中的作用。表1某流域某水文觀測站1966-2004年實(shí)測徑流數(shù)據(jù)（X108m3）年份徑流量年份徑流量年份徑流量年份徑流量年份徑流量19661.43819742.23519820.77419901.80619981.70919671.15119754.37419830.36719910.44919990.00019680.53619764.21919840.56219920.12020000.00019691.47019772.59019853.04019930.62720012.10419703.47619783.35019860.30419941.65820020.00919714.06819792.54019870.72819951.02520033.17719722.14719800.80719880.49219960.95520040.92119733.93119810.57319890.00719971.341分析選擇合適的基小波函數(shù)是前提在運(yùn)用小波分析理論解決實(shí)際問題時(shí)，選擇合適的基小波函數(shù)是前提。只有選擇了適合具體問題的基小波函數(shù)，才能得到較為理想的結(jié)果。目前，可選用的小波函數(shù)很多，如Mexicanhat小波、Haar小波、Morlet小波和Meyer小波等。在本例中，我們選用Morlet連續(xù)復(fù)小波變換來分析徑流時(shí)間序列的多時(shí)間尺度特征。原因如下：1.1徑流演變過程中包含“多時(shí)間尺度”變化特征且這種變化是連續(xù)的，所以應(yīng)采用連續(xù)小波變換來進(jìn)行此項(xiàng)分析。

1.2實(shí)小波變換只能給出時(shí)間序列變化的振幅和正負(fù)，而復(fù)小波變換可同時(shí)給出時(shí)間序列變化的位相和振幅兩方面的信息，有利于對問題的進(jìn)一步分析。1.3復(fù)小波函數(shù)的實(shí)部和虛部位相差為n/，2能夠消除用實(shí)小波變換系數(shù)作為判據(jù)而產(chǎn)生的虛假振蕩，使分析結(jié)果更為準(zhǔn)確。繪制小波系數(shù)圖、小波方差圖和主周期變化趨勢圖是關(guān)鍵當(dāng)選擇好合適的基小波函數(shù)后，下一步的關(guān)鍵就是如何通過小波變換獲得小波系數(shù)，然后利用相關(guān)軟件繪制小波系數(shù)圖、小波方差圖和主周期變化趨勢圖，進(jìn)而根據(jù)上述三種圖形的變化識(shí)別徑流時(shí)間序列中存在的多時(shí)間尺度。具體步驟數(shù)據(jù)格式的轉(zhuǎn)化邊界效應(yīng)的消除或減小計(jì)算小波系數(shù)計(jì)算復(fù)小波系數(shù)的實(shí)部繪制小波系數(shù)實(shí)部等值線圖繪制小波系數(shù)模和模方等值線圖繪制小波方差圖繪制主周期趨勢圖下面，我們以上題為例，結(jié)合軟件Matlab6.5、Suffer8.0和Excel，詳細(xì)說明小波系數(shù)的計(jì)算和各圖形的繪制過程，并分別說明各圖在分析徑流多時(shí)間尺度變化特征中的作用。數(shù)據(jù)格式的轉(zhuǎn)化和保存將存放在Excel表格里的徑流數(shù)據(jù)（以時(shí)間為序排為一列）轉(zhuǎn)化為Matlab6.5識(shí)別的數(shù)據(jù)格式（.mat）并存盤。具體操作為：在Matlab6.5界面下，單擊“File-ImportData”，出現(xiàn)文件選擇對話框“Import”后，找到需要轉(zhuǎn)化的數(shù)據(jù)文件（本例的文件名為runoff.xls），單擊“打開”。等數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化完成后，單擊“Finish”，出現(xiàn)圖1顯示界面；然后雙擊圖1中的Runoff，彈出“ArrayEditor:runoff”對話框，選擇File文件夾下的“SaveWorkspaceAs”單擊，出現(xiàn)圖2所示的“SavetoMAT-File:”窗口，選擇存放路徑并填寫文件名（runoff.mat），單擊“保存”并關(guān)閉“SavetoMAT-File”窗口。iq-rri?iq-rrie*圖1數(shù)據(jù)格式的轉(zhuǎn)化 圖2iq-rri?iq-rrie*圖1數(shù)據(jù)格式的轉(zhuǎn)化 圖2數(shù)據(jù)的保存□a?■+折口figmj■■研□jrxyriS?詢Hifirarl!!ski別Ik耳OhW_u ±J?i邊界效應(yīng)的消除或減小因?yàn)楸纠械膶?shí)測徑流數(shù)據(jù)為有限時(shí)間數(shù)據(jù)序列，在時(shí)間序列的兩端可能會(huì)產(chǎn)生“邊界效用”。為消除或減小序列開始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)附近的邊界效應(yīng)，須對其兩端數(shù)據(jù)進(jìn)行延伸。在進(jìn)行完小波變換后，去掉兩

