小波分析的基本理論

小波分析的基本理論第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日前言小波分析就是對小波基的存在性、構(gòu)造與性質(zhì)的研究。稱為小波（描述性語言）：“小”指支撐集比較“小”；“波”指波動性（正負(fù)相間）小波分析及其應(yīng)用是一門新學(xué)科。它是Fourier分析與信號處理理論發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物。第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日小波分析的誕生雖與本世紀(jì)前半葉的某些數(shù)學(xué)發(fā)展，例如Haar分析與(1938)LittlewoodPaley分析有關(guān)，但直接地，卻只能追溯到七十年代，那個時代，

A.Calderón(1975)表示定理的發(fā)現(xiàn)與對Hardy空間的原子分解與無條件基的大量研究為小波分析的誕生作了理論上的準(zhǔn)備。1982年，J.Str?mberg首先構(gòu)造出指數(shù)衰減并且屬于Ck（k任意有限）的小波函數(shù)（由它構(gòu)造出的小波基被稱為歷史上第一個小波基），但它并沒有引起當(dāng)時人們的注意。第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日八十年代初許多搞信號分析的工程師們也為小波分析的誕生做出了積極的貢獻(xiàn)。例如：J.Morlet(1984)在處理地震信號時就使用了小波變換。在影像地震學(xué)中，Morlet知道：在探測高頻時假如送到地下的可調(diào)脈沖波持續(xù)時間太長，便不能用來分辨密聚的地層結(jié)構(gòu)。因此，Morlet認(rèn)為不能始終發(fā)射相同波長的波，在探測高頻時應(yīng)發(fā)送更短的波，這種由單個函數(shù)的伸縮得到的波叫小波，最早使用了小波這一名稱。1986年Y.Meyer偶然地構(gòu)造出了第一個具有無限光滑性并且頻譜有限的現(xiàn)在稱之為Meyer基的真正的小波基，以及隨后不久S.Mallat與Y.Meyer建立了構(gòu)造小波基的通用方法---多尺度分析以后，小波分析才形成為一門科學(xué)。第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日小波分析的出現(xiàn)不僅為分析數(shù)學(xué)的研究提供了有力工具，而且為信號分析與處理理論的發(fā)展樹立了一塊新的里程碑。它涉及面之寬廣，影響之深遠(yuǎn)，發(fā)展之迅速都是空前的。小波分析不僅已經(jīng)應(yīng)用到圖象紋理分析、圖象編碼、計算機視覺、語音識別、語音合成、語音編碼等與信號處理有關(guān)的大部分工程領(lǐng)域，而且在調(diào)和分析、微分方程數(shù)值解、隨機過程、量子場論等理論學(xué)科也得到了廣泛應(yīng)用，其影響正迅速地向其他學(xué)科漫延。第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日Fourier分析Fourier分析包括Fourier變換和Fourier級數(shù)，是以純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)建立的學(xué)科。該分析方法在科學(xué)與技術(shù)的所有領(lǐng)域中不僅是十分重要的學(xué)科，而且Fourier變換和Fourier級數(shù)還具有重要的物理解釋。另外，F(xiàn)ourier級數(shù)的計算方面也是特別有吸引力的，主要是因為級數(shù)的正交性和只用兩個函數(shù)：sinx與cosx的簡單表示性。第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日經(jīng)典的Fourier分析指出，周期平方可積函數(shù)可以表示成Fourier級數(shù)。

(1)其中{}被稱為的Fourier系數(shù)，可如下求得：

(2)類似地，認(rèn)為將函數(shù)的周期擴(kuò)展到無窮大，對其Fourier變換為：

(3)其Fourier逆變換為：（4）式中稱為頻率。實際應(yīng)用中的信號都是時間的函數(shù)，因此，F(xiàn)ourier分析也稱為時（間域）---頻（率域）分析。第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日雖然Fourier分析有眾多的優(yōu)點，但也有不可忽視的局限性。1）Fourier分析的兩個組成部分Fourier級數(shù)和Fourier變換基本上不相關(guān)。2）Fourier分析不能作局部化分析，由公式（4）可以看出，在任何有限頻段上信息，不能確定f(x)任何小范圍內(nèi)的值，反之由公式（3）可以看出f(x)的任何有限時域的值，也不能確定的任何小范圍內(nèi)的值。究其原因:由于的支集為整個實軸。因此，F(xiàn)ourier分析面臨著時域與頻域局部化的基本矛盾。然而在很多非平穩(wěn)信號分析和實時信號處理的應(yīng)用中，我們所關(guān)心的是信號局部范圍內(nèi)的特征。例如：對地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波；邊緣檢測關(guān)心信號突變的位置。第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日Gabor變換Fourier變換的缺點使得FT在分析信號的瞬時特性方面顯得軟弱無力。Gabor注意到了FT的這一不足，在1946年提出了信號的時頻局部化分析方法---Gabor變換，后來發(fā)展成為短時Fourier變換（STFT）或加窗Fourier變換。STFT引入一個窗口函數(shù)，它是在一有限區(qū)間（稱為窗口）外恒等于零或迅速衰減為零的光滑函數(shù)，這個有限區(qū)間的位置隨一個參數(shù)t0而變，用去乘所要研究的函數(shù)（相當(dāng)于在t0附近開了一個“窗口”），然后對它作Fourier變換，即：

其中

。稱為f(x)關(guān)于窗口函數(shù)的STFT。（大致反映f(x)在時間窗的局部信息）(時頻聯(lián)姻)第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日在統(tǒng)計意義下，定義其時

---頻窗中心為：又定義其時---頻窗半徑為：則其時

---頻窗大小為：

第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日圖時-頻盒（Heisenberg長方形）第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日只要適當(dāng)?shù)剡x擇窗口函數(shù)，就可以通過信號的加窗Fourier變換獲得在2時間區(qū)域內(nèi)的信息；另一方面，一旦窗口函數(shù)取定，其窗口大小也隨之確定，其時

---頻窗的大小和形狀都就一定了，時間、頻率分辨率也隨之確定。Heisenburg測不準(zhǔn)定理告訴我們，無論是什么樣的窗函數(shù)，時窗的寬度與頻窗的寬度之積不小于。因此當(dāng)選定一窗函數(shù)，其頻寬對應(yīng)于某一頻段。當(dāng)窗滑動時，同樣大小的時頻窗同時用于高頻和低頻信號。這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足非平穩(wěn)信號分析或突變信號處理的要求。

第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日連續(xù)（積分）小波變換在一般信號中，總是包含各種不同的頻率成分。由于頻率與每單位時間的周期數(shù)成正比，更好的分析手段是在頻率高時，選一個窄時間窗提高時間分辨率，以分辨信號的高頻細(xì)節(jié)；而選一個寬的時間窗更充分地分析信號的低頻特性。顯然，STFT不適合分析同時具有很高頻和很低頻成分的信號。為滿足一般信號的時頻分析要求，有必要尋找一種可調(diào)時頻窗的分析方法。小波變換正具有這種特性。第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日連續(xù)（積分）小波變換是小波:對函數(shù)伸縮及平移后可得：函數(shù)在尺度a、位置b的小波變換定義為如下內(nèi)積

第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日積分小波變換提供的時間窗和頻率窗分別為：該時頻窗的特點：由于時間窗寬度為2，因此，若以ω/a作為頻率變量，當(dāng)檢測高頻現(xiàn)象時（小的a），時間窗會自動變窄，提供分辨率高的時間信息；對于低頻信息（大的a）,時間窗會自動變寬。在IWT中與頻率有關(guān)的因子a在小波分析中稱為尺度因子。小波變換具有時頻局部化特性，究其原因是基函數(shù)的支撐與a有關(guān)。當(dāng)a小時（高頻），支撐集??；反之，支撐集大。而STFT的所有基函數(shù)具有與原始窗函數(shù)相同的支撐寬度。就是因為基函數(shù)的這些特點決定了STFT和IWT各自的分析能力。其中基函數(shù)支撐集的大小決定了其時間分辨率的大小。

第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日圖小波和的時-頻盒。當(dāng)尺度減小時，時間支撐減小然而頻率支集增加。第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日小波級數(shù)與小波變換法國地理學(xué)家Morlet和數(shù)學(xué)家Grossmann證明了L2空間中的任意函數(shù)都可以由它按一組稱為小波函數(shù)的分解來表征。下式f

的級數(shù)表示稱為小波級數(shù)。定義(DWT)因此，f的第（

j,k)個小波系數(shù)由f

的積分小波變換在具有二進(jìn)膨脹第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日在小波分析發(fā)展初期，如何構(gòu)造空間L2（Rn）的一組小波基是一件相當(dāng)困難的事情(構(gòu)造函數(shù))。直到八十年代后期，人們才發(fā)現(xiàn)了小波構(gòu)造的一種統(tǒng)一的定式,并且從理論上已經(jīng)證明，幾乎所有“有用”（具有適當(dāng)光滑性）的小波基都可從這種定式構(gòu)造出來---這就是多尺度分析(MRA,又稱多分辨率分析)。與此同時，多尺度分析的數(shù)學(xué)與物理意義，已遠(yuǎn)不只是一種小波構(gòu)造的“輔助”工具，它本身有與小波同樣重要的內(nèi)涵。MRA的思想來自于計算機視覺理論。從機器視覺的角度而言，單純從灰度信息理解一幅圖象中的物體是很困難的，更重要的是圖象中灰度的局部變化。為了能夠較好地理解一個物體，刻劃這種局部變化的尺度應(yīng)該與物體的大小適配。然而在一般的圖象中，需要理解的各種結(jié)構(gòu)擁有不同的大小，因此不可能預(yù)先定義一個最佳的分辨率來描述它們。多尺度分析(MRA)第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日為解決這一難題，在計算機視覺中采用了不同的分辨率下處理圖象中不同信息的方法，將圖象在各種分辨率下的細(xì)節(jié)提取出來，得到一個擁有不同分辨率rj的圖象細(xì)節(jié)序列。其中rj分辨率時圖象細(xì)節(jié)定義為：在多分辨率rj下對圖象的逼近和在分辨率rj-1下的對圖象的逼近之差。這種多分辨率的表示提供了一種圖象信息簡單的分層描述，在不同的分辨率下，圖象的細(xì)節(jié)刻畫了不同尺度的物理結(jié)構(gòu)，在粗分辨率時，這些細(xì)節(jié)表示了大的結(jié)構(gòu)信息，提供了圖象的“上下文”描述，因此，很自然地應(yīng)該先分析這些信息然后逐漸地增加分析精度。這種由粗到細(xì)的分析過程已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在立體視覺匹配和模板匹配中，并且表明與人眼的低級視覺處理是很相似的。第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日Mallat對信號的逼近和細(xì)節(jié)的抽取進(jìn)行了深入的研究，發(fā)現(xiàn)在不同分辨率下對信號的逼近可以通過對L2（Rn）中一稠密空間序列的投影來實現(xiàn)，而且得到的信號細(xì)節(jié)剛好是按一小波基的展開。由此出發(fā)，他與Meyer一起建立了小波構(gòu)造的一個統(tǒng)一的框架---MRA。多尺度分析是在L2（Rn）函數(shù)空間內(nèi)，將函數(shù)f描述成一系列越來越精細(xì)近似函數(shù)的極限。這些近似是在不同尺度下得到的，故有多尺度分析的名稱。第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日我們先直觀談及小波與多尺度分析：我們的目的是構(gòu)造小波函數(shù)，使得成為L2（Rn）的一組規(guī)范正交基。這個函數(shù)系有兩個下標(biāo)，k將函數(shù)作平移，j將函數(shù)作拉伸或擠壓。屬于同一個伸縮因子j的函數(shù)具有相同的頻率帶寬：這樣我們可以將L2（Rn）空間作頻率分層，記：那么構(gòu)成Wj的規(guī)范正交基，彼此正交，且上式中，從左到右，Wj所表示的函數(shù)集的頻率愈來愈高。如果記則Vj是低頻率函數(shù)集，滿足如下性質(zhì)：第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日VjVj+1

,jZ;closL2(R)(Vj

)=L2(R),Vj={0};

并且。這樣可以等價地由來刻劃。前者將空間L2(Rn)分成彼此相鄰的“同心環(huán)層”，后者如同一列不斷包含的“同心球”，不斷張大，最后充滿整個空間L2(Rn)?，F(xiàn)在的問題是，既然V0是頻率在某個界以下的函數(shù)集，它能不能由某個低頻函數(shù)(x)的平移張成。如果有，我們就可以由條件：倒求小波。而求，由會得到所謂的二尺度方程：這樣，問題就變得具體了。這個構(gòu)造小波的框架就是著名的MRA。第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日VjL2(R)第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日Mallat算法S.Mallat在MRA理論的基礎(chǔ)上，提出了用子帶結(jié)構(gòu)實現(xiàn)離散小波變換的算法，統(tǒng)一了子帶濾波器與小波變換的計算。這一算法在小波分析中的地位相當(dāng)于Fourier分析中的FFT，奠定了DWT在信號處理中的應(yīng)用基礎(chǔ)。

Let(x)=2hk(2x-k),(x)=2gk(2x-k),Vj+1=VjWj,

Pjand

QjaretheorthogonalprojectorsfromL2(R)toVjandWjrespectively.ForfVj,DenotePjf(x)=cj,kj,k(x),Qjf(x)=dj,kj,k(x),ThenwehaveS.Mallat’salgorithmasfollows:第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日Mallat分解算法

{cj+1,k}{cj,k}{cj-1,k}{dj+1,k}{dj,k}{dj-1,k}第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日Mallat重構(gòu)算法

{cj-1,k}{cj,k}{cj+1,k}{dj-1,k}{dj,k}{dj+1,k}

第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日二維離散小波變換如何將一維的濾波器推廣到二維情形:將