端延伸數(shù)據(jù)的小變換系數(shù)，保留原數(shù)據(jù)序列時(shí)段內(nèi)的小波系數(shù)。本例中，我們利用Matlab6.5小波工具箱中的信號(hào)延伸(SignalExtension)功能，對徑流數(shù)據(jù)兩端進(jìn)行對稱性延伸。具體方法為：在Matlab6.5界面的“CommandWindow”中輸入小波工具箱調(diào)用命令“Wavemenu”，按Enter鍵彈“WaveletToolboxMainMenu”(小波工具箱主菜單)界面(圖3)；然后單擊“SignalExtension”，打開SignalExtension/Truncation窗口，單擊“File”菜單下的“LoadSignal”，選擇runoff.mat文件單擊“打開”，出現(xiàn)圖4信號(hào)延伸界面。Matlab6.5的ExtensionMode菜單下包含了6種基本的延伸方式(Symmetric>Periodic>ZeroPadding、Continuous>SmoothandForSWT)和Directiontoextend菜單下的3種延伸模式(Both、LeftandRight)，在這里我們選擇對稱性兩端延伸進(jìn)行計(jì)算。數(shù)據(jù)延伸的具體操作過程是：在ExtensionMode下選擇“Symmetric”，Dircetiontoextend下選擇“Both”，單擊“Extend”按鈕進(jìn)行對稱性兩端延伸計(jì)算，然后單擊“File”菜單下的“SaveTranformedSignal”，將延伸后的數(shù)據(jù)結(jié)果存為erunoff.mat文件。從erunoff文件可知，系統(tǒng)自動(dòng)將原時(shí)間序列數(shù)據(jù)向前對稱延伸12個(gè)單位，向后延伸13個(gè)單位。圖5圖5小波變換菜單界面圖3小波工具箱主菜單 圖4徑流時(shí)間序列的延伸計(jì)算小波系數(shù)選擇Matlab6.5小波工具箱中的Morlet復(fù)小波函數(shù)對延伸后的徑流數(shù)據(jù)序列(erunoff.mat)進(jìn)行小波變換，計(jì)算小波系數(shù)并存盤。小波工具箱主菜單界面見圖3,單擊“Wavelet1-D”下的子菜單"ComplexContinuousWavelet1-D”，打開一維復(fù)連續(xù)小波界面，單擊“File”菜單下的“LoadSignal”按鈕，載入徑流時(shí)間序列erunoff.mat(圖5)。圖5的左側(cè)為信號(hào)顯示區(qū)域，右側(cè)區(qū)域給出了信號(hào)序列和復(fù)小波變換的有關(guān)信息和參數(shù)，主要包括數(shù)據(jù)長度(DataSize)、小波函數(shù)類型(Wavelet：cgau、shan、fbsp和cmor)、取樣周期(SamplingPeriod)、周期設(shè)置(ScaleSetting)和運(yùn)行按鈕(Analyze)，以及顯示區(qū)域的相關(guān)顯示設(shè)置按鈕。本例中，我們選擇cmor(1-1.5)、取樣周期為1、最大尺度為32，單擊“Analyze”運(yùn)行按鈕，計(jì)算小波系數(shù)。然后單擊“File”菜單下的“SaveCoefficients”，保存小波系數(shù)為cerunoff.mat文件。注意：上面涉及到的數(shù)據(jù)保存，其格式均為.mat。4.計(jì)算Morlet復(fù)小波系數(shù)的實(shí)部將復(fù)小波系數(shù)轉(zhuǎn)存到Excel表格，去掉兩端延伸數(shù)據(jù)的小波系數(shù)，并計(jì)算小波系數(shù)實(shí)部。在Matlab6.5界面下的Workspace中將cerunoff.mat文件導(dǎo)入,E“Command?掉前12列和dcniblearray(complex)doublearrayuhararraydciublearray在“a”上右擊，選擇“Graph”，在下拉菜單中選擇“plot”，即出小波方差圖FileEditViewInsertToolsWindowHelpset(gca,'XTickLabel',{'1963','1968','1973','1978','1983','1988','199^E'CcfemandWindows”中直接輸入函數(shù):3','1998','2003'｝）使橫坐標(biāo)顯示為年份。FileEditViewInsertToolsWindowHelpt”中更改X,Y坐標(biāo)及圖名。, 1968 1973 1978 1983 1988 1993 1998在海)FigureHoset(gca,'XTickLabel',{'0','2004-01','2004-10','2005-08','2006-06','2007-04','2008-02','2008-12','2009-10','2010-